- 26 Tháng tám 2020
- 237
- 991
- 86
- 17
- Quảng Ninh
- THCS Chu Văn An
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chào các bạn, chuyện là mình vừa làm xong một bài bất đẳng thức, và mình đã tìm ra cách xác định điểm rơi rất hay cho nó:
Cho [tex]x,y>0; x+y=4[/tex]. Tìm gtnn:
[tex]P=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y^2}+y[/tex]
Trước khi nói về cách giải bài toán này. Chúng ta sẽ xuất phát một bài toán rất quen thuộc sau:
Cho [tex]x,y>0;x+y\geq 6[/tex].
Tìm gtnn của [tex]P=3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}[/tex]
Chắc hẳn các bạn đều biết cách giải của nó:
[tex]P=3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}\\ =\Big(\dfrac{3}{2}x+\dfrac{6}{x}\Big)+\Big(\dfrac{1}{2}y+\dfrac{8}{y}\Big)+\dfrac{3}{2}(x+y)\\ \geq^{AM-GM} 2\sqrt{\dfrac{3}{2}x \cdot \dfrac{6}{x}}+2\sqrt{\dfrac{1}{2}y \cdot \dfrac{8}{y}}+\dfrac{3}{2} \cdot 6\\ =2.3+2.2+3.3=19[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\begin{cases} x,y>0;x+y\geq 6\\ \\ \dfrac{3}{2}x=\dfrac{6}{x} \\ \\ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{y} \end{cases} \Leftrightarrow x=2;y=4[/tex]
Nhìn có vẻ đơn giản nhưng để tìm được điểm rơi [tex]x=2;y=4[/tex] là không hề dễ
Nếu như đây là bài toán của cấp hai thì các bạn có thể dự đoán [tex]x+y=6[/tex] và $x,y$ nguyên dương
Thì có thể thử các cặp [tex](x,y)=(1,5);(2,4);(3,3);(4,2);(5,1)[/tex] thì thấy với [tex](x,y)=(2,4)[/tex] thì [tex]P[/tex] nhỏ nhất.
Nhưng nếu như điểm rơi là số hữu tỉ, hay thậm chí là số vô tỷ thì cách mò điểm rơi trên hoàn toàn không phù hợp. Chúng ta cần một cách làm tổng quát hơn.
Tìm điểm rơi:
Trước tiên chúng ta thấy có [tex]x;\dfrac{1}{x}[/tex], có [tex]y,\dfrac{1}{y}[/tex], ta nghĩ đến kết quả quen thuộc: [tex]x+\dfrac{1}{x}\geq 2[/tex]
Nhưng nếu như ta sử dụng ngay $AM-GM$ hai số:
[tex]P=3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}=\Big(3x+\dfrac{6}{x}\Big)+\Big(2y+\dfrac{8}{y}\Big)\geq ^{AM-GM} 2\sqrt{3x \cdot \dfrac{6}{x}}+2\sqrt{2y \cdot \dfrac{8}{y}}=2\sqrt{18}+16[/tex]
Nhưng khi đó dấu "=" xảy ra khi [tex]x=\sqrt{2}; y=2\Rightarrow x+y=2+\sqrt{2}<6[/tex]
Như vậy chúng ta phải tách ghép làm sao cho điểm rơi tại [tex]x+y=6[/tex] và phải tận dụng được giả thiết [tex]x+y\geq 6[/tex]
Chúng ta nghĩ đến cách tách như sau:
[tex]P=3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}\\ =\Big(ax+\dfrac{6}{x}\Big)+\Big(by+\dfrac{8}{y}\Big)+(3-a)x+(2-b)y\\ \geq 2\sqrt{ax \cdot \dfrac{6}{x}}+2\sqrt{by \cdot \dfrac{8}{y}}+(3-a)x+(2-b)y\\ =2\sqrt{6a}+2\sqrt{8b}+(3-a)x+(2-b) [/tex]
Mục đích tách ghép như vậy là để xuất hiện [tex](3-a)x[/tex] và [tex](2-b)y[/tex]
Để sử dụng được [tex]x+y\geq 6[/tex], thì ta cần tìm [tex]a,b[/tex] sao cho [tex]3-a=2-b[/tex], thì khi đó đặt nhân tử chung ra ngoài sẽ xuất hiện [tex]x+y[/tex]
Điểm rơi của chúng ta sẽ là [tex]\begin{cases} x+y=6\\ ax=\dfrac{6}{x}\\ \\ by=\dfrac{8}{y}\\ 3-a=2-b \end{cases}[/tex]
Chúng ta có 4 phương trình và 4 ẩn nên hoàn toàn giải được [tex]\Rightarrow x=2;y=4;a=\dfrac{3}{2};b=\dfrac{1}{2}[/tex]
Từ đó ta có lời giải hoàn chỉnh như trên.
Trở lại với bài toàn ban đầu:
Cho [tex]x,y>0; x+y=4[/tex]. Tìm gtnn:
[tex]P=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y^2}+y[/tex]
Thì chưa thấy được dạng quen thuộc vì vướng [tex]\dfrac{2}{y^2}[/tex]
Ở đây ta sử dụng kĩ thuật hạ bậc để hạ từ [tex]y^2[/tex] xuống [tex]y[/tex] nhằm xuất hiện [tex]\dfrac{1}{y}[/tex]
Ta giả sử điểm rơi là [tex]y=a\Rightarrow x=4-a[/tex]
[tex]P=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+(\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{2}{a^2})+y-\dfrac{2}{a^2}\\ \geq \dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+2\sqrt{\dfrac{2.2}{y^2 a^2}}+y-\dfrac{2}{a^2}\\ =\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{ay}+y-\dfrac{2}{a^2}[/tex]
Chúng ta đã đưa được về dạng quen thuộc có [tex]x;\dfrac{1}{x}[/tex], có [tex]y,\dfrac{1}{y}[/tex]
Đến đây ta tách [tex]y=ky+(1-k)y[/tex] để có [tex]ky[/tex] ghép cặp AM-GM với [tex]\dfrac{4}{ay}[/tex] và thừa ra [tex](1-k)y[/tex] để lát đặt nhân tử chung xuất hiện [tex]x+y[/tex]
[tex]P\geq \dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\Big(ky+\dfrac{4}{ay}\Big)-\dfrac{2}{a^2}+(1-k)y[/tex]
Ta cần [tex]ky=\dfrac{4}{ay}\Leftrightarrow ka=\dfrac{4}{a^2}(y=a)\Leftrightarrow k=\dfrac{4}{a^3}[/tex]
[tex]\Rightarrow P\geq \dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\Big(\dfrac{4}{a^3}y+\dfrac{4}{ya}\Big)-\dfrac{2}{a^2}+\Big(1-\dfrac{4}{a^3}\Big)y\\ =\Big[\Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)x+\dfrac{1}{x}\Big]+\Big(\dfrac{4}{a^3}y+\dfrac{4}{ya}\Big)-\dfrac{2}{a^2}+\Big(1-\dfrac{4}{a^3}\Big)x+\Big(1-\dfrac{4}{a^3}\Big)y\\ =\Big[\Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)x+\dfrac{1}{x}\Big]+\Big(\dfrac{4}{a^3}y+\dfrac{4}{ya}\Big)-\dfrac{2}{a^2}+\Big(1-\dfrac{4}{a^3}\Big)(x+y)[/tex]
Cẩn tìm a để [tex]\Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)x=\dfrac{1}{x}\\ \Leftrightarrow \Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)(4-a)=\dfrac{1}{4-a}\\ \Leftrightarrow \Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)=\dfrac{1}{(a-4)^2}\\ \Leftrightarrow a=2\\ \Rightarrow x=y=2;k=\dfrac{1}{2}[/tex] (các bạn có thể dùng máy tính để giải)
Từ đó ta có lời giải hoàn chỉnh sau:
[tex]P=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y^2}+y\\ =\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\Big(\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{2}\Big)+y-\dfrac{1}{2}\\ \geq \dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+y-\dfrac{1}{2}\\ =\Big(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{x}\Big)+\Big(\dfrac{1}{2}y+\dfrac{2}{y}\Big)-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}(x+y)\\ \geq 2.\dfrac{1}{2}+2.1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.4\\ =\dfrac{9}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\begin{cases} x,y>0;x+y=4\\ \dfrac{2}{y^2}=\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{4}x=\dfrac{1}{x}\\ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{2}{y} \end{cases} \Leftrightarrow x=y=2[/tex]
Mình bấm máy hơi vội do đã gần 12h, nên nếu có sai sót gì mong các bạn thông cảm.
Các phần mình viết hơn rời rạc nên các bạn có thể vừa xem vừa viết ra nháp
Hi vọng kể từ bây giờ các bạn đã có cho mình thêm một chút kinh nghiệm tìm điểm rơi bất đẳng thức, gtln, gtnn.
Cho [tex]x,y>0; x+y=4[/tex]. Tìm gtnn:
[tex]P=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y^2}+y[/tex]
Trước khi nói về cách giải bài toán này. Chúng ta sẽ xuất phát một bài toán rất quen thuộc sau:
Cho [tex]x,y>0;x+y\geq 6[/tex].
Tìm gtnn của [tex]P=3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}[/tex]
Chắc hẳn các bạn đều biết cách giải của nó:
[tex]P=3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}\\ =\Big(\dfrac{3}{2}x+\dfrac{6}{x}\Big)+\Big(\dfrac{1}{2}y+\dfrac{8}{y}\Big)+\dfrac{3}{2}(x+y)\\ \geq^{AM-GM} 2\sqrt{\dfrac{3}{2}x \cdot \dfrac{6}{x}}+2\sqrt{\dfrac{1}{2}y \cdot \dfrac{8}{y}}+\dfrac{3}{2} \cdot 6\\ =2.3+2.2+3.3=19[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\begin{cases} x,y>0;x+y\geq 6\\ \\ \dfrac{3}{2}x=\dfrac{6}{x} \\ \\ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{y} \end{cases} \Leftrightarrow x=2;y=4[/tex]
Nhìn có vẻ đơn giản nhưng để tìm được điểm rơi [tex]x=2;y=4[/tex] là không hề dễ
Nếu như đây là bài toán của cấp hai thì các bạn có thể dự đoán [tex]x+y=6[/tex] và $x,y$ nguyên dương
Thì có thể thử các cặp [tex](x,y)=(1,5);(2,4);(3,3);(4,2);(5,1)[/tex] thì thấy với [tex](x,y)=(2,4)[/tex] thì [tex]P[/tex] nhỏ nhất.
Nhưng nếu như điểm rơi là số hữu tỉ, hay thậm chí là số vô tỷ thì cách mò điểm rơi trên hoàn toàn không phù hợp. Chúng ta cần một cách làm tổng quát hơn.
Tìm điểm rơi:
Trước tiên chúng ta thấy có [tex]x;\dfrac{1}{x}[/tex], có [tex]y,\dfrac{1}{y}[/tex], ta nghĩ đến kết quả quen thuộc: [tex]x+\dfrac{1}{x}\geq 2[/tex]
Nhưng nếu như ta sử dụng ngay $AM-GM$ hai số:
[tex]P=3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}=\Big(3x+\dfrac{6}{x}\Big)+\Big(2y+\dfrac{8}{y}\Big)\geq ^{AM-GM} 2\sqrt{3x \cdot \dfrac{6}{x}}+2\sqrt{2y \cdot \dfrac{8}{y}}=2\sqrt{18}+16[/tex]
Nhưng khi đó dấu "=" xảy ra khi [tex]x=\sqrt{2}; y=2\Rightarrow x+y=2+\sqrt{2}<6[/tex]
Như vậy chúng ta phải tách ghép làm sao cho điểm rơi tại [tex]x+y=6[/tex] và phải tận dụng được giả thiết [tex]x+y\geq 6[/tex]
Chúng ta nghĩ đến cách tách như sau:
[tex]P=3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}\\ =\Big(ax+\dfrac{6}{x}\Big)+\Big(by+\dfrac{8}{y}\Big)+(3-a)x+(2-b)y\\ \geq 2\sqrt{ax \cdot \dfrac{6}{x}}+2\sqrt{by \cdot \dfrac{8}{y}}+(3-a)x+(2-b)y\\ =2\sqrt{6a}+2\sqrt{8b}+(3-a)x+(2-b) [/tex]
Mục đích tách ghép như vậy là để xuất hiện [tex](3-a)x[/tex] và [tex](2-b)y[/tex]
Để sử dụng được [tex]x+y\geq 6[/tex], thì ta cần tìm [tex]a,b[/tex] sao cho [tex]3-a=2-b[/tex], thì khi đó đặt nhân tử chung ra ngoài sẽ xuất hiện [tex]x+y[/tex]
Điểm rơi của chúng ta sẽ là [tex]\begin{cases} x+y=6\\ ax=\dfrac{6}{x}\\ \\ by=\dfrac{8}{y}\\ 3-a=2-b \end{cases}[/tex]
Chúng ta có 4 phương trình và 4 ẩn nên hoàn toàn giải được [tex]\Rightarrow x=2;y=4;a=\dfrac{3}{2};b=\dfrac{1}{2}[/tex]
Từ đó ta có lời giải hoàn chỉnh như trên.
Trở lại với bài toàn ban đầu:
Cho [tex]x,y>0; x+y=4[/tex]. Tìm gtnn:
[tex]P=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y^2}+y[/tex]
Thì chưa thấy được dạng quen thuộc vì vướng [tex]\dfrac{2}{y^2}[/tex]
Ở đây ta sử dụng kĩ thuật hạ bậc để hạ từ [tex]y^2[/tex] xuống [tex]y[/tex] nhằm xuất hiện [tex]\dfrac{1}{y}[/tex]
Ta giả sử điểm rơi là [tex]y=a\Rightarrow x=4-a[/tex]
[tex]P=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+(\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{2}{a^2})+y-\dfrac{2}{a^2}\\ \geq \dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+2\sqrt{\dfrac{2.2}{y^2 a^2}}+y-\dfrac{2}{a^2}\\ =\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{ay}+y-\dfrac{2}{a^2}[/tex]
Chúng ta đã đưa được về dạng quen thuộc có [tex]x;\dfrac{1}{x}[/tex], có [tex]y,\dfrac{1}{y}[/tex]
Đến đây ta tách [tex]y=ky+(1-k)y[/tex] để có [tex]ky[/tex] ghép cặp AM-GM với [tex]\dfrac{4}{ay}[/tex] và thừa ra [tex](1-k)y[/tex] để lát đặt nhân tử chung xuất hiện [tex]x+y[/tex]
[tex]P\geq \dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\Big(ky+\dfrac{4}{ay}\Big)-\dfrac{2}{a^2}+(1-k)y[/tex]
Ta cần [tex]ky=\dfrac{4}{ay}\Leftrightarrow ka=\dfrac{4}{a^2}(y=a)\Leftrightarrow k=\dfrac{4}{a^3}[/tex]
[tex]\Rightarrow P\geq \dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\Big(\dfrac{4}{a^3}y+\dfrac{4}{ya}\Big)-\dfrac{2}{a^2}+\Big(1-\dfrac{4}{a^3}\Big)y\\ =\Big[\Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)x+\dfrac{1}{x}\Big]+\Big(\dfrac{4}{a^3}y+\dfrac{4}{ya}\Big)-\dfrac{2}{a^2}+\Big(1-\dfrac{4}{a^3}\Big)x+\Big(1-\dfrac{4}{a^3}\Big)y\\ =\Big[\Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)x+\dfrac{1}{x}\Big]+\Big(\dfrac{4}{a^3}y+\dfrac{4}{ya}\Big)-\dfrac{2}{a^2}+\Big(1-\dfrac{4}{a^3}\Big)(x+y)[/tex]
Cẩn tìm a để [tex]\Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)x=\dfrac{1}{x}\\ \Leftrightarrow \Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)(4-a)=\dfrac{1}{4-a}\\ \Leftrightarrow \Big(\dfrac{4}{a^3}-\dfrac{1}{4}\Big)=\dfrac{1}{(a-4)^2}\\ \Leftrightarrow a=2\\ \Rightarrow x=y=2;k=\dfrac{1}{2}[/tex] (các bạn có thể dùng máy tính để giải)
Từ đó ta có lời giải hoàn chỉnh sau:
[tex]P=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y^2}+y\\ =\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\Big(\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{2}\Big)+y-\dfrac{1}{2}\\ \geq \dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+y-\dfrac{1}{2}\\ =\Big(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{x}\Big)+\Big(\dfrac{1}{2}y+\dfrac{2}{y}\Big)-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}(x+y)\\ \geq 2.\dfrac{1}{2}+2.1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.4\\ =\dfrac{9}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\begin{cases} x,y>0;x+y=4\\ \dfrac{2}{y^2}=\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{4}x=\dfrac{1}{x}\\ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{2}{y} \end{cases} \Leftrightarrow x=y=2[/tex]
Mình bấm máy hơi vội do đã gần 12h, nên nếu có sai sót gì mong các bạn thông cảm.
Các phần mình viết hơn rời rạc nên các bạn có thể vừa xem vừa viết ra nháp
Hi vọng kể từ bây giờ các bạn đã có cho mình thêm một chút kinh nghiệm tìm điểm rơi bất đẳng thức, gtln, gtnn.
