Toán tìm tích phân

Cho cái thứ nhất: Để ý $1-x+x^2=(x-1/2)^2+3/4$ nên nếu ta đặt $x-1/2=\sqrt 3/2 \tan u$ thì $\frac{dx}{du}= \frac{\sqrt 3}{2\cos^2 u}$. Do đó
$$\begin{align*}
\int \ln \sqrt{1-x+x^2} dx & = \int \ln \left( \frac{\sqrt 3}{2} \sqrt{\tan^2u+1} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\cos^2u} du , \\
& = \int \ln \left( \frac{\sqrt 3}{2} \right) \cdot \frac{\sqrt 3}{2\cos^2u} du - \frac{\sqrt 3}{2} \int \ln( \cos u) \cos^{-2}u du, \\
& = \ln \left( \frac{\sqrt 3}{2} \right) \frac{\sqrt 3}{2} \int \cos^{-2}u du - \frac{\sqrt 3}{2} \int \ln (\cos u) \cos^{-2}u du, \\
& = \ln \left( \frac{\sqrt 3}{2} \right)\frac{\sqrt 3}{2} \tan u - \frac{\sqrt 3}{2} \int \ln (\cos u) \cos^{-2}u du.
\end{align*}$$
Đặt $m= \ln \cos u, n'=\cos^{-2}u$ thì $m'= \frac{-\sin u}{\cos u}=-\tan u$ và $n= \tan u$ nên
$$\begin{align*}
\int \ln (\cos u) \cos^{-2}u du & = \int mn' = mn- \int m'n, \\
& = \ln(\cos u) \tan u + \int \tan^2u, \\
& = \ln(\cos u)\tan u + \tan u-u+c.
\end{align*}$$
Chú ý rằng $\sqrt{1-x+x^2}= \frac{\sqrt 3}{2} (\cos u)^{-1}$ và $\tan u = \frac{2x-1}{\sqrt 3}$ nên ta có thể kết luận
$$\begin{align*} \int \ln \sqrt{1-x+x^2} dx & = \ln \left( \frac{\sqrt 3}{2} \right)\frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{2x-1}{\sqrt 3} -\frac{\sqrt 3}{2}\ln \left( \frac{\sqrt 3}{2\sqrt{1-x+x^2}} \right) \frac{2x-1}{\sqrt 3}- \frac{\sqrt 3}{2}\frac{2x-1}{\sqrt 3} + \frac{\sqrt 3}{2} \tan^{-1} \left( \frac{2x-1}{\sqrt 3} \right)+c, \\
& =\frac 12 \left(x- \frac 12 \right) \ln(1-x+x^2)+\frac{\sqrt 3}{2} \tan^{-1} \left( \frac{2x-1}{\sqrt 3} \right)-x+c
\end{align*}$$

Cho cái thứ hai: Để ý $\int \frac{4\cos x-3 \sin x}{4\sin x+3 \cos x+5} dx= \ln (4\sin x+3 \cos x+5)+c$. Do đó ta chỉ cần đi tìm $\int (4\sin x+3 \cos x+5)^{-1} dx$. Đặt $t= \tan(x/2)$ thì $\sin x= \frac{2t}{1+t^2}, \cos x= \frac{1-t^2}{1+t^2}$ và $\frac{dx}{dt}= \frac{2}{t^2+1}$. Khi đó
$$\int \frac{dx}{4 \sin x+ 3 \cos x+5} = \int \frac{1}{(t+2)^2} dt = -(t+2)^{-1}+c=-(\tan(x/2)+2)^{-1}+c.$$