[tex]\{U_n\}[/tex] xác định bởi
[tex]U_1=1,\;\;U_{n+1}=\frac{1}{2U_n+1},\;\; \forall n \ge 1[/tex]
----------------------------
Tính [tex]U_{2011}[/tex] ?
----------------------------
(Yêu cầu không dùng phương pháp quy nạp để tìm số hạng tổng quát)
^_^
bài bạn làm cũng được!
Không dùng quy nạp thì chỉ có quy trình bấm phím =((
[TEX]1 \fbox{=}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{\fbox{Ans} + 2} \fbox{=}[/TEX]
Bấm mười mấy cái ta được :
[TEX]0,5[/TEX] không đổi nên ta có :
[TEX]U_{2011}=0,5[/TEX]
mình có cách khác!
Cái hay của bài này ở chỗ tìm ra số hạng tổng quát một cách rất đặc biệt.
Ta tính thử một vài giá trị của [tex]\{U_n\}[/tex]
[tex]U_1=1[/tex]
[tex]U_2=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]U_3=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}=\frac{3}{5}[/tex]
[tex]U_4=\frac{1}{\frac{6}{5}+1}=\frac{5}{11}[/tex]
...
Dãy này không có
chu kỳ như em nghĩ!
Ta nhận thấy MẪU của số hạng trước là TỬ của số hạng sau... do đó ta có thể dự đoán 1 công thức tổng quát cho [tex]\{U_n\}[/tex] rồi chứng minh nó bằng quy nạp toán học. Nhưng ở đây ta không làm vậy.
Đặt [tex]U_n=\frac{D_{n-1}}{D_n}[/tex] với [tex]\{D_n\}[/tex] là dãy thích hợp ta cần tìm.
Theo công thức truy hồi ở đề bài ta có:
[tex]\frac{D_n}{D_{n+1}}=\frac{1}{2\frac{D_{n-1}}{D_n}+1}=\frac{D_n}{2D_{n-1}+D_n}\;\; \Rightarrow D_{n+1}=D_n+2D_{n-1}\;\;(1)[/tex]
Vậy [tex]\{D_n\}[/tex] là dãy số được xác định bởi công thức truy hồi bậc 2 (1)
(1) có phương trình đặc trưng là [tex]x^2-x-2=0[/tex]
Phương trình này có 2 nghiệm [tex]x_1=-1,\;\;x_2=2[/tex]
Do đó [tex]\{D_n\}[/tex] có công thức tổng quát dạng
[tex]D_n= \alpha (-1)^n+ \beta 2^n [/tex], với [tex]\alpha,\;\beta[/tex] được lựa chọn thích hợp
Ta có:
[tex]1=U_1=\frac{D_0}{D_1}=\frac{\alpha+\beta}{2\beta-\alpha} \Rightarrow \beta=2\alpha[/tex]
Lấy [tex]\alpha=1; \Rightarrow \beta=2[/tex] ta có
[tex]D_n= (-1)^n+ 2^{n+1} [/tex]
Suy ra
[tex]U_n=\frac{D_{n-1}}{D_n}=\frac{2^n+(-1)^{n-1}}{2^{n+1}+(-1)^n}[/tex]
--------------------------------------------------------
[tex]U_{2011}=\frac{2^{2011}+1}{2^{2012}-1}[/tex]
^_^
