Toán 8 [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2} =3[/tex]. Chứng minh [tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \geq 3[/tex]

Kaito Kidㅤ

Kaito Kidㅤ

Học sinh tiêu biểu
Thành viên
16 Tháng tám 2018
2,350
5,150
596
19
Hanoi University of Science and Technology
Hải Phòng
THPT Tô Hiệu
Đặt [tex]A= \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}[/tex]
Ta có:
[tex]A^{2}=\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}}+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}[/tex]
Áp dụng BDT Cauchy cho 2 số dương có:
[tex]\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}} \geq 2\sqrt{\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}.\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}}= 2\sqrt{y^4}=2y^2[/tex] (1)
tương tự ta có:
[tex]\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}} \geq 2z^2[/tex] (2)
[tex]\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}} \geq 2x^2[/tex] (3)
Cộng từng vế lại rồi sau đó chia cả 2 vế cho 2 bạn được:
[tex]\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}} \geq x^2+y^2+z^2[/tex]
-> [tex]A^{2}=\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}}+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2} \geq x^2+y^2+z^2+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2} =3(x^2+y^2+z^2)=3.3=9[/tex]
-> [tex]A^2\geq 9 \rightarrow A \geq 3[/tex](dpcm)
 
  • Like
Reactions: Hoàng Vũ Nghị, SieuNhanCuHanh and besttoanvatlyzxz
S

SieuNhanCuHanh

Học sinh
Thành viên
2 Tháng một 2018
159
112
36
The†FireᴥSwordᵛᶥᶯᶣ†††♥♥♥♪ said:
Đặt [tex]A= \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}[/tex]
Ta có:
[tex]A^{2}=\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}}+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}[/tex]
Áp dụng BDT Cauchy cho 2 số dương có:
[tex]\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}} \geq 2\sqrt{\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}.\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}}= 2\sqrt{y^4}=2y^2[/tex] (1)
tương tự ta có:
[tex]\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}} \geq 2z^2[/tex] (2)
[tex]\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}} \geq 2x^2[/tex] (3)
Cộng từng vế lại rồi sau đó chia cả 2 vế cho 2 bạn được:
[tex]\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}} \geq x^2+y^2+z^2[/tex]
-> [tex]A^{2}=\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{y^{2}}+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2} \geq x^2+y^2+z^2+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2} =3(x^2+y^2+z^2)=3.3=9[/tex]
-> [tex]A^2\geq 9 \rightarrow A \geq 3[/tex](dpcm)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
a ơi e mới vào lớp 8, chưa học bđt cauchy jj đó a ạ, a có cách khác ko a. Cơ mà đọc bài a giải e vẫn hiểu :D, tks a
 
Kaito Kidㅤ

Kaito Kidㅤ

Học sinh tiêu biểu
Thành viên
16 Tháng tám 2018
2,350
5,150
596
19
Hanoi University of Science and Technology
Hải Phòng
THPT Tô Hiệu
  • Like
Reactions: SieuNhanCuHanh and besttoanvatlyzxz
Hoàng Vũ Nghị

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,297
2,640
486
20
Vĩnh Phúc
Đây nhé .chắc bạn đã học hằng đẳng thức rồi .
Ta đi chứng minh [tex]a+b\geq 2ab[/tex] với a,b dương
Thật vậy ta có
[tex](a-b)^{2}=a^2+b^2-2ab\geq 0\Rightarrow a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow a^2+b^2+2ab\geq 4ab\\(a+b)^{2}>4ab\Leftrightarrow \sqrt{(a+b)^2}\geq \sqrt{4ab}\Leftrightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}[/tex] [tex] Suy ra đpcm rồi áp dụng với bài bạn trên[/tex]
 
Last edited:
  • Like
Reactions: Võ Thế Anh, SieuNhanCuHanh and besttoanvatlyzxz
V

Võ Thế Anh

Học sinh chăm học
Thành viên
10 Tháng chín 2017
462
251
91
19
Bình Phước
Trường THCS Phú Nghĩa
Hoàng Vũ Nghị said:
Đây nhé .chắc bạn đã học hằng đẳng thức rồi .
Ta đi chứng minh [tex]a+b\geq 2ab[/tex] với a,b dương
Thật vậy ta có
[tex](a-b)^{2}=a^2+b^2-2ab\geq 0\Rightarrow a^2+b^2\geq -2ab\Rightarrow a^2+b^2+2ab\geq 4ab\\(a+b)^{2}>4ab\Leftrightarrow \sqrt{(a+b)^2}\geq \sqrt{4ab}\Leftrightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}[/tex] [tex](a-b)^{2}=a^2+b^2-2ab\geq 0\Rightarrow a^2+b^2\geq -2ab\Rightarrow a^2+b^2+2ab\geq 4ab\\(a+b)^{2}>4ab\Leftrightarrow \sqrt{(a+b)^2}\geq \sqrt{4ab}\Leftrightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}[/tex]
Suy ra đpcm rồi áp dụng với bài bạn trên
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bạn ơi xem lại cái này cái bạn upload_2018-9-24_18-40-54.png
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom