Chào mừng bạn đến với HMForum. Vui lòng đăng ký để sử dụng nhiều chức năng hơn!

[toán 12]Tích phân với hàm hữu tỷ

Thảo luận trong 'Tích phân' bắt đầu bởi ductri_vn, 13 Tháng một 2013.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 23,630

  1. ductri_vn

    ductri_vn Guest

    Đặt chỗ PEN 2017 - Cập nhật theo mọi thay đổi của kỳ thi THPT QG

    Phương án thi năm 2017 sẽ không thay đổi


    Đối tượng: Ôn thi đại học
    Mục đích: Topic này lập ra với mong muốn sẽ giúp các bạn giải được tất cả các tích phân hàm hữu tỷ
    Nội dung:
    Đề bài: Tính tích phân dạng [tex]\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex]
    Trong đó P(x) là đa thức theo x, bậc n
    Q(x) là đa thức theo x, bậc m
    TH1: n>=m
    Chia đa thức P(x) cho Q(x)được thương và số dư R(x) có bậc nhỏ hơn m, giải tích phân [tex]\frac{R(x)}{Q(x)}[/tex] theo TH2.
    TH2: n<m
    B1: Phân tích Q(x) về dạng: [tex]Q(x) = (a_1x+b_1)^A(a_2x+b_2)^B...(c_1x^2+d_1x+e_1)^C(c_2x^2+d_2x+e_2)^D...[/tex]
    Tất nhiên các đa thức [tex]c_1x^2+d_1x+e_1,c_2x^2+d_2x+e_2[/tex] không có nghiệm
    B2: Đồng nhất thức [tex]\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex] về các số hạng hữu tỷ (dạng phân số) với các mẫu số lấy từ các thừa sô phân tích được của Q(x) ở trên, theo quy tắc:
    Bậc của tử luôn nhỏ hơn bậc của mẫu.
    Số mũ của mẫu số bằng bao nhiêu thì khi phân tích ta có bấy nhiêu phân số, theo thứ tự bậc tử số tăng dần, từ 0 đến bậc của mẫu - 1.

    Bài tập ví dụ:
    Vd1. [tex]\int\limits_{a}^{b} \frac{2x-3}{x^3-5x^2+6x} [/tex]

    B1: [tex]Q(x) = x^3-5x^2+6x[/tex]=[tex]x(x-2)(x-3)[/tex]
    B2: Với mỗi thừa số của mẫu sẽ tương ứng với 1 phân số được tách ra, mà các thừa số này đều là bậc 1 nên bậc của mỗi tử số là bậc 0, tức là hằng số
    Ta có [tex]\frac{2x-3}{x^3-5x^2+6x} = \frac{a}{x} +\frac{b}{x-2} + \frac{c}{x-3}[/tex]
    Tới đây quy đồng lên và đồng nhất thức ta được a=-0.5 b=-0.5 và c=1
    Tới đây việc tính tích phân chỉ cần dùng công thức.
    Lưu ý: Ngoài việc phải đồng nhất thức bằng cách quy đồng, cho vào các giá trị đặc biệt thì các bạn có thể làm nhanh như sau:
    Để tìm a, cho x= 0 thay vào biểu thức [tex]\frac{2x-3}{(x-2)(x-3)}[/tex]
    Để tìm b, cho x=2 thay vào biểu thức [tex] \frac{2x-3}{x(x-3)}[/tex]
    Để tìm c, cho x=3 thay vào biểu thức [tex] \frac{2x-3}{x(x-2)}[/tex]
    Vd2. [tex]\int\limits_{a}^{b}\frac{x^3+x-1}{x^2+5x-4}dx[/tex]

    Ta có [tex]\frac{x^3+x-1}{x^2+5x+4} = x - 5 + \frac{22x+19}{x^2+5x+4} = x - 5 + \frac{22x+19}{(x+1)(x+4)}[/tex]
    Việc tách biểu thức hữu tỷ sau ra giống như ví dụ 1
    [tex]\frac{22x+19}{(x+1)(x+4)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4}[/tex]
    Tới đây các bạn tự giải tiếp
    Vd3. [tex]\int\limits_{a}^{b}\frac{2x-3}{(x-1)^2(x^2+2x+5}dx[/tex]

    Mẫu số gồm 2 thừa số [tex](x-1)[/tex] và [tex](x^2+2x+5)[/tex] nên ta sẽ tách ra thành 2 phân số với 2 mẫu số như trên.
    Với [tex](x-1)[/tex], có bậc là 1, bậc tử nhỏ hơn nên tử phải là hằng số; nhưng vì có số mũ là 2 nên việc tách ra lại gồm 2 phân số, cụ thể là [tex]\frac{a}{x-1}[/tex] + [tex]\frac{b}{(x-1)^2}[/tex]
    Với [tex](x^2+2x+5)[/tex] có bậc là 2 nên bậc tử là 1, ứng với phân số [tex]\frac{cx+d}{x^2+2x+5}[/tex]
    Vậy [tex]\frac{2x-3}{(x-1)^2(x^2+2x+5}= \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{cx+d}{x^2+2x+5}[/tex]
    Đồng nhất thức, theo cách trên, riêng với mẫu số vô nghiệm thì có thể cho nghiệm là số phức rồi đồng nhất theo số thực, ảo. Còn nếu không cứ đồng nhất thức theo cách thường.
    Việc xử lý tích phân[tex]\frac{cx+d}{x^2+2x+5}[/tex] chắc nhiều bạn biết rồi, nhưng mình xin nói thêm cho chắc. Tách tích phân ra làm 2 [tex]\frac{P(x)}{x^2+2x+5} + \frac{Q(x)}{x^2+2x+5}[/tex]
    Trong đó P(x) là đạo hàm của mẫu, còn Q(x) là số dư, trong TH này là hàm hằng số. Tới đây chắc ai cũng làm được

    (Tổng hợp)
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 14 Tháng một 2013
  2. ngoc1thu2

    ngoc1thu2 Guest


    tìm nguyên hàm

    \int_{}^{} $\frac{3x^2-2x}{x^3-2x+5}dx$

    ..............................................................................................
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 20 Tháng một 2013