HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy GIA NHẬP ngay

[Toán9]Một số đề thi olimpic toán học lớp 9 nè !

Thảo luận trong 'Đề thi - Tài liệu lớp 9' bắt đầu bởi boybuidoi147, 31 Tháng mười 2008.

Lượt xem: 3,662

1. boybuidoi147Guest

Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới

Pro 1. (Vietnamese National Olympiad 2008) Let x; y; z be distinct
non-negative real numbers. Prove that
1
(x y)2 +
1
(y z)2 +
1
(z x)2
4
xy + yz + zx
:
r
Pro 2. (Iranian National Olympiad (3rd Round) 2008). Find the
smallest real K such that for each x; y; z 2 R+:
xpy + ypz + zpx K
p
(x + y)(y + z)(z + x)
r
Pro 3. (Iranian National Olympiad (3rd Round) 2008). Let x; y; z 2 R+ and x + y + z = 3. Prove that:
x3
y3 + 8
+
y3
z3 + 8
+
z3
x3 + 8
1
9
+
2
27
(xy + xz + yz)
r
Pro 4. (Iran TST 2008.) Let a; b; c > 0 and ab+ac+bc = 1. Prove that:
pa3 + a + pb3 + b + pc3 + c 2pa + b + c
r
4
Inequalities from 2008 Mathematical Competition ? ? ? ? ?
Pro 5. (Macedonian Mathematical Olympiad 2008.) Positive num-
bers a, b, c are such that (a + b) (b + c) (c + a) = 8. Prove the inequality
a + b + c
3 27
r
a3 + b3 + c3
3
r
Pro 6. (Mongolian TST 2008) Find the maximum number C such that
for any nonnegative x; y; z the inequality
x3 + y3 + z3 + C(xy2 + yz2 + zx2) (C + 1)(x2y + y2z + z2x):
holds.
r
Pro 7. (Federation of Bosnia, 1. Grades 2008.) For arbitrary reals
x, y and z prove the following inequality:
x2 + y2 + z2 xy yz zx maxf
3(x y)2
4
;
3(y z)2
4
;
3(y z)2
4 g:
r
Pro 8. (Federation of Bosnia, 1. Grades 2008.) If a, b and c are
positive reals such that a2 + b2 + c2 = 1 prove the inequality:
a5 + b5
ab(a + b)
+
b5 + c5
bc(b + c)
+
c5 + a5
ca(a + b) 3(ab + bc + ca) 2
r
Pro 9. (Federation of Bosnia, 1. Grades 2008.) If a, b and c are
positive reals prove inequality:
(1 +
4a
b + c
)(1 +
4b
a + c
)(1 +
4c
a + b
) > 25
r
Pro 10. (Croatian Team Selection Test 2008) Let x, y, z be positive
numbers. Find the minimum value of:
(a)
x2 + y2 + z2
xy + yz
(b)
x2 + y2 + 2z2
xy + yz
Inequalities from 2008 Mathematical Competition ? ? ? ? ?
r
Pro 11. (Moldova 2008 IMO-BMO Second TST Problem 2) Let
a1; : : : ; an be positive reals so that a1 + a2 + : : : + an n
2 . Find the minimal
value of
A =
s
a2
1 +
1
a2
2
+
s
a2
2 +
1
a2
3
+ : : : +
s
a2
n +
1
a2
1
r
Pro 12. (RMO 2008, Grade 8, Problem 3) Let a; b 2 [0; 1]. Prove that
1
1 + a + b 1
a + b
2
+
ab
3
:
r
Pro 13. (Romanian TST 2 2008, Problem 1) Let n 3 be an odd
integer. Determine the maximum value of
p
jx1 x2j +
p
jx2 x3j + : : : +
p
jxn1 xnj +
p
jxn x1j;
where xi are positive real numbers from the interval [0; 1]
r
Pro 14. (Romania Junior TST Day 3 Problem 2 2008) Let a; b; c
be positive reals with ab + bc + ca = 3. Prove that:
1
1 + a2(b + c)
+
1
1 + b2(a + c)
+
1
1 + c2(b + a)
1
abc
:
r
Pro 15. (Romanian Junior TST Day 4 Problem 4 2008) Determine
the maximum possible real value of the number k, such that
(a + b + c)

1
a + b
+
1
c + b
+
1
a + c k

k
for all real numbers a; b; c 0 with a + b + c = ab + bc + ca.
r
Inequalities from 2008 Mathematical Competition ? ? ? ? ?
Pro 16. (Serbian National Olympiad 2008) Let a, b, c be positive real
numbers such that x + y + z = 1. Prove inequality:
1
yz + x + 1
x
+
1
xz + y + 1
y
+
1
xy + z + 1
z
27
31
:
r
positive real numbers for which a + b + c = 1. Prove that
a bc
a + bc
+
b ca
b + ca
+
c ab
c + ab
3
2
:
r
Pro 18. (German DEMO 2008) Find the smallest constant C such that
for all real x; y
1 + (x + y)2 C (1 + x2) (1 + y2)
holds.
r
Pro 19. (Irish Mathematical Olympiad 2008) For positive real num-
bers a, b, c and d such that a2 + b2 + c2 + d2 = 1 prove that
a2b2cd + +ab2c2d + abc2d2 + a2bcd2 + a2bc2d + ab2cd2 3=32;
and determine the cases of equality.
r
Pro 20. (Greek national mathematical olympiad 2008, P1) For the
positive integers a1; a2; :::; an prove that
Pn
i=1 a2
i Pn
i=1 ai
kn
t

Yn
i=1
ai
where k = max fa1; a2; :::; ang and t = min fa1; a2; :::; ang. When does the
equality hold?
r

Last edited by a moderator: 31 Tháng mười 2008
2. boybuidoi147Guest

máy tui đã lưu mấy cái này nhưng poss lên ko được là sao vậy kà ????????????????????????????

5. dolacuraGuest

giúp em làm bài sau với
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (o) . Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB ,AC (H thuộc AB , K thuộc AC).
a, Chứng minh rằng : A,K,M,H cùng nằm trên 1 đường tròn và hai tam giác MBC và MHK đồng dạng

b, Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn HK là lớn nhất