Toán Tìm GTNN của biểu thức

Áp dụng bđt $a^2+b^2+c^2 \geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}3$ $2$ lần ta có
$$2(x+y+z) = x^4+y^4+z^4 \geqslant \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}3 \geqslant \dfrac{[\dfrac{(x+y+z)^2}{3}]^2}3 \\
\iff x+y+z \leqslant 3\sqrt[3]{2}$$
Áp dụng bđt AM-GM cho $3$ số dương ta có
$$3\sqrt[3]{2} \geqslant x+y+z \geqslant 3\sqrt[3]{xyz}$$
Hay $xyz \leqslant 2$. Tiếp tục áp dụng bđt AM-GM và bđt vừa CM cho $A$ :
$A = xyz + \dfrac{4}{xyz} + \dfrac1{xyz} \geqslant 2\sqrt{xyz \cdot \dfrac{4}{xyz}} + \dfrac12 = \dfrac{9}2$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z = \sqrt[3]{2}$
Vậy $A_\text{min} = \dfrac{9}2$ tại $x=y=z = \sqrt[3]{2}$