Sự kiện "ĐIỂM DANH NGAY - NHẬN QUÀ LIỀN TAY" hạn chót 21h 31/08/16

Bạn hãy ĐĂNG NHẬP hoặc ĐĂNG KÝ tài khoản để tham gia nhé!

[Toán 8] Định lý Ơ-le

Thảo luận trong 'Hình học' bắt đầu bởi nhatvy2606, 11 Tháng tư 2012.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 12,551

  1. nhatvy2606

    nhatvy2606 Guest

    "Điểm danh ngay - Nhận quà liền tay" chào đón HMforum quay trở lại


    Chứng minh định lý Ơ-le bằng các kiến thức đã học ở lớp 8.
     
  2. 654321sss

    654321sss Guest


    http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=1805

    đó là link tham khảo. có gì bạn tải tệp về mà tự hoc nhá
    còn cách lớp 8 nè :

    Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G , O là tâm đường tròn
    ngoại tiếp , I là trung điểm BC , AD là đường kính của (O) .
    Chứng minh H , G , O thẳng hàng ?
    Giải :
    Ta có : góc DCA = góc DBA = 90 độ ( góc nội tiếp chắn 1/2 (O))
    Xét tứ giác BHCD ta có :
    BH // DC ( vì cùng vuông góc với AC )
    CH // DB ( vì cùng vuông góc với AB )
    Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành .
    ===> H , I , D thẳng hàng và IH = ID (t/c đường chéo hbhành)
    Ta lại có : OI = 1/2 AH ( đ.trung bình tam giác DAH ) (1)
    GI = 1/2 GA (t/chất trọng tâm của ABC ) (2)
    góc HAG = góc GIO ( so le trong vì AH // OI ) (3)
    Do đó tam giác GAH đồng dạng tam giác GIO ( c.g.c)
    ===> góc HGA = góc IGO (góc tương ứng của 2 t.giác đ.dạng )
    Vì góc HGA và góc IGO là 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau nên ta suy ra H , G , O thẳng hàng .
     
  3. nguyenlamlll

    nguyenlamlll Guest


    Chứng minh đường thẳng Euler, đường tròn Euler, và định lý Euler

    Mình sẽ giúp bạn chứng minh lần lượt cả 3 cái luôn: Đường thẳng, Đường tròn, Định lý. Nhiều hơn cũng không sao ha ^^!, bạn tham khảo:

    1. Chứng minh đường thẳng Euler

    Cách 1:

    [​IMG]

    Vẽ [tex]\large\Delta[/tex]ABC có giao điểm ba đường cao AD, BE, CF là H. G là trọng tâm của [tex]\Delta[/tex]ABC.

    Từ B vẽ đường thẳng song song với HC, từ C vẽ đường thẳng song song với HB, chúng cắt nhau tại Q.
    Gọi M là giao điểm của HQ và BC.

    Xét tứ giác HCQB ta có :
    [tex]\{ \begin BH// CQ (gt) \\BQ//CH (gt)[/tex]
    \Rightarrow Tứ giác HCQB là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh đối song song
    \Rightarrow MB = MC và MH = MQ (tính chất đường chéo hình bình hành)

    Xét [tex]\Delta[/tex]ABC có AM là đường trung tuyến (MB=MC):
    Mà G là trọng tâm [tex]\Delta[/tex]ABC (gt)
    \Rightarrow[tex]MG=\frac{1}{3}AM[/tex]

    Xét [tex]\Delta[/tex]AHQ có AM là đường trung tuyến (MH=MQ)
    Mà [tex]MG=\frac{1}{3}AM[/tex] (cmt)
    \Rightarrow G là trọng tâm [tex]\Delta[/tex]AHQ

    Ta có HO là đường trung tuyến (OA=OQ=R)
    \RightarrowG [tex]\in\[/tex] HO.

    ======
    Mình không rõ lớp 8 học đường tròn chưa, nên các kiến thức như góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông thì chắc là bạn chưa biết (nếu bạn học lớp 8) :p. Cách chứng minh thì như trên. Không chứng minh song song được thì đành tự vẽ ra thôi ^^!
    ======

    Cách 2:

    CM: HCQB là hình bình hành

    CM: [tex]\frac{AG}{MG} =2 = \frac{AH}{OM}[/tex] bằng tính chất đường trung bình trong [tex]\Delta[/tex]AHQ và tính chất trọng tâm trong [tex]\Delta[/tex]ABC

    CM: [tex]\Delta[/tex]AHG và [tex]\Delta[/tex]MOG đồng dạng
    \Rightarrow [tex]\widehat{AGH}=\widehat{MGO}[/tex] (1)

    Ta có: [tex]\widehat{HGA} + \widehat{HGM} = 180^0 [/tex](2 góc kề bù) (2)
    Từ (1) & (2) ta có: [tex]\widehat{MGO} + \widehat{HGM} = 180^0 [/tex]
    \Rightarrow H, G, O thẳng hàng.


    2. Chứng minh đường tròn Euler

    Gọi K là trung điểm của OH

    Cách 1:

    Gọi I là trung điểm của AH

    Xét [tex]\Delta[/tex]AHO có:
    [tex]\{ \begin IA=IH (gt) \\KH=KO (gt)[/tex]
    \Rightarrow IK là đường trung bình của [tex]\Delta[/tex]AHO
    \Rightarrow IK//AO; [tex]IK=\frac{1}{2}AO=\frac{R}{2}[/tex] (1)

    Cm tương tự: KM là đường trung bình của [tex]\Delta[/tex]HOQ
    \Rightarrow KM//OQ; [tex]KM=\frac{1}{2}OQ=\frac{R}{2}[/tex] (2)

    Từ (1), (2)
    \Rightarrow [tex]\{ \begin KI=KM=\frac{R}{2} \\I, K, M [/tex]thẳng hàng

    Xét [tex]\Delta[/tex]IDM vuông tại D có DK là trung tuyến (KI=KM)
    \Rightarrow[tex]KI=KM=DK=\frac{R}{2}[/tex]
    \RightarrowI, D, M [tex]\in\[/tex] [tex](K;\frac{R}{2})[/tex]

    Cm tương tự: 2 chân đường cao vẽ từ B và C, 2 chân đường trung tuyến vẽ từ B và C, 2 trung điểm HB và HC [tex]\ \in\ (K;\frac{R}{2})[/tex]


    Cách 2: Cập nhật sớm ^^!


    3. Chứng minh định lý Euler

    Cập nhật sớm ^^!
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng tư 2012