HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy GIA NHẬP ngay

[Toán 8] Bất đẳng thức côsi và bunhiacopxki

Thảo luận trong 'Đại số' bắt đầu bởi nhoc_bi96, 30 Tháng ba 2010.

Lượt xem: 93,354

  1. nhoc_bi96

    nhoc_bi96 Guest

    Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới


    Mình học lớp nâng cao toán lý hóa anh văn nhưng hôm có tiết toán mình nghỉ thấy dạy về 2 BĐT này, mình chỉ biết công thức của nó là:

    BĐT Côsi : ( áp dụng cho số nguyên dương)
    [TEX] \frac{(x+y}{2} \geq \sqrt{x.y}[/TEX]
    BĐT bunhia copxki: (áp dụng 6 số 1,1,1,a,b,c)

    [TEX](1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) \geq (1.a+1.b+1.c)^2[/TEX]


    Mình chỉ biết như thế, ai có thễ giải thích cặn kẽ hơn giùm mình được ko??

    Chú ý latex
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng sáu 2011
  2. bigbang195

    bigbang195 Guest

  3. nhoc_bi96

    nhoc_bi96 Guest



    Tìm òy mà kok ra trang web nào giải thích hết, ai có thể giải thích cho mình đc hum za
     
  4. trydan

    trydan Guest


    Bất đẳng thức Cauchy thì chứng minh dễ rồi:
    [TEX](a+b)^2 -4ab = a^2-2ab + b^2 =(a-b)^2\geq 0[/TEX]
    \Rightarrow [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Rightarrow a+b \geq \sqrt {4ab}\Rightarrow \frac{a+b}{2}\geq \sqrt {ab}[/TEX] (đpcm)
    Còn bất đẳng thức Bunhiacopxki ([TEX](ax+by)^2\leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/TEX] )thì chứng minh như sau:
    [TEX](ax+by)^2\leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow a^2x^2+2axby + b^2y^2\leq a^2x^2+ a^2y^2 +b^2x^2+ b^2y^2[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow 2axby\leq a^2y^2 + b^2x^2 [/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow(ay-bx)^2\geq 0[/TEX] (đpcm)
    Đối với lớp 8 thì bất đẳng thức Bunhiacopxki không được ứng dụng nhiều lắm. Chủ yếu là dùng bất đẳng thức Cauchy.
    ;)


    ______________________________________________________________
    Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự
     
    Last edited by a moderator: 2 Tháng tư 2010
  5. dat30412

    dat30412 Guest


    Bạn "trydan" có chỗ chưa hợp lý vì từ [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Rightarrow a+b \geq \sqrt {4ab}[/TEX] là sai. Phải là [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Leftrightarrow \| \ a+b \| \ \geq 2\sqrt {ab}[/TEX]. Chẳng qua trong bất đẳng thức Cauchy thì người ta có nói các số a,b là các số nguyên dương nên [TEX]\| \ a+b \| \[/TEX] = a+b đấy
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng chín 2010
  6. vodichhocmai

    vodichhocmai Guest



    Và hiển nhiên một điều là bạn cũng sai luôn ;) [TEX]\ \ [/TEX] Vì sao ?:)
     
  7. muathu1111

    muathu1111 Guest


    Ai chà :Cosi nè:
    [TEX]\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1.a_2.+...+a_n}[/TEX]
    Bu-nhi-a-cốp-xki:
    [TEX]({a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+...+{b_n}^2)\geq(a_1b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n)^2[/TEX]
    Cosi ak`:áp dụng quy nạp để CM: chắc ai cũng biết làm
    Bu-nhi-a-cốp-xki:
    Đặt[TEX] A= {a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2, B={b_1}^2+{b_2}^2+...+{b_n}^2, C=
    a_1b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n[/TEX]
    Cần CM:[TEX]AB\geq C^2[/TEX]
    Nếu A=0 hoặc B=0 thì BĐT đc CM
    Với [TEX]A,B[/TEX] khác 0
    Với [TEX]\forall x[/TEX] ta có:
    [TEX](a_1x-b_1)^2\geq0\geq{a_1}^2x^2-2a_1b_1x+{b_1}^2\geq0[/TEX]
    [TEX](a_2x-b_2)^2\geq0\geq{a_2}^2x^2-2a_2b_2x+{b_2}^2\geq0[/TEX]
    ...
    [TEX](a_nx-b_n)^2\geq0\geq{a_n}^2x^2-2a_nb_nx+{b_n}^2\geq0[/TEX]
    Cộng từng vế n BĐT trên đc:
    [TEX]Ax^2-2Cx+B\geq0 (1) [/TEX]
    Vì [TEX](1)[/TEX] đúng [TEX]\forall x[/TEX] nên thay [TEX]x=\frac{C}{A}[/TEX] vào [TEX](1)[/TEX] ta đc:
    [TEX]A.\frac{C^2}{A^2}-2.\frac{C^2}{A}+B\geq 0 \Rightarrow B-\frac{C^2}{A}\geq 0 \Rightarrow AB-C^2\geq 0\Rightarrow AB\geq C^2[/TEX]
    Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi [TEX]a_1x=b_1,...,a_nx=b_n[/TEX]

    CM cosi với 2 số ko âm nè:
    [TEX](a-b)^2 \geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2-2ab \geq 0 \Leftrightarrow(a+b)^2 \geq 4ab \Leftrightarrow a+b \geq 2.\sqrt{ab}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 6 Tháng chín 2010
  8. ladykillah

    ladykillah Guest


    Sao lại sai ???
    Sai thế nào :|
    Giải thích dùm em với
     

  9. thì a, b nguyên dương rồi chứ sao :D:D
    a,b nguyên dương thì |a+b| = a+b
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng chín 2011
  10. tai37949211

    tai37949211 Guest


    híc thấy tủi cho tụi anh quá! anh năm nay học lớp 12 mà đến h cũng biết sơ sơ, cũng k bít là lớp 8 có học 2 bất đẳng thức này, h đi luyện thi mới dc học@@ chán
     

  11. Mấy bạn đều chưa giải thích rõ được điều kiện \geq 0 của Cauchy

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    Lại có

    [​IMG]

    Thay [​IMG] vào, ta có

    [​IMG]

    [​IMG]

    Làm thế này thì mới rõ được điều kiện của bất đẳng thức
     
  12. nguyentu94

    nguyentu94 Guest


    có bất cập gì đâu...một điều đúng hiển nhiên thây bạn.........
    ______________________________________________________
    ______________________________________________________
     
  13. congnhatso1

    congnhatso1 Guest


    bất đẳng thức côsi và bunhiacopsky đều là các bDT về các số dương thôi
    thực chất tên nó khác
    - BDT côsi : tên của nó thực ra là BDT AM-GM
    -bdt bunhia copsky : thực ra tên là BDT cauchy-schwarts

    các bất đẳng thức này đều được viết dưới dạng nhiều số
    các bdt mà bạn đưa ra chỉ là bdt ứng với 2 số để dễ vận dụng
    muốn biết thêm thì lên google.com mà tìm
     
  14. daovuquang

    daovuquang Guest


    Thực ra BĐT Cauchy-Schwarz không cần số phải dương mới áp dụng được đâu.:)
     
  15. tienlvmklc

    tienlvmklc Guest


    bất đẳng thức cosi:
    a^2+b^2\geq 2ab
    \Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\geq 0
    \Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0
    điều này luôn đúng \Rightarrow a^2+b^2\geq 2ab đúng
    :p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p
     

  16. Cho 1/ab +1/bc +1/ac=3.Chứng minh 1/a^3 +1/b^3 + 1/b^3 >=3"
     
  17. huuqui142

    huuqui142 Guest


    -BĐTCÔsi(nhà toán học người Pháp) có tên gọi chính xác là "BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân"(viết tắt Tiếng Anh là AM-GM(arithmetic mean-geometric mean)).Cách gọi tên "BĐT Côsi" là ko chính xác, thật ra Côsi ko phải là người đề xướng ra BĐTnày mà chỉ là người đưa ra một cách chứng minh đặc sắc cho BĐT này. Dạng tổng quát của nó là:
    $ \ dfrac{a1+a2+a3+…+an}{n} \geq \sqrt[n]{ a1a2a3…an}$
    hay: $ a1+a2+a3+…+an \geqn \sqrt[n]{ a1a2a3…an}$
    với n số :a1;a2;a3;…;an không âm(các số 1,2,.. sau chữ a là chỉ số, mình ko biết làm sau để viết thụt xuống, thông cảm nhe:D)
    dấu dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:a1=a2=a3=…=an
    BĐT bạn đưa ra là trường hợp n=2, đây là dạng thường gặp nhất.

    -BĐT Bunhiacopxki(nhà toán học người Nga) do Côsi khởi xướng đầu tiên vào năm 1821, Bunhiacopxki(học trò của Côsi) là người mở rộng kết quả cho tích phân vào năm 1859, và đến năm 1885 nhà toán học người Đức là H.A.Schwarz dã chứng minh được kết quả tổng quát của BĐT này trong trường hợp không gian tích trong. do đó tên gọi chính xác của BĐT này là "BĐT Bunhiacopxki-Côsi -Schwarz", nhiều tài liệu còn gọi nó là BĐT Côsi .DẠng tổng quát của nó là:
    với hai bộ số thực bất kì (a1;a2;a3;…;an) và(b1;b2;b3;…;bn), ta có
    $ (a1^2+a2^2+a3^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+…+bn^2) \geq (a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)^2$
    dấu dẳng thứcxay3 ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho ai=kbi(i là chỉ số ,\foralli=1;2;3;...)
    hay $ \frac{a1}{b1}=\frac{a2}{b2}=...=\frac{an}{bn}$với quy ước mẫu=0 thì tử cũng=0@-)
    HAI BĐT THỨC NÀY LÀ HAI BĐT THỨC CỰC KÌ QUAN TRỌNG !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
     
  18. vuongchomo

    vuongchomo Guest


    Nói rõ ràng ra chút chứ có hỉu chj môk
    Dù quan trọng hay răng nữa cũng có thấy hay dùng môk

    ^:)^ ^:)^
     
  19. hoangbnnx99

    hoangbnnx99 Guest


    Bất đẳng thức Cô-si
    ((a+b)/2)^2 lớn hơn hoặc bằng ab với a,b>=0
    => (a^2 + 2ab + b^2)/4 lớn hơn hoặc bằng ab
    => a^2 + 2ab + b^2 lớn hơn hoặc bằng 4ab
    => a^2 - 2ab+b^2 lớn hơn hoặc bằng 0
    => (a-b)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 (luôn đúng)
    Dấu bằng xảy ra khi a=b

    Bất đẳng thức BUNHIACOPXKI:
    (ax+by)^2 nhỏ hơn hoặc = (a^2 +b^2)(x^2 +y^2)
    => a^2x^2 +2axby +b^2y^2 nhỏ hơn hoặc = a^2x^2 +b^2x^2 + b^2y^2
    chuyển vế đổi dấu
    =>a^2y^2 - 2axby+ b^2y^2 >= 0
    => (ay - bx)^2 >= 0
    điều này luôn đúng nên...(kết luận ghi lại bất đẳng thức)
    bđt xảy ra khi ax = by
     
  20. tranphuccm

    tranphuccm Guest


    ui khổ nhỷ thế lúc anh lớp 8 người ta không dạy à****************************************************************************************************************??????????///
     

CHIA SẺ TRANG NÀY