[Toán 7] Các bài toán khó

[thinhrost1]

Toán khó lớp 7 đây!!

Bài toán 1. So sánh:2009^20 và 20092009^10 (20092009 không phải phép nhân đâu nhé!)
Bài toán 2. Tính tỉ số [TEX]\frac{A}{B}[/TEX] Biết:

[TEX]A= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... \frac{1}{2009}[/TEX]

[TEX]B= \frac{2008}{1} + \frac{2007}{2} + \frac{2006}{3} + .... + \frac{2}{2007} + \frac{1}{2008} [/TEX]
Bài toán 3 Cho x, y, z, t N* :
Chứng minh rằng : [TEX]M= \frac{x}{x + y + z} + \frac{y}{x + y + t} + \frac{z}{y + z + t} + \frac{t}{x + z + t}[/TEX] có giá trị không phải là số tự nhiên.
Bài toán 4. Tìm x; y thuộc Z biết:
a. 25 – [TEX]y^2[/TEX] = 8( x – 2009)
b.[TEX]x^3 y[/TEX]= [TEX]x y^3[/TEX] + 1997
c. x + y + 9 = xy – 7.

Bài toán 5. Tìm x biết :
a.

b. [TEX] x^2 + |6x -2 | |= x^2 + 4[/TEX]

Mình có rất nhiều chừng nào các bạn làm xong hết mình post tiếp cho

 

[hiensau99]

Bài toán 1. So sánh:$2009^{20}$ và $20092009^{10} $(20092009 không phải phép nhân đâu nhé!)
Bài toán 2. Tính tỉ số [TEX]\frac{A}{B}[/TEX] Biết:

[TEX]A= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... \frac{1}{2009}[/TEX]

[TEX]B= \frac{2008}{1} + \frac{2007}{2} + \frac{2006}{3} + .... + \frac{2}{2007} + \frac{1}{2008} [/TEX]
Bài toán 3 Cho x, y, z, t N* :
Chứng minh rằng : [TEX]M= \frac{x}{x + y + z} + \frac{y}{x + y + t} + \frac{z}{y + z + t} + \frac{t}{x + z + t}[/TEX] có giá trị không phải là số tự nhiên.
Bài toán 4. Tìm x; y thuộc Z biết:
a. 25 – [TEX]y^2[/TEX] = 8( x – 2009)
b.[TEX]x^3 y[/TEX]= [TEX]x y^3[/TEX] + 1997
c. x + y + 9 = xy – 7.

Bài toán 5. Tìm x biết :
a.

b. [TEX] x^2 + |6x -2 | |= x^2 + 4[/TEX]

Mình có rất nhiều chừng nào các bạn làm xong hết mình post tiếp cho

Bài 1: Không nghĩ nổi cách nào hay hơn là tính =.=
$2009^{20}= 2009^{2.10}=4036081^{10} <20092009^{10} $

Bài 2:
$B= \dfrac{2008}{1} + \dfrac{2007}{2} + \dfrac{2006}{3} + .... + \dfrac{2}{2007} + \dfrac{1}{2008} $

$= \dfrac{2009 - 1}{1} + \dfrac{2009-2}{2} + \dfrac{2009-3}{3} + .... + \dfrac{2009- 2007}{2007} + \dfrac{2009-2008}{2008} $

$= 2009- 1 + \dfrac{2009}{2} - 1 + \dfrac{2009}{3} -1 + .... + \dfrac{2009}{2007} -1 + \dfrac{2009}{2008} -1$

$= 2009.( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + .... + \dfrac{1}{2007}+ \dfrac{1}{2008} ) + 2009-2008$

$= 2009.( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + .... + \dfrac{1}{2007}+ \dfrac{1}{2008} + \dfrac{1}{2009} )$

Vậy $\dfrac{A}{B}= \dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + .... + \dfrac{1}{2007}+ \dfrac{1}{2008} + \dfrac{1}{2009}}{2009.( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + .... + \dfrac{1}{2007}+ \dfrac{1}{2008} + \dfrac{1}{2009} )}= \dfrac{1}{2009}$

Bài 3:
Do $x, y, z, t \in N*$ nên ta có:
$\dfrac{x}{x + y + z + t} < \dfrac{x}{x + y + z} < \dfrac{x+t}{x + y + z+t}$

$ \frac{y}{x + y + t + z} < \dfrac{y}{x + y + t} < \dfrac{y+z}{x + y + t+z} $

$\dfrac{z}{y + z + t + x} < \dfrac{z}{y + z + t} < \dfrac{z+x}{y + z + t +x}$

$\dfrac{t}{x + z + t +y} < \dfrac{t}{x + z + t}< \dfrac{t+y}{x + z + t+y}$

Cộng vế với vế ta có

$\dfrac{x}{x + y + z + t}+ \frac{y}{x + y + t + z} + \dfrac{z}{y + z + t + x} + \dfrac{t}{x + z + t +y} <\dfrac{x}{x + y + z} + \dfrac{y}{x + y + t} + \dfrac{z}{y + z + t} + \dfrac{t}{x + z + t} < \dfrac{x+t}{x + y + z+t}+ \dfrac{y+z}{x + y + t+z} + \dfrac{z+x}{y + z + t +x}+ \dfrac{t+y}{x + z + t+y}$

$\to 1 < M < 2$

$\to $ đpcm

Bài 4: a, $25 – y^2 = 8( x – 2009)^2$ thì đúng hơn nhỉ :-?

b, $x^3 y= xy^3 + 1997 \to x^3 y - xy^3 = 1997 \to xy(x^2-y^2)= 1997 \to xy(x-y)(x+y)=1997 $

Phân tích 1997 thành tích của các thừa số rồi tìm tiếp =.=

c, $x + y + 9 = xy – 7 \to x+y-xy + 16 = 0 \to y(1-x)- (1-x) = - 17 \to (y-1)(1-x)=-17$
Tách -17 ra tích của 2 thừa số rồi tìm tiếp x;y

Bài 5:

a, + Với x< $\dfrac{-3}{2} \to 2x+3 < 0 ; 2(2x+3)< 0 ; 5(2x+3) < 0$. Khi đó $|2x+3|+ |2(2x+3)|+ |5(2x+3)| = 16 = -2x-3 - 4x - 6 - 10x - 15 $

$\to -16x- 24 = 16 \to -16 x = 40 \to x= -2,5$ (TMĐK)

+ Với x $ \ge \dfrac{-3}{2} \to 2x+3 \ge 0 ; 2(2x+3) \ge 0 ; 5(2x+3) \ge 0$. Khi đó $|2x+3|+ |2(2x+3)|+ |5(2x+3)| =2x+3+ 4x+6+ 10x+15 = 16 $

$\to 16x+ 24= 16 \to 16x= -8 \to x= -0,5$ (TMĐK)

b, |x^2 + |6x -2 | |= x^2 + 4

Ta có $x^2 + |6x -2 | \ge 0$ \forall x $\to x^2 + |6x -2 | = x^2+4 \to |6x -2 | =4$

Xét 2 khoảng gt của x là $x< \dfrac{1}{3}; x \ge \dfrac{1}{3} $ để tìm x tương tự phần a

 

[thinhrost1]

Bài toán 6. Chứng minh rằng :[TEX]\frac{3}{1^2 . 2^2} + \frac{5}{2^2 . 3^2} + \frac{7}{3^2 . 4^2} + ... +\frac{19}{9^2 .10^2} [/TEX] < 1

Bài toán 7. Cho n số [TEX]x_1[/TEX],[TEX] x_2[/TEX], ..., [TEX]x_n[/TEX] mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu [TEX]x_1[/TEX].[TEX] x_2[/TEX] + [TEX] x_2[/TEX].[TEX] x_3[/TEX]+ ...+ [TEX] x_n[/TEX].[TEX] x_1[/TEX] = 0 thì n chia hết cho 4.

Bài toán 8. Chứng minh rằng:
S =

< 0,2
Bài toán 9. Tính giá trị của biểu thức A = [TEX]x^n + \frac{1}{x^n}[/TEX] giả sử [TEX]x^2 + x + 1[/TEX]=0
Bài toán 10. Tìm max của biểu thức: [TEX]\frac{3-4x}{x^2 + 1}[/TEX]
Bài toán 11. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng :

Bài toán 12. Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức :

 

[thinhrost1]

Bài này khó đấy. Mình không biết làm thế này đúng không nữa. Nếu đúng thì thanks mình cho vui nhé!

Ta có: S = [TEX]\frac{1}{2^2} \ - \ \frac{1}{2^4} \ + \ \frac{1}{2^6} \ - \ ... \ + \ \frac{1}{2^{2002}} \ - \ \frac{1}{2004}[/TEX]

\Rightarrow 16 S = [TEX]4 \ - \ 1 \ + \ \frac{1}{4} \ - \ ... \ + \frac{1}{4^{n-1}}[/TEX]

\Rightarrow 15 S = [TEX]3 \ - \ \frac{1}{4^n} \ + \ \frac{1}{4^{n+1}}[/TEX]

\Rightarrow 15 S < 3

\Rightarrow S < 0,2

 

[ugly_crazy]

Bài 6:
$\frac{3}{1^2.2^2} + \frac{5}{2^2.3^2} + \frac{7}{3^2.4^2} + ... + \frac{19}{9^2.10^2}$
$=\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + ...+ \frac{1}{9^2} - \frac{1}{10^2}$
$=\frac{1}{1^2} - \frac{1}{10^2}$
$=\frac{1}{2} - \frac{1}{100}$
$=\frac{49}{100}$

 

[tung5amkb]

Bài 1: Không nghĩ nổi cách nào hay hơn là tính =.=
$2009^{20}= 2009^{2.10}=4036081^{10} <20092009^{10} $

Bạn phân tích [TEX]20092009^{10}[/TEX] = [TEX]2009^{10}.10001^{10}[/TEX]

[TEX]2009^{20}[/TEX] = [TEX]2009^{10}.2009^{10}[/TEX]

Vì [TEX]2009^{10} \ < \ 10001^{10}[/TEX] \Rightarrow [TEX]2009^{20} \ < \ 20092009^{10}[/TEX]

 

[tung5amkb]

Bài toán 7:

Xét n tích [TEX]x_1.x_2 \ , \ x_2.x_3 \ , \ ... \ , \ x_n.x_1[/TEX], mỗi tích có giá trị bằng 1 hoặc -1. Do tổng các tích trên bằng 0 nên số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng [TEX]\frac{n}{2}[/TEX] tức [TEX]n\vdots2[/TEX].
Xét tích A = [TEX](x_1.x_2)(x_2.x_3)...(x_n.x_1)[/TEX] = [TEX]x_1^2.x_2^2. \ ... \ .x_n^2[/TEX] = 1 > 0. Từ đây suy ra số tích có giá trị bằng -1 cũng là số chẵn, hay [TEX]\frac{n}{2}[/TEX] cũng là số chẵn. Vậy [TEX]n\vdots4[/TEX]

 

[baduy99]

Cho biểu thức đại số sau:
K=(x^2y - xy^2 + 9/8)*(x^2y - xy^2 + 1/4) - (x^2y - xy^2 + 1/8)*(x^2y - xy^2 + 5/4)
C/M: K=1/8

 

[shinxun]

=1/1^2−1/10^2
=1/2−1/100
=49/100

Xin lỗi hình như có nhầm lẫn ạ. Theo em:

=1/1^2−1/10^2
=1/1−1/100
=99/100

 

[pororo_rocket]

giúp mình với ,cách trình bày và bài làm của bài này (2x-1)^6=(2x-1)^8 và bài tìm x,y 2^x=4^y-1 và 27^y=3^x=8

 

[nguyenbahiep1]

giúp mình với ,cách trình bày và bài làm của bài này (2x-1)^6=(2x-1)^8 và bài tìm x,y 2^x=4^y-1 và 27^y=3^x=8

về sau post ra bài mới đừng post vào 1 bài thế này

[TEX](2x-1)^6 - (2x-1)^8 = 0 \\ (2x-1)^6.(1- (2x-1)^2) = 0 \\ TH_1: (2x-1)^6 = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \\ TH_2 : 1 - (2x-1)^2 = 0 \Rightarrow 2x -1 = 1 \Rightarrow x = 1 \\ 2x-1 = - 1 \Rightarrow x = 0 [/TEX]

câu 2

[TEX]27^y = 3^x \Rightarrow 3^{3y} = 3^x \Rightarrow 3y = x [/TEX]

thay ngược lên trên là ra

mà bạn xem lại đề, thấy đề có vẻ ko chuẩn

 

[tung5amkb]

Bài toán 9:

Không biết bài mình làm thế này được không?

[TEX]x^2 \ + \ x \ + \ 1 \ = \ 0[/TEX] \Rightarrow x [TEX]\not=[/TEX] 1.

[TEX]x^2 \ + \ x \ + \ 1 \ = \ 0[/TEX] \Rightarrow [TEX](x^2 \ + \ x \ + \ 1)(x-1) \ = \ 0[/TEX]

{Đoạn này chú thích thôi nhé: Lấy (x-1) nhân với các hạng tử của tổng kia như phân phối của phép nhân với phép cộng ấy, sau đó lấy x và 1 tiếp tục nhân lần lượt. Kết quả ra là [TEX]x^3 \ - \ 1[/TEX], đây là hằng đẳng thức sẽ học vào lớp 8.}

\Rightarrow [TEX]x^3 \ - \ 1 \ = \ 0[/TEX] hay [TEX]x^3 \ = \ 1[/TEX]

Nếu n = 3k thì [TEX]x^n \ + \ \frac{1}{x^n} \ = \ 1 \ + \ 1 \ = 2[/TEX]

Nếu n = 3k + 1 thì [TEX]x^n \ + \ \frac{1}{x^n} \ = \ x \ + \ \frac{1}{x} \ = \ x \ + \ x^2 \ = \ x \ + \ x^2 \ = -1 [/TEX] (vì [TEX]x^n \ = \ x[/TEX] và [TEX]x^3 \ = \ 1[/TEX])

Nếu n = 3k + 2 thì [TEX]x^n \ + \ \frac{1}{x^n} \ = \ x^2 \ + \ \frac{x^3}{x^2} \ = -1[/TEX] vì [TEX]x^n \ = \ x^2[/TEX] và [TEX]x^3 \ = \ 1[/TEX])

Trong 2 trường hợp n = 3k + 1 và 3k + 2 bạn thay n vào rồi áp dụng cách nhân 2 lũy thừa cùng cơ số thôi.

 

[tung5amkb]

Đặt a = 2x + y + z , b = 2y + x + z , c = 2z + x + y \Rightarrow a + b + c = 4x + 4y + 4z

\Rightarrowa - [TEX]\frac{a + b + c}{4}[/TEX] = x \Rightarrow x = [TEX]\frac{3a - b - c}{4}[/TEX]

Tương tự , ta có y = [TEX]\frac{3b - c - a}{4}[/TEX] , z = [TEX]\frac{3c - a - b}{4}[/TEX].

Thay vào vế trái, ta có: D = [TEX]\frac{3a - b - c}{4a} \ + \ \frac{3b - c - a}{4b} \ + \ \frac{3c - a - b}{4c} \ = \ \frac{9}{4} \ - \ (\frac{1}{4})(\frac{b}{a} \ + \ \frac{a}{b} \ + \ \frac{c}{a} \ + \ \frac{a}{c} \ + \ \frac{c}{b} \ + \ \frac{b}{c})[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức [TEX]\frac{a}{b} \ + \ \frac{b}{a} \ \geq \ 2[/TEX] , ta có:

[TEX]\frac{b}{a} \ + \ \frac{a}{b} \ + \ \frac{c}{a} \ + \ \frac{a}{c} \ + \ \frac{c}{b} \ + \ \frac{b}{c} \ \geq \ 6[/TEX]

\Rightarrow [TEX](\frac{-1}{4})(\frac{b}{a} \ + \ \frac{a}{b} \ + \ \frac{c}{a} \ + \ \frac{a}{c} \ + \ \frac{c}{b} \ + \ \frac{b}{c}) \ \leq \ \frac{-6}{4}[/TEX]

\Rightarrow P \leq [TEX]\frac{9}{4} \ - \ \frac{6}{4} \ = \ \frac{3}{4}[/TEX].

Bài nhiều Latex nên có thể mình gõ nhầm. Nếu phát hiện ra chỗ nào các bạn giúp mình sửa nhé.

 

[alicekim3005]

Làm giùm 2 bài toán này nha!
Bài 1:Cho biểu thức đại số sau:
K=(x^2y - xy^2 + 9/8)*(x^2y - xy^2 + 1/4) - (x^2y - xy^2 + 1/8)*(x^2y - xy^2 + 5/4)
C/M: K=1/8

Bài 2: Cho ba đa thức: F= x^2 + y + z
G= y^2 - xyz
H= z^2 - xy
Chứng minh rằng khi x,y,z lấy giá trị bất kì khác 0 thỏa x + y=z^3 thì trong ba đa thức trên có ít nhất một đa thức có giá trị dương.

 

[mancauchi]

cho phân số 1/n. Số tự nhiên n lớn nhất không vượt quá 10 để 1/n là một phân số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là n ={}

 

[sugiagavhv]

tui cung co bài này nâng cao lớp 7 ( tầm cỡ HS gioi~ lớp 8) a/b=c/d(c ko bằng 0; 2c + 3d ko bằng 0 )
CMR: a.d/b.c= (2a+3b)^2/(2c+3d)^2

 

[quynhnga2000]

giúp em bài này nha
Cho hàm số y=f(x)=-4x.Biết x1<x2. So sánh f(x1) và f(x2)

 

[eye_smile]

giúp em bài này nha
Cho hàm số y=f(x)=-4x.Biết x1<x2. So sánh f(x1) và f(x2)

Ta có: f(x1)=-4x1
f(x2)=-4x2
Mà x1<x2=>-4x1>-4x2
=>f(x1)>f(x2)

 

[ilikemath]

[toán 7] toán nâng cao đây !!!!!

Bài 1:
[tex] A = 101 \times 10001 \times 100000001 \times ... \times \begin{matrix} 1\underbrace{ 000...0 } 1\\ 2^n - 1\ \text{chu so} \end{matrix} [/tex]

Hãy tính A

Bài 2:
Cho số thực [tex] a \ne 0 [/tex] . Lấy điểm M(a;a) ; điểm N(-a;a) ; điểm P(-a;-a) ; điểm Q(a;-a) . Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

 

[thoaqnn]

Gọi a là đại diện số lẻ.Có m=2a vì m là số chẵn
=>m^3 +20m= (2a)^3+20*2a=8a^3+40a

Xét 8a^3+40a
1-8a^3+40a
=8a^3 -2a+42a
=(2a+1)(2a-1)2a+42a
(2a+1)(2a-1)2a chia hết cho 3(vì là tích 3 số nguyên liên tiếp)(1)
42a chia hết cho 3(2)
Từ (1)(2)=>(2a+1)(2a-1)2a+42a chia hết cho 3
=>8a^3+40a chia hết cho 3(3)
2-8a^3 + 40a
=8*(a^3+5)
=> 8a^3 + 40a chia hết cho 8(4)
Có a là số lẻ suy ra a^3 là số lẻ,suy ra a^3+5 là tổng 2 số lẻ nên là số chẵn
=>a^3+5 chia hết cho 2=>8a^3 + 40a chia hết cho 2(5)
Từ (3)(4)(5)=>8a^3+40a chia hết cho 48
=>m^3 +20m chia hết cho 48 với m là số chẵn