Toán 11 phương tình lượng giác

Bài 1:
Đặt PT trên là (*):
(*) <=> [tex]4\sin^{4}x+4\cos^{4}(x+\frac{\pi}{4})=1[/tex]
[tex](1-\cos2x)^{2}+[1+\cos2(x+\frac{\pi}{4})]^{2}=1[/tex]
[tex](1-\cos{2x})^{2}+(1-\sin{2x})^{2}=1[/tex]
[tex]1-\cos2x+cos^{2}2x+1-2\sin2x+\sin^{2}2x=1[/tex]
[tex]3-2(\cos2x+\sin2x)=1[/tex]
[tex]\cos2x+\sin2x=1[/tex]

Nhân 2 vế cho [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], ta được:
[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}\cos2x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin2x=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]\sin\frac{\pi}{4}\cos2x+\cos\frac{\pi}{4}\sin2x=\sin\frac{\pi}{4}[/tex]
[tex]\sin(\frac{\pi}{4}+2x)=\sin\frac{\pi}{4}[/tex]

Tới đây giải được hai nghiệm:
[tex]x=k\pi[/tex] (1)
hoặc
[tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex] (2)

Theo đề bài, để có nghiệm trên [tex](2\pi;3\pi)[/tex], thì [tex]2\pi< x< 3\pi[/tex]
(2) <=> [tex]2\pi<\frac{\pi}{4}+k\pi< 3\pi[/tex]
<=> [tex]\frac{7\pi}{4}< k\pi< \frac{11\pi}{4}[/tex]
<=>[tex]\frac{7}{4}< k< \frac{11}{4}[/tex]
<=>1,75 < k < 2.75, , với điều kiện [tex]k\in \mathbb{Z}[/tex] thì ta nhận k=2, thay k=2 vào (2) thì ta có [tex]x=\frac{9\pi}{4}[/tex] thỏa điều kiện đề bài

Làm tương tự với (1) thì ta sẽ thấy 2 < k < 3 không thõa điều kiện [tex]k\in \mathbb{Z}[/tex] nên ta loại

Vậy đáp án là A

Bài 2: Đặt pt trên là (1)
Nếu [tex]\cos{x}=0[/tex] <=> [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
Lần lượt thay [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] và [tex]x=\frac{-\pi}{2}[/tex] vào (1)
Với giá trị [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] thì bấm nghiệm ra được [tex]-3 = 0[/tex] là vô lí, tương tự với [tex]x=\frac{-\pi}{2}[/tex] thì nghiệm pt là 3, cũng vô lí
Vậy ta xet [tex]\cos x\neq 0[/tex] <=> [tex]x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
Chia 2 vế cho cosx, ta sẽ có pt:
[tex]4\tan{x}sinx^{2} - \tan{x} - 1 = 0[/tex]
[tex]4\tan{x}(1-cos^{2}{x}) - \tan{x} - 1 = 0[/tex]
[tex]4\tan {x}(1-\frac{1}{1+\tan^{2}x})- \tan{x} - 1 = 0[/tex]
[tex]4\tan{x}(\frac{\tan^{2}x}{1+\tan^{2}x})- \tan{x} - 1 = 0[/tex]
[tex]4\tan^{3}{x} - \tan{x}(1+\tan^{2}{x}) - 1 - \tan^{2}{x} = 0 [/tex]
[tex]3\tan^{3}{x} - \tan^{2}{x} - \tan{x} - 1 = 0 [/tex]

Giải nghiệm chỉ nhận [tex]\tan{x}=1[/tex] => [tex]x=\frac{\pi}{4} + k\pi[/tex]

Nghiệm âm lớn nhất thì thay k = -1 => [tex]x=\frac{-3\pi}{4}[/tex]
Nghiệm âm lớn kế thì thay k= -2 =>
[tex]x=\frac{-7\pi}{4}[/tex]
Vậy tổng của hai nghiệm âm trên là [tex]\frac{-5\pi}{2}[/tex]
Vậy chọn B