1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm D trên cạnh AC vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh sinB=(AB. AD+EB. ED)/(AB. EB+AD. ED)
$\Delta CED\sim \Delta CAB$(g-g)
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{ED}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}\\\widehat{CDE}=\widehat{CBA} \end{matrix}\right.$
$ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB.CD=ED.CB\\AB.CE=CA.ED\\\sin B=\sin D=\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CD} \end{matrix}\right.$
Có: $AB.AD+EB.ED=AB.(AC-DC)+ED(CB-CE)$
$=AB.AC-AB.DC+ED.CB-ED.CE=AB.AC-ED.CE$
và $AB.EB+AD.ED=AB(BC-EC)+ED.(AC-DC)$
$=AB.BC-AB.EC+ED.AC-ED.DC=AB.BC-AD.EC$
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:
[tex]\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CD}=\frac{AC.AB}{BC.AB}=\frac{CE.ED}{CD.DE}=\frac{AC.AB-CE.ED}{AB.BC-CD.CE}=\frac{AB.AD+EB.ED}{AB.EB+AD.DE}[/tex] (đpcm)
2. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, góc B > góc C, đường cao AH và đường trung tuyến AM. Đặt góc HAM = α. CMR: tan α = (cotgC-cotgB)/2
Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AM tại D
[tex]\Delta AMB=\Delta DMC(c-g-c)\Rightarrow AB=DC[/tex]
Xét [tex]\Delta ABC[/tex] có: $\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\Rightarrow AB<AC \Leftrightarrow DC<AC$
Xét [tex]\Delta ACD[/tex] có: [tex]DC<AC \Rightarrow \widehat{DAC}<\widehat{ADC} \Leftrightarrow \widehat{BAM}>\widehat{MAC}[/tex]
[tex]\Rightarrow \widehat{BAM}>\frac{\widehat{BAC}}{2}[/tex] (1)
Có: [tex]\widehat{BAH}=90^{\circ}-\widehat{ABH}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}}{2}-\widehat{ABH}=\frac{\widehat{BAC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}-\widehat{ABC}}{2}< \frac{\widehat{BAC}}{2}[/tex] (vì [tex]\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{ACB}-\widehat{ABC}<0[/tex])(2)
Từ (1) và (2) suy ra [tex]\widehat{BAH}<\widehat{BAM}[/tex]
=> tia AH nằm giữa tia AB và AM
=> H nằm giữa B và M
Đường trung tuyến AM [tex]\Rightarrow MB=MC[/tex]
[tex]CH-BH=(CM+MH)-(BM-MH)=2MH[/tex]
[tex]\Delta ABH[/tex] vuông tại H có [tex]\cot B=\frac{BH}{AH}[/tex]
[tex]\Delta ACH[/tex] vuông tại H có [tex]\cot C=\frac{CH}{AH}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{\cot C-\cot B}{2}=\frac{\frac{CH}{AH}-\frac{BH}{AH}}{2}=\frac{CH-BH}{2AH}=\frac{2HM}{2AH}=\frac{HM}{AH}[/tex]
[tex]\Delta AMH[/tex] vuông tại H có [tex]\tan \widehat{HAM}=\tan \alpha =\frac{HM}{AH}[/tex]
Suy ra $\tan \alpha =\frac{\cot C-\cot B}{2}$ (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
