Toán 12 cực trị cho bộ n điểm.

1. bài toán liên quán đến điểm cho trước
- xét n điểm phân biệt [tex]A_1, A_2,...,A_n[/tex]
* Bài toán 1: tìm GTLN, GTNN của biểu thức: [tex]P=a_1MA_1^2+a_2MA_2^2+...+a_nMA_n^2[/tex]
* Bài toán 2: tìm GTLN, GTNN của biểu thức: [tex]Q=|a_1\overrightarrow{MA_1}+a_2\overrightarrow{MA_2}+...+a_n\overrightarrow{MA_n}|[/tex]
* Phương pháp:
+ cách 1: Áp dụng cho trường hợp M thuộc đường thẳng.

• tham số họa điểm M theo tham số t
• tính P, suy ra hàm f(t).
• tìm GTLN, GTNN của hàm f(t).

+ cách 2: bài toán tổng quát.

• áp dụng tâm tỉ cự: tìm điểm I sao cho: [tex]a_1\overrightarrow{IA_1}+a_2\overrightarrow{IA_2}+...+a_n\overrightarrow{IA_n}=\overrightarrow{0}[/tex]
• khi đó: [tex]a_1\overrightarrow{MA_1}+a_2\overrightarrow{MA_2}+...+a_n\overrightarrow{MA_n}=a_1(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA_1})+a_2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA_2})+...+a_n(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA_n})=(a_1+a_2+...+a_n).\overrightarrow{MI}+(a_1\overrightarrow{IA_1}+a_2\overrightarrow{IA_2}+...+a_n\overrightarrow{IA_n})=(a_1+a_2+...+a_n).\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{0}=(a_1+a_2+...+a_n).\overrightarrow{MI}[/tex]
• [tex]Q=|a_1+a_2+...+a_n|.MI[/tex]. đưa bài toán về GTLN, GTNN của MI
• [tex]P=a_1MA_1^2+a_2MA_2^2+...+a_nMA_n^2[/tex][tex]=(a_1+a_2+...+a_n).MI^2+(a_1IA_1^2+a_2IA_2^2+...+a_nIA_n^2)+2\overrightarrow{MI}.(a_1\overrightarrow{IA_1}+a_2\overrightarrow{IA_2}+...+a_n\overrightarrow{IA_n})=(a_1+a_2+...+a_n).MI^2+(a_1IA_1^2+a_2IA_2^2+...+a_nIA_n^2)[/tex]. vì I cố định nên [tex]a_1IA_1^2+a_2IA_2^2+...+a_nIA_n^2[/tex] là hằng số. đưa bài toán về GTLN, GTNN của MI.

* Tâm tỉ cự: cho n điểm có tọa độ [tex]A_k(x_k;y_k;z_k)[/tex], [tex]k=1\rightarrow n.[/tex] tọa độ điểm I thỏa mãn [tex]a_1\overrightarrow{IA_1}+a_2\overrightarrow{IA_2}+...+a_n\overrightarrow{IA_n}=\overrightarrow{0}[/tex] có tọa độ là:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_I=\frac{\sum a_n.x_n}{\sum a_n}\\ y_I=\frac{\sum a_n.y_n}{\sum a_n}\\ z_I=\frac{\sum a_n.z_n}{\sum a_n} \end{matrix}\right.[/tex]
ví dụ: [tex](P):2x-y+2z+7=0[/tex]. [tex]M\in (P)[/tex], tìm M sao cho [tex]|3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}|[/tex] đạt GTNN, biết A(1;1;1), B(1;2;0), C(0;0;1).
đầu tiên cần tìm điểm I.
áp dụng công thức tâm tỉ cự, ta tìm được tọa độ điểm I là [tex]I(8;13;-4)[/tex].
vậy, [tex]Q=|3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}|=MI[/tex].
MI đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
do đó, ta tính được M(68;-17;-80)