Toán 9 Bất đẳng thức

hoophuonganh said:

cho x,y,z>0 và [tex]x^{2}+ y^{2}+z^{2} = 3[/tex] .
a,chứng minh A= [tex]\frac{x^{3}}{y+z} + \frac{y^{3}}{x+z}+ \frac{z^{3}}{x+y} \geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}[/tex]
b, tìm Min A

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

a) Dễ chứng minh [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx[/tex]
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
[tex]\frac{x^{3}}{y+z}+\frac{xy+zx}{4}=\frac{x^{4}}{xy+zx}+\frac{xy+zx}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^{4}}{xy+zx}.\frac{xy+zx}{4}}=x^{2}\\\Rightarrow \frac{x^{3}}{y+z}\geq x^{2}-\frac{xy+zx}{4}[/tex]
Tương tự...
Suy ra [tex]A=\frac{x^{3}}{y+z} + \frac{y^{3}}{x+z}+ \frac{z^{3}}{x+y} \geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})-\frac{xy+yz+zx}{2}\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})-\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=z

b) Theo câu a thì [tex]A=\frac{x^{3}}{y+z} + \frac{y^{3}}{x+z}+ \frac{z^{3}}{x+y} \geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

hoophuonganh said:

cho x,y,z>0 và [tex]x^{2}+ y^{2}+z^{2} = 3[/tex] .
a,chứng minh A= [tex]\frac{x^{3}}{y+z} + \frac{y^{3}}{x+z}+ \frac{z^{3}}{x+y} \geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}[/tex]
b, tìm Min A

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cách khác

hoophuonganh said:

xin hỏi làm thế nào tìm ra đc [tex]\frac{xy+yz}{4}[/tex] ạ?

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Phương pháp chọn điểm rơi thôi bạn :3
Dự đoán điểm rơi của bài này là $x=y=z=1$
Ở VP của BĐT là bậc 2, còn tử của các số hạng ở VT là bậc 3
=> nghĩ đến việc dùng BĐT Cô-si để hạ bậc 3 cuống còn bậc 2 (ta sẽ nghĩ đến việc dùng BĐT Cô-si cho 2 số trước)
=> biến tử số của các hạng số ở VT thành bậc 4
[tex]\frac{x^{3}}{y+z}=\frac{x^{4}}{xy+zx}[/tex] (*)
Để hạ bậc xuống còn bậc 2 thì ta phải tìm cách sao cho mẫu số của (*) biến mất sau khi dùng BĐT Cô-si
=> [tex]\frac{x^{4}}{xy+zx}+\frac{xy+yz}{\alpha }\geq 2\sqrt{\frac{x^{4}}{xy+zx}.\frac{xy+yz}{\alpha }}=\frac{2x^{2}}{\sqrt{\alpha }}[/tex]
=> Ta cần đi tìm hệ số [tex]\alpha[/tex] sao cho [tex]\frac{x^{4}}{xy+zx}=\frac{xy+yz}{\alpha }[/tex] (1) để dấu = xảy ra
Với việc dự đoan sđiểm ơi $x=y=z=1$ thì ta sẽ thay trực tiếp vào (1) được
[tex]\frac{1}{2}=\frac{2}{\alpha }\Rightarrow \alpha =4[/tex]
Vậy là xong rồi, ta chọn được [tex]\frac{xy+yz}{4}[/tex]
Lưu ý: Các bước trên chỉ làm nháp :v
Với bài của chị @quynhphamdq thì cũng theo hướng như vậy nhé bạn :3
Văn của mình không tốt cho nên cách giải thích kia sẽ có chỗ hơi khó hiểu :">
Không hiểu chỗ nào thì bạn có thể hỏi lại luôn nhé ^^