Bạn hãy ĐĂNG NHẬP để sử dụng nhiều chức năng hơn

[Toán 8] Phương trình nghiệm nguyên

Thảo luận trong 'Đại số' bắt đầu bởi trydan, 8 Tháng sáu 2010.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 3,290

  1. trydan

    trydan Guest

    Sổ tay hướng dẫn sử dụng HMforum phiên bản mới


    Nhằm nâng cao kĩ năng giải phương trình nghiệm nguyên của các mem, mình lập ra pic này :)
    Ta chỉ giải các phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng không mẫu mực
    Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
    Bài 1: [​IMG]
    Bài 2: [​IMG]
    Bài 3: [​IMG]


    ______________________________________________________________
    Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

     
  2. 01263812493

    01263812493 Guest


    [TEX]2x+25y=8 \Rightarrow x=\frac{8-24y-y}{2}=4-12y- \frac{y}{2}[/TEX]. Để x nguyên thì y phải là bội của 2[tex] \Rightarrow y=2t [/tex](t thuộc Z) . Khi đó [tex] x= 4-24t-t[/tex] mà[tex] 2x+25y=8 \Leftrightarrow 2(4-24t-t)+2t=8 \Rightarrow t=0 \Rightarrow y=0; x=4[/tex].Ah` mà cho mình hỏi phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng không mẫu mực là j` ạ
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng sáu 2010
  3. 0915549009

    0915549009 Guest




    ______________________________________________________________

    Đặt PT là (1) \Leftrightarrow [TEX]x^2[/TEX]+1 = [TEX]y^3[/TEX]+[TEX]2^3[/TEX]
    \Leftrightarrow [TEX]x^2[/TEX] + 1 = (y+2)([TEX]y^2[/TEX] - 2y + 4) (2)
    Nếu y chẵn thì vế phải của (2) chia hết cho 4 nên x lẻ, x = 2t + 1 \Rightarrow [TEX]x^2[/TEX]+1 = [TEX]4t^2[/TEX] + 4t + 2 ko chia hết cho 4. Mâu thuẫn.
    Nếu y lẻ, y= 2k +1 \Rightarrow [TEX]y^2[/TEX] - 2y + 4 = [TEX]4k^2[/TEX]+ 3 nên nó phải có ước nguyên tố lẻ dạng 4m + 3 (vì tích các số dạng 4m + 1 lại có dạng 4k + 1). Suy ra [TEX]x^2[/TEX] + 1 có ước nguyên tố dạng p = 4m + 3, trái vs mệnh đề. Vậy PT (1) ko có nghiệm nguyên
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng bảy 2010
  4. quan8d

    quan8d Guest


    [tex]x^3+y^3=21xy+6[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=21xy+6[/tex]
    Đặt [tex]x+y=a , xy = b[/tex] , suy ra :
    [tex]a^3-3ab=21b+6[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow a^3-6=3b(a+7)[/tex]
    [tex]\Rightarrow a^3-6 \vdots a+7[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow a^3+7^3-349 \vdots a+7[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow 349 \vdots a+7[/tex]
    Lập bảng xét giá trị của a+7 từ đó tìm ra được a và b \Rightarrow giá trị của x và y vì 349 là số nguyên tố
    Vì mất máy tính nên ko thể tính ra đc , mong mọi người thông cảm
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng sáu 2010

  5. Đọc toán học tuổi trẻ số 394 đấy có bài viết về kĩ năng này, hay lắm. Dạng này chủ yếu quy về ptr bậc 2 theo 1 ẩn nhất định, ẩn còn lại là tham số. Sau đó Giải ptr bằng cách đưa về bdt để chặn giá trị tham số và liệt kê nghiệm.
     

  6. Dạng này còn có nhiều phương pháp khác, chứ không nhất thiết chỉ giải được bằng 1 phuơng pháp. Ví dụ như bài này: [TEX]{x}^{2}[/TEX]+2=y(x-1) hăọc 1 bài nưã: [TEX]{x}^{2}[/TEX] +kx+3k-1=0
    Mấy bạn thử giải bằng nhiều cách nha
     
  7. quan8d

    quan8d Guest




    Ta có :[tex] x^2+2=y(x-1) \Leftrightarrow (x-1)(x+1)+3=y(x-1) \Leftrightarrow (x-1)(x+1-y) = -3 [/tex]
    mà [tex]3 = 1.-3=3.-1[/tex] rồi thay vào tìm x,y
    Từ đó ta được nghiệm PT là : [tex](2;6), (-2;-2), (4;6), (0;-2)[/tex]
     
  8. muathu1111

    muathu1111 Guest


    Đây là cách lớp 9 sang năm sẽ học thôi ( tuy nhiên là cuối năm )
    Mình sẽ làm bài 3 với cách này :
    Ta có: 2.x + 25.y - 8 = 0
    Delta = - 4.( 25.y + 7)
    Với y = 0 thì x = 4
    Với y # 0:
    Để x nguyên => 25.y + 7 = a^2
    \Leftrightarrow ( a - 5.\sqrt{y}) ( a + 5.\sqrt{y}) = 7
    => a + 5 căn y = 7 => y = 0,36; a=4 ( loại)
    a - 5 căn y = 1
    và a + 5 căn y = -1
    a - 5 căn y = -7 => y = 0,36 ; a= -4 (loại)
    Vậy pt trên có cặp nghiệm nguyên (x,y) là ( 4,0)
     
  9. 01263812493

    01263812493 Guest


    Mình thấy bài 3 ngộ sao ấy--------------- Chúng ta luôn tìm được x với mọi y chẵn-----> vậy pt vô số nghiệm sao -------- nếu đổi lại là tìm nghiệm nguyên dương thì bài giải của mình sẽ hợp lí hơn
     
  10. le_tien

    le_tien Guest


    Làm sao mà có nghiệm nguyên dương mà tìm
    Bài này có vô số nghiệm
    biện luận y chia hết cho 2 => y = 2k => x = 4-25k
    Nghiệm tổng quát của pt có dạng: x = 4-25k ; y = 2k
     
  11. trydan

    trydan Guest


    Mình đề nghị bạn james_bond_danny47 không Spam tại pic này nưa. Bạn đã Spam quá nhiều.:)
    Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau:
    Bài 4: [​IMG]
    Bài 5: [​IMG]




    ______________________________________________________________
    Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

     
  12. quan8d

    quan8d Guest


    Không mất tính tổng quát giả sử [tex]1\leq x\leq y\leq z[/tex] . Ta có:
    PT \Leftrightarrow [tex]\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy} = 3 [/tex]
    Do [tex]1\leq x\leq y\leq z[/tex] nên[tex] \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\geq 3[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow 3 \geq 3x^2[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow 1 \geq x^2 \Rightarrow x=1[/tex]
    Thay [tex]x=1[/tex] vào PT ta được :
    [tex]1+y+z=3yz [/tex]
    [tex]\Leftrightarrow(3y-1)(z-1)=0[/tex]
    [tex]\Rightarrow z=1[/tex] (do[tex] y \in N*[/tex])
    Thay [tex]z=1[/tex] vào trên ta được :[tex] 2+y=3 \Rightarrow y=1[/tex]
    Vậy nghiệm của PT là (1;1;1)
     
  13. 0915549009

    0915549009 Guest


    Các bạn làm luôn bài Giải PTNN này nha:
    [TEX]4y^2[/TEX] = 2 + [TEX]\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2010
  14. quan8d

    quan8d Guest


    [tex]4y^2=2+\sqrt{199-x^2-2x}=2+\sqrt{200-(x+1)^2}\leq 2+\sqrt{200}[/tex]

    [tex]\Rightarrow 4\leq4y^2\leq16[/tex] [tex]\Rightarrow 1\leq y^2 \leq 4[/tex]

    Vì[tex] y \in Z[/tex] nên [tex]y = \pm\ 1, \pm\ 2[/tex] [tex]\Rightarrow 4 = 2+\sqrt{199-x^2-2x}[/tex]

    Khi [TEX]y = \pm\ 1[/TEX] thì [TEX]PT \Leftrightarrow 4 = 2+ \sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow 2= \sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow x^2+2x=195 [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow (x-13)(x+15)=0[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow x=13, x=-15 [/TEX]

    Khi [TEX]y = \pm\ 2[/TEX] thì [TEX]PT \Leftrightarrow 16 = 2+\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow 14 = \sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow x^2+2x=3[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow (x-1)(x+3) = 0[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow x=1, x=-3[/TEX]

    Vậy nghiệm cuả PT là : [TEX](13;\pm\ 1), (-15;\pm\ 1), (1; \pm\ 2), (-3;\pm\ 2)[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2010
  15. 0915549009

    0915549009 Guest


    bạn quan8d làm bài nỳ thiếu nghiệm oy`, vs lại bài này hok có nghiệm 15 đâu bạn ạ !!!
    PT có các nghiệm (x;y) là:
    (1; -2), (1; 2), (-3; -2), (-3, 2), (13; -1), (13; 1), (-15; -1), (-15; 1)
     
  16. 01263812493

    01263812493 Guest


    Vì sao có dc nhỉ ----------- bạn giải thich xem-----------------------------:D
     
  17. 0915549009

    0915549009 Guest


    Tiếp nha các bạn:
    1) Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
    [TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX]+[TEX]z^2[/TEX]+xyz = 20
    2) Tìm nghiệm nguyên của PT:
    [TEX]\sqrt{x}[/TEX] + [TEX]\sqrt{y}[/TEX] = [TEX]\sqrt{50}[/TEX]
    3) Giải PT nghiệm nguyên dương:
    xy - 2x - 3y +1 = 0
    4) Giải PT nghiệm nguyên:
    a) [TEX]y^3[/TEX] - [TEX]x^3[/TEX] = 3x
    b) [TEX](x-2)^4[/TEX] - [TEX]x^4[/TEX] = [TEX]y^3[/TEX]
    c) [TEX]y^3[/TEX] = [TEX]x^3[/TEX] + 2x + 1
    d) [TEX]x^6 - [/TEX] [TEX]4y^3[/TEX] - [TEX]4y^4[/TEX] = 2 + 3y + [TEX]6y^2[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2010
  18. 0915549009

    0915549009 Guest


    Cách của mình nè:
    [TEX]4y^2[/TEX] = 2 + [TEX]\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]
    \Leftrightarrow [TEX]4y^2[/TEX] = 2 + [TEX]\sqrt{200- (x+1)^2}[/TEX]
    Để PT có nghiệm nguyên thì BT trong căn phải là số CP
    Ta có: [TEX]\sqrt{200- (x+1)^2}[/TEX] = [TEX]\sqrt{10^2+10^2-(x+1)^2}[/TEX] = [TEX]\sqrt{2^2+14^2-(x+1)^2}[/TEX]
    Khi đó: hoặc [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]10^2[/TEX] hoặc [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]14^2[/TEX] hoặc [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]2^2[/TEX]
    * Nếu [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]10^2[/TEX] thì [TEX]4y^2[/TEX] = 2 + 10 \Rightarrow [TEX]y^2[/TEX] = 3, PT vô nghiệm nguyên
    * Tương tự vs [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]2^2[/TEX] và [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]14^2[/TEX]
    Thử lại, ta đc các nghiệm như trên (các nghiệm mình nêu ban nãy ấy)
     
  19. duynhan1

    duynhan1 Guest


    1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
    [tex] x^2 + 2y^2 + 3xy+3x+5y= 14 [/tex]

    2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
    [tex] 3x^2 + 2y^2 + z^2 + 4xy + 2yz = 26 - 2xz [/tex]

    3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
    [tex] x^4 = y^2 ( y -x^2) [/tex]
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng chín 2011
  20. tuyn

    tuyn Guest


    Vì [TEX]x,y \in Z_*^+ \Rightarrow x,y \geq 1[/TEX]
    [TEX]VT (1) \geq 14 \Rightarrow VT (1)=14 \Leftrightarrow x=y=1[/TEX]
    Vậy PT có nghiệm duy nhất x=y=1
    [TEX]y^2(y-x^2)=x^4 \geq 0 \Rightarrow y-x^2 \geq 0, x^4 \geq y^2 \Leftrightarrow y \geq x^2 \geq 0, x^2 \geq y[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow y=x^2 \Rightarrow x=y=0[/TEX]
    Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=y=0