Toán 12 Tìm min $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$

lethivananhltt@gmail.com said:

x,y khác o thỏa mãn (x+y)xy=x^2+y^2-xy
tìm min A A= 1/x^3+1/y^3

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Rút gọn $A = \dfrac{(x+y)(x^2+y^2-xy)}{x^3y^3} = \dfrac{xy(x+y)^2}{x^3y^3} = (\dfrac1x + \dfrac1y)^2$
Chia hai vế gt cho $x^2y^2$ được $\dfrac1x + \dfrac1y = \dfrac1{x^2} + \dfrac1{y^2} - \dfrac1{xy}$
Đặt $a = \dfrac1x$ và $b = \dfrac1y$, ta sẽ tìm GTNN của $B = a + b$ và $a, b$ thỏa $a+b = a^2+b^2 - ab$
Do $b = B - a$ nên từ gt suy ra $B = a^2 + (B-a)^2 - a(B-a)$, suy ra $3a^2 - 3Ba + B^2 -B = 0$
ĐK có nghiệm: $\Delta = 9B^2 - 12(B^2-B) = -3B^2+12B \geqslant 0 \implies 0 \leqslant B \leqslant 4$
Mà $B = 0$ khi và chỉ khi $a = 0$ hay $\dfrac1x = 0$, rõ ràng là không được. Do vậy $B$ chỉ tiến về $0$ chứ không có min, từ đó $A$ cũng tiến về $0$ chứ không có min