Toán Tích phân 12

Ta đầu tiên chứng minh rằng với mọi $a \in [-2,-1]$, tồn tại $x$ sao cho $a \le x \le -1$ và $x-\sqrt{x^2-1}=a$. Thật vậy, ta chọn $x=\frac{a^2+1}{2a}$ là sẽ thoả mãn. Khi đó thì $f(a)=f(x-\sqrt{x^2-1})=x+\sqrt{x^2-1}= \frac 1a$. Do đó $f(x)= \frac 1x$ với mọi $x \in [-2,-1]$. Ta suy ra $\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x-1}f(x) dx= \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x(x-1)} dx$.