thi lớp 10

Cho đường tròn (O) và điểm M ở ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MPQ (MP < MQ). Gọi I là trung điểm của dây PQ, E là giao điểm thứ 2 giữa đường thẳng BI và đường tròn (O). Chứng minh:
1/ Tứ giác BOIM nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
2/ Góc BOM = góc BEA
3/ AE // PQ
4/ Ba điểm O; I; K thẳng hàng, với K là trung điểm của EA.

toán

1, ta có: I là trung điểm của PQ\Rightarrow OI là đường trung tuyến
\Rightarrow OI là đường cao ($\Delta OPQ$ cân tại O) \Rightarrow OI_|_PQ
Tứ giác OIBM có $\hat{B}=\hat{I}=90^o$\Rightarrow OIBM nt
tâm là trung điểm của OM
2, Ta có: $\Delta AOM = \Delta BOM$(c-c-c)
\Rightarrow $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (*)
\Rightarrow $\widehat{AEB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$(góc ở tâm và góc nằm trên đường tròn cùng chắn 1 cung)
Mà $\widehat{BOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$(do (*))
\Rightarrow đpcm
3, Ax là tia đối của AM
ta có: AIBM nt\Rightarrow $\widehat{IBA}=\widehat{AMI}$
Mà $\widehat{IBA}=\widehat{xAE}$
\Rightarrow $\widehat{xAE}=\widehat{AMI}$\Rightarrow AE//PQ(do 2 góc đó đồng vị)
4, ta có: K là trung điểm của AE\Rightarrow OK là đường trung tuyến
\Rightarrow OK là đường cao ($\Delta OAE$ cân tại O) \Rightarrow OK_|_AE
mà OI_|_PQ, AE//PQ
\Rightarrow đpcm