do vai trò a,b,c như nhau mặt khác do dirichlet nên ta luôn có 2 trong 3 số a-1; b-1; c-1 là hai số không dương hoặc không âm cùng dấu nhau
không mất tính tổng quát giả sử : a-1 và b-1 là hai số đó và c-1 là số k âm => c>=1
=> ta luôn có [tex](a-1)(b-1)\geq 0[/tex]
[tex]ab-a-b+1\geq 0[/tex]
Ta có : [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)[/tex]
cm như sau :[tex]= (a^{2}+b^{2})+(c^{2}+1)+2abc-2ac-2bc+2c+2ca+2bc-2c = (a^{2}+b^{2})+(c^{2}+1)+2c(ab-a-b+1)+2ca+2bc-2c\geq 2ab+2c+0+2ca=2(ab+bc+ca)[/tex]
Áp dụng bđt trên ta được
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2ab+2bc+2ca-1-2abc+3\sqrt[3]{abc}[/tex]
mà a,b >0 và c>=1
nên [tex]2ab+2bc+2ca-1-2abc+3\sqrt[3]{abc}\geq 2ab+2bc+2ca-1-2abc+3[/tex] (1)
Ta có: ab+bc+ca+abc =<4
áp dụng bđt Cosi
4>=ab+bc+ca>=4[tex]\sqrt[4]{a^{2}b^{2}c^{2}}[/tex]
[tex]=> abc\leq 1 => -2abc \geq -2[/tex] (2)
từ (1) và (2)
suy ra [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2ab+2bc+2ca-1-2+3[/tex]
=> [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2ab+2bc+2ca[/tex]
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
[tex]ab+bc+ca+abc\leq 4\rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\leq \frac{4}{abc} \rightarrow \frac{4}{abc}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\geq \frac{16}{a+b+c+1}(Schwarz)\rightarrow \frac{16}{4abc}\geq \frac{16}{a+b+c+1}\rightarrow a+b+c+1\geq 4abc\rightarrow a+b+c\geq 4abc-1\geq ab+bc+ca\\\rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\\\rightarrow a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)[/tex]
cách bạn hay vậy
quan trọng là ngắn
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
