Toán Bất đẳng thức

[lean0803]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [tex]x,y >0[/tex] thỏa mãn [tex]x+y=1[/tex], tìm GTNN của [tex]A= \frac{1}{xy}+\frac{1}{x^{3}+y^{3}}[/tex]
(Chú ý dấu "=" xảy ra)
Bài 2: Tìm GTNN của [tex]D=\frac{2002x+2003\sqrt{1-x^{2}}+2004}{\sqrt{1-x^{2}}}[/tex]
Bài 3: Cho [tex]a,b,c\geq 0; a^{1997}+b^{1997}+c^{1997}=3[/tex]. Tìm GTLN [tex]A= a^{2}+b^{2}+c^{2}[/tex]
Bài 4: Cho [tex]xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}=3[/tex], tìm GTNN của A= [tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}[/tex]
Bài 5: Cho [tex]x,y>0; x+y=1[/tex]. Chứng minh [tex]x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{17}{2}[/tex]
(Bài này tớ làm nhưng không hiểu sao bị ngược dấu T_T)

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 1: Cho [tex]x,y >0[/tex] thỏa mãn [tex]x+y=1[/tex], tìm GTNN của [tex]A= \frac{1}{xy}+\frac{1}{x^{3}+y^{3}}[/tex]
(Chú ý dấu "=" xảy ra)
Bài 2: Tìm GTNN của [tex]D=\frac{2002x+2003\sqrt{1-x^{2}}+2004}{\sqrt{1-x^{2}}}[/tex]
Bài 3: Cho [tex]a,b,c\geq 0; a^{1997}+b^{1997}+c^{1997}=3[/tex]. Tìm GTLN [tex]A= a^{2}+b^{2}+c^{2}[/tex]
Bài 4: Cho [tex]xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}=3[/tex], tìm GTNN của A= [tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}[/tex]
Bài 5: Cho [tex]x,y>0; x+y=1[/tex]. Chứng minh [tex]x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{17}{2}[/tex]
(Bài này tớ làm nhưng không hiểu sao bị ngược dấu T_T)

Bài 1:
$\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^3+y^3}
\\=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}
\\=\dfrac{(\sqrt{3})^2}{3xy}+\dfrac{1}{1-3xy}
\\\geq \dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{3xy+1-3xy}
\\=(\sqrt{3}+1)^2$
Dấu '=' khi $x+y=1$ và tách theo schawz.$xy=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$.
Bài 4:
$3=xy^2+yz^2+xz^2 \leq \dfrac{x^2+y^4}{2}+\dfrac{y^2+z^4}{2}+\dfrac{z^4+x^2}{2}
\\\Rightarrow x^4+y^4+z^4 \geq 6-(x^2+y^2+z^2)(*)$
Mặt khác:
$x^4 \geq 2x^2-1$
Tương tự cộng lại ta có:
$x^4+y^4+z^4 \geq 2x^2+2y^2+2z^2-3(**)$
Lấy $2(*)+(**)$ theo vế sẽ được min của $x^4+y^4+z^4$.
Bài 5:
Ta sẽ đi chứng minh:
$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2} \geq -15x+\dfrac{47}{4} ( x \in (0,1))$
Thật zậy điều trên tương đương: $\dfrac{(2x-1)^2(x^2+16x+4)}{4x^2} \geq 0$.
Do đó cái trên được chứng minh.
Áp dụng đối với $x,y$ cộng lại sẽ có ngay dpcm

 

[lean0803]

Bài 1:
$\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^3+y^3}
\\=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}
\\=\dfrac{(\sqrt{3})^2}{3xy}+\dfrac{1}{1-3xy}
\\\geq \dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{3xy+1-3xy}
\\=(\sqrt{3}+1)^2$
Dấu '=' khi $x+y=1$ và tách theo schawz.$xy=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$.
Bài 4:
$3=xy^2+yz^2+xz^2 \leq \dfrac{x^2+y^4}{2}+\dfrac{y^2+z^4}{2}+\dfrac{z^4+x^2}{2}
\\\Rightarrow x^4+y^4+z^4 \geq 6-(x^2+y^2+z^2)(*)$
Mặt khác:
$x^4 \geq 2x^2-1$
Tương tự cộng lại ta có:
$x^4+y^4+z^4 \geq 2x^2+2y^2+2z^2-3(**)$
Lấy $2(*)+(**)$ theo vế sẽ được min của $x^4+y^4+z^4$.
Bài 5:
Ta sẽ đi chứng minh:
$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2} \geq -15x+\dfrac{47}{4} ( x \in (0,1))$
Thật zậy điều trên tương đương: $\dfrac{(2x-1)^2(x^2+16x+4)}{4x^2} \geq 0$.
Do đó cái trên được chứng minh.
Áp dụng đối với $x,y$ cộng lại sẽ có ngay dpcm

Anh làm bài 5 theo BĐT Cauchy được không ạ?

 

[kingsman(lht 2k2)]

Anh làm bài 5 theo BĐT Cauchy được không ạ?

tại sao bài 5 lại có b^2 vậy bạn ...thấy chẳng liên quan ..đề sai chẳng hạn

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

tại sao bài 5 lại có b^2 vậy bạn ...thấy chẳng liên quan ..đề sai chẳng hạn

chắc là $y^2$ á bạn ^^

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Anh làm bài 5 theo BĐT Cauchy được không ạ?

Thích Cauchy thì Cauchy :v
$x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}
\\\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}+\dfrac{(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2}{2}
\\\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{(\dfrac{4}{x+y})^2}{2}
\\=\dfrac{1}{2}+\dfrac{16}{2}
\\=\dfrac{17}{2}$
Áp dụng các bđt phụ:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a+b}$ và $2(a^2+b^2) \geq (a+b)^2$
P/s: Làm xong hình như thấy mình không xài C-S thì phải haha :v

 

[Dương Bii]

Bài 1: Cho [tex]x,y >0[/tex] thỏa mãn [tex]x+y=1[/tex], tìm GTNN của [tex]A= \frac{1}{xy}+\frac{1}{x^{3}+y^{3}}[/tex]
(Chú ý dấu "=" xảy ra)
Bài 2: Tìm GTNN của [tex]D=\frac{2002x+2003\sqrt{1-x^{2}}+2004}{\sqrt{1-x^{2}}}[/tex]
Bài 3: Cho [tex]a,b,c\geq 0; a^{1997}+b^{1997}+c^{1997}=3[/tex]. Tìm GTLN [tex]A= a^{2}+b^{2}+c^{2}[/tex]
Bài 4: Cho [tex]xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}=3[/tex], tìm GTNN của A= [tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}[/tex]
Bài 5: Cho [tex]x,y>0; x+y=1[/tex]. Chứng minh [tex]x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{17}{2}[/tex]
(Bài này tớ làm nhưng không hiểu sao bị ngược dấu T_T)

Bai2: $(1002x+1001)^2 \geq 0$
$<=> (1001x+1002)^2 \geq 2003(1-x^2)$
$<=> 2002x+2004\geq 2\sqrt{2003}\sqrt{1-x^2}$
$<=> \frac{2002x+2004}{\sqrt{1-x^2}} \geq 2\sqrt{2003}$
$<=> \frac{2002x+2004}{\sqrt{1-x^2}}+2003 \geq 2\sqrt{2003} +2003$
Dau = $<=> x=\frac{-1001}{1002}$