Toán CMR

Hạt Đậu nhỏ said:

a,CMR: a ko chia hết cho7 thì a^6-1 chia hết cho7
b, CMR:a^5-a chia hết cho 10

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

a,
$ a^6 - 1 = (a^3 - 1)(a^3 + 1) = (a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1) \\ a = 7k + 1 \\ \Rightarrow a - 1 = 7k + 1 - 1 = 7k \vdots 7 \\ \Rightarrow a^6 - 1 \vdots 7 \\ a = 7k + 2 \\ \Rightarrow a^2 + a + 1 = (7k + 2)^2 + 7k + 2 + 1 = 49k^2 + 28k + 4 + 7k + 2 + 1 = 49k^2 + 35k + 7 = 7(7k^2 + 5k + 1) \vdots 7 \\ \Rightarrow a^6 - 1 \vdots 7 \\ a = 7k + 3 \\ \Rightarrow a^2 - a + 1 = (7k + 3)^2 - (7k + 3) + 1 = 49k^2 + 42k + 9 - 7k - 3 + 1 = 49k^2 + 35k + 7 = 7(7k^2 + 5k + 1) \vdots 7 \\ \Rightarrow a^6 - 1 \vdots 7 \\ a = 7k - 3 \\ \Rightarrow a^2 + a + 1 = (7k - 3)^2 + 7k - 3 + 1 = 49k^2 - 42k + 9 + 7k - 3 + 1 = 49k^2 - 35k + 7 = 7(7k^2 - 5k + 1) \vdots 7 \\ \Rightarrow a^6 - 1 \vdots 7 \\ a = 7k - 2 \\ \Rightarrow a^2 - a + 1 = (7k - 2)^2 - (7k - 2) + 1 = 49k^2 - 28k + 4 - 7k + 2 + 1 = 49k^2 - 35k + 7 = 7(7k^2 - 5k + 1) \vdots 7 \\ \Rightarrow a^6 - 1 \vdots 7 \\ a = 7k - 1 \\ \Rightarrow a + 1 = 7k - 1 + 1 = 7k \vdots 7 \\ \Rightarrow a^6 - 1 \vdots 7 $
Từ 6 TH suy ra điều phải chứng minh

[tex]a^{5}-a=a(a-1)(a+1)(a^{2}+1)[/tex]
+) Dễ CM bt trên chia hết cho 2
+) Xét các th: a=5k+1=>a-1 chia hết cho 5
a=5k-1=> a+1 chia hết cho 5
a=5k+2=> [tex]a^{2}+1=25k^{2}+20k+4+1[/tex] chia hết cho 5
Tự với a=5k-2
Với a=5k, bt hiển nhiên chia hết cho 5
Vì (5;2)=1 nên bt chia hết cho 10