HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy GIA NHẬP ngay

[Toán 10] Phương pháp giải toán hình học Oxy

Thảo luận trong 'Phương trình tham số của đường thẳng' bắt đầu bởi kimxakiem2507, 28 Tháng bảy 2010.

Lượt xem: 103,051

  1. Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới


    Hình oxy là một phần không thể thiếu trong đề thi tuyển sinh đại học,nó có đầy đủ các dạng và biến hoá theo ý đồ người ra đề làm cho chúng ta có thể thấy hơi mệt mỏi.Nhằm cho các bạn có một cách nhìn đầy đủ hơn mình xin giới thiệu phương pháp cần thiết và cách nhìn bài toán để có thể tìm ra hướng giải nhanh nhất.Các định nghĩa cơ bản đã có sẵn trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác rồi ,các bạn hãy nắm vững nhé,ở đây để không làm loãng ý tưởng mình sẽ không nêu lên nữa nhé.Thật tiếc là mình chưa thể vẽ hình để minh hoạ cho ý tưởng.Các bạn nên nắm kỹ phương pháp vì đa số đều sẽ áp dụng cho hình oxyz sau này!
    I/ Cách viết Phương trình đường thẳng:
    1/Cách 1 :Chỉ một điểm [tex]M(a,b)[/tex] và một vec tơ pháp tuyến [tex]\vec{n}=(A,B)[/tex] của đường thẳng
    [tex]\Rightarrow{(d): A(x-a)+B(y-b)=0\Leftrightarrow{Ax+By+C=0[/tex]
    Lưu ý :Vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương có thể chuyển đổi qua lại và các thể phóng to thu nhỏ được.
    Ví dụ :[tex]\vec{n}=(2,3)\Rightarrow{\left[\vec{a}=(3,-2)\\\vec{a}=(-3,2)[/tex]
    [tex]\vec{a}=(1,3)\Rightarrow{\left[\vec{n}=(3,-1)\\\vec{n}=(-3,1)[/tex]
    [tex]\vec{n}=(5,10)=5(1,2)[/tex] do đó ta nên chọn [tex]1vtpt[/tex] là [tex](1,2)[/tex] để viết cho đơn giản hơn.
    2/Cách 2: Định dạng phương trình đường thẳng và sử dụng phương trình khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng này để giải tìm ra tham số còn thiếu của đường thẳng.
    [tex](d):Ax+By+C=0,M(a,b)\Rightarrow{d(M,d)=\frac{\|aA+bB+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
    a)Biết [tex]1vtpt[/tex] của đường thẳng [tex]\vec{n}=(A,B)[/tex]
    Thường cho [tex](d)[/tex] song song hoặc vuông góc với một đường thẳng [tex](\Delta)[/tex] cho trước(song song thì chọn[tex]vtpt[/tex] của [tex](d)[/tex] là [tex]vtpt[/tex] của [tex](\Delta)[/tex],vuông góc thì chọn [tex]vtpt[/tex] của [tex](d)[/tex] là[tex]vtcp[/tex] của [tex](\Delta)[/tex])
    [tex]\Rightarrow{(d) :Ax+By+C=0[/tex] (thiếu[tex]C[/tex])
    Phương trình giải tìm [tex]C[/tex] sẽ có dạng [tex]\|m\|=\|n\|\Leftrightarrow{\left[m=n\\n=-n[/tex]
    b)Biết đường thẳng đi qua điểm [tex]M(a,b)[/tex]
    Gọi [tex]1vtpt[/tex] là [tex]\vec{n}=(A,B) \ \ (A^2+B^2\neq0)[/tex]
    [tex]\Rightarrow{(d):A(x-a)+B(y-b)=0\Leftrightarrow{Ax+By-aA-bB=0[/tex]
    Lưu ý :Do tính chất phóng to thu nhỏ của vecto pháp tuyến nên mặc dù có hai ẩn là [tex]A,B[/tex] nhưng ta chỉ cần một phương trình để giải,ta cần tìm ra mối liên hệ giữa [tex]A[/tex] và [tex]B[/tex] rồi chọn [tex]A[/tex] hoặc[tex]B[/tex] bất kỳ là được.
    Phương trình giải tìm mối liên hệ giữa [tex]A,B[/tex]:nhân [tex]\sqrt{A^2+B^2}[/tex]qua vế kia rồi bình phương hai vế
    Ví dụ : ta được phương trình :[tex]3A^2-2AB=0\Leftrightarrow{\left[A=0\\A=\frac{2B}{3}[/tex][tex]\Rightarrow{\left[(A,B)=(0,1)\\(A,B)=(2,3)[/tex]
    phương trình :[tex]3A^2-4AB+B^2=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{3k^2-4k+1=0\ \ (k=\frac{A}{B})[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left[k=1\\k=\frac{1}{3}[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left[A=B\\A=\frac{1}{3}B\Rightarrow{\left[(A,B)=(1,1)\\\left[(A,B)=(1,3)[/tex]
    II/ Cách tìm toạ độ một điểm:Có thể kết hợp cùng lúc 3 ưu tiên dưới đây
    a)Ưu tiên 1 : là giao điểm của hai đường đã biết hoặc có thể viết được
    [tex]M=\left{(d_1)\\(d_2)[/tex][tex]\Rightarrow{[/tex]Toạ độ [tex]M[/tex] là nghiệm của hệ :[tex]\left{(d_1)\\(d_2)[/tex] (Bấm máy là ra)
    b) Ưu tiên 2: là giao điểm của đường thẳng (đường tròn) và đường tròn đã biết hoặc có thể viết được
    Biết [tex]MI[/tex]thì[tex]M s[/tex]ẽ nằm trên đường tròn tâm [tex]I[/tex] bán kính [tex]MI[/tex]
    [tex]M=\left{(d)\\(C)[/tex][tex]\Rightarrow{[/tex]Toạ độ [tex]M[/tex] là nghiệm của hệ :[tex]\left{(d)\\(C)[/tex] (rút[tex]x[/tex] theo [tex]y[/tex] hoặc [tex]y[/tex] theo [tex]x[/tex] từ [tex](d)[/tex] thế xuống [tex](C)[/tex])
    c)Ưu tiên 3 :Đặt ẩn giải ([tex]n[/tex] ẩn cần [tex]n[/tex] phương trình để giải,sử dụng hết dữ liệu đề cho)
    [tex]+[/tex]Một điểm tự do [tex]M(a,b)[/tex] sẽ có hai ẩn :cần hai phương trình để giải
    [tex]+ M\in{(d)\Rightarrow{\left[M(a,f(a))\\M(f(a),a)[/tex] chỉ có một ẩn và cần [tex]1[/tex]phương trình để giải
    Lưu Ý :[tex]M[/tex] có [tex]1[/tex] ẩn và ẩn [tex]x[/tex] hay [tex]y[/tex]cũng được nhưng nên chọn sao cho dễ thương nhất
    ví du: [tex]M\in{(d):2x-y+1=0\Rightarrow{M(a,2a+1)[/tex]
    [tex]M\in{(d):x-3y+1=0\Rightarrow{M(3a-1,a)[/tex] không nên chọn [tex]M(a,\frac{a+1}{3})[/tex] xấu xí
    Các phương trình thường sử dụng để giải ẩn:
    tuỳ theo đề bài cho,nhớ phải sử dụng hết dữ liệu bài toán nhé,cẩn thận các phương trình giải bị trùng nhau,ta cứ tưởng đủ phương trình giải nhưng thật ra còn thiếu do chưa sử dụng hết dữ liệu!
    1)Vuông góc :
    [tex]+ AB \perp\ CD[/tex][tex]\Rightarrow{\vec{AB}.\vec{CD}=0 (1pt)[/tex]
    Lưu ý : nếu [tex]CD[/tex] nằm trên [tex](d)[/tex] thì ta nên sử dụng phương trình :[tex]\vec{AB}.\vec{a_{(d)}}=0[/tex]
    [tex]+[/tex] Trực tâm [tex]H[/tex]là giao điểm của hai đường cao,đưởng cao thứ [tex]3[/tex] cũng qua [tex]H[/tex] nhé
    [tex]\left{\vec{AH}.\vec{BC}=0\\\vec{BH}.\vec{AC}=0[/tex][tex]\ \ (2pt)[/tex]
    Lưu Ý :các vecto trên nên thay thế bằng các [tex]vtcp[/tex] của đường thẳng chứa nó!
    2) Trọng tâm [tex]G[/tex],trung điểm[tex]M[/tex]
    Ở đây mình ký hiệu theo điểm cho dễ nhìn
    [tex]G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2M}{3}[/tex] [tex](2pt)[/tex]
    Lưu ý : Nếu ta rút ẩn của hai điểm (hai ẩn phải khác nhau)từ cùng môt phương trình đường thẳng thì khi giải phương trình trung điểm hay hệ phương trình hai vecto bằng nhau thì chỉ cần phương trình hoành độ thôi,phương trình tung độ sẽ tự động thoã mãn ,sử dụng cả hai sẽ bị trùng lặp!
    Xem ví dụ sau:
    [tex]+[/tex]Đây là một bài toán khá đơn giản nhưng nếu ta không tỉnh táo lập tức sẽ rơi vào vòng lẩn quẩn ngay.
    [tex]+[/tex]Mình kí hiệu bằng điểm cho gọn nha
    [tex]G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2M}{3}\Leftrightarrow{M=\frac{3G-A}{2}[/tex]
    [tex]+[/tex]Ở đây [tex]A,G,M[/tex]cố định do đó nếu[tex]M=\frac{B+C}{2}[/tex] thì đương nhiện [tex]G[/tex] sẽ là trọng tâm tam giác [tex]ABC[/tex],nếu ta áp dụng tiếp [tex]G=\frac{A+B+C}{3}[/tex] hoặc bất cứ phương trình trung điểm nào khác thì sẽ bị trùng ngay.[tex]B,M,C[/tex]cùng thuộc một đường thẳng (mà ta rút ẩn) do đó nếu chuyển ẩn giải thì chỉ cần hoành độ thoã mãn điều kiện trung điểm là đủ ,tung độ tự nhiên sẽ thoã.
    [tex]+ H[/tex] chỉ nằm trên đường cao [tex]AH[/tex] nên chưa thoã mãn lả trực tâm do đó ta phải ép[tex]BH[/tex]vuông góc [tex]AC[/tex](hoặc [tex]CH[/tex] vuông góc [tex]AB[/tex]) thì [tex]H[/tex] mới là trực tâm được và phương trình giải ẩn nằm ở đây (không áp dụng điều kiện này sẽ không bao giờ ra do chưa thoã hết yêu cầu bài toán đặt ra)
    Giải :
    Dễ dàng tìm được [tex]M(\frac{7}{2},\frac{1}{2}),\ \ \vec{AH}=(5,-5)[/tex]
    [tex](BC):\ \ x-y-3=0[/tex] [tex]B,C\in{(BC)\Rightarrow{B(a,a-3),C(b,b-3) \ \ (a\neq{b})[/tex]
    [tex]M[/tex] là trung điểm [tex]BC[/tex]và [tex]BH[/tex] vuông góc [tex]AC[/tex] ta có hệ:
    [tex]\left{a+b=7\\(a-2)(b+3)+(a-4)(b-9)=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left{a+b=7\\ab-3(a+b)+15=0[/tex] [tex]\Leftrightarrow{\left{a+b=7\\ab=6[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left{{\left[a=1\\b=6}\\{\left[a=6\\b=1[/tex]
    Vậy [tex]B(1,-2),C(6,3)[/tex] hoặc [tex]B(6,3),C(1,-2)[/tex]
    3/Sử dụng phương trình diện tích [tex]S[/tex] đề cho
    Các công thức tính [tex]S[/tex]thường sử dụng :
    [tex]S=\frac{1}{2} dcao.canhday[/tex]
    [tex]S=p.r=\frac{AB.BC.AC}{4R}[/tex]([tex]p[/tex] là nữa chu vi,[tex]r[/tex]:bk nội tiếp,[tex]R[/tex]:ngoại tiếp)
    [tex]S=\frac{1}{2}AB.AC.sinA= \frac{1}{2}AB.BC.sinB= \frac{1}{2}AC.BC.sinC[/tex](thường sử dụng trong bài toàn đường thẳng cắt đường tròn tại [tex]A,B:S_{AIB}=\frac{1}{2}R^2sin(AIB)[/tex])
    *Chọn một đỉnh bất kỳ của tam giác sẽ được [tex]2[/tex] vecto
    [tex]\vec{AB}=(a,b),\vec{AC}=(c,d)\Rightarrow{S_{ABC}= \frac{1}{2}\|ad-bc\|[/tex]
    Lưu ý :Nếu [tex]1[/tex] trong [tex]3[/tex] đỉnh có chứa ẩn thì ta nên chọn [tex]1[/tex] trong [tex]2[/tex] đỉnh không chứa ẩn để chẻ ra [tex]2[/tex] vecto(nhằm giảm bớt biểu thức chứa ẩn)
    4/Các hướng suy nghĩ khi gặp dữ liệu bài toán :
    a)Đường trung tuyến :
    -Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(trọng tâm,trung điểm,đỉnh ứng với đường trung tuyến)
    -Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường trung tuyến
    -Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
    -Sử dụng phương trình trung điểm tương ứng
    b)Đường cao :
    -Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(trực tâm,chân đường cao,đỉnh ứng với đường cao)
    -Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường cao
    - Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
    -Sử dụng phương trình tích vô hướng bằng 0 cùa vtcp và vecto vuông góc với đường thẳng.
    c)Đường trung trực :là tổng hợp của đường cao và đường trung tuyến.
    d)Đường phân giác trong:
    -Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(chân đường phân giác,đỉnh ứng với đường phân giác)
    -Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường phân giác
    -Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
    Tính chất quan trọng :Tìm một điểm bên cạnh này (cạnh này thường biết[tex]vtpt[/tex] rồi,chờ lấy điểm này là viết được cạnh ) đối xứng với điểm bên cạnh kia (điểm này có rồi) qua đường phân giác.
    Giả sử lấy điểm [tex]M\in{(AB)[/tex] đối xứng với [tex]N \in{(AC)[/tex] qua đường phân giác trong[tex](d)[/tex] góc [tex]A[/tex]
    Ý tưởng :Trung điểm[tex]I[/tex]của [tex]MN[/tex] thuộc [tex](d)\ \ ,\vec{MN}.\vec{a_{(d)}}=0[/tex]
    Ví dụ [tex](d):x+3y+2=0,N(1,2)\Rightarrow{[/tex]Toạ độ [tex]M[/tex]là nghiệm cũa hệ :[tex]\left{\frac{x-1}{2}+3\frac{y-2}{2}+2=0\\3(x-1)-1(y-2)=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left{x=\frac{3}{5}\\y=\frac{4}{5}[/tex][tex]\Rightarrow{M(\frac{3}{5},\frac{4}{5})[/tex]
    III.Tam giác :
    -Trọng tâm [tex]G[/tex] là giao [tex]2[/tex] đường trung tuyến
    -Trực tâm [tex]H[/tex] là giao [tex]2[/tex] đường cao
    -Tâm [tex]I[/tex] của đường tròn ngoại tiếp là giao [tex]2[/tex] đường trung trực ,bán kính [tex]R=IA=IB=IC[/tex]
    -Tâm [tex]K[/tex] của đường tròn nội tiếp là giao[tex]2[/tex] đường phân giác ,bán kính [tex]r=d(K,canh)[/tex]
    Cách viết phương trình đường phân giác trong góc [tex]A[/tex] khi biết [tex]3[/tex] đỉnh :
    Gọi [tex]D[/tex] là chân đường phân giáctrong [tex](D\in{(BC))[/tex] ta có :[tex]\frac{\vec{BD}}{\vec{DC}}=\frac{AB}{AC}[/tex][tex]\Rightarrow{D[/tex]
    Tìm tâm K :[tex]\frac{\vec{AK}}{\vec{KD}}=\frac{AB}{BD}[/tex][tex]\Rightarrow{K[/tex]
    a/Tam giác cân:
    -tam giác [tex]ABC[/tex] cân tại [tex]A[/tex]:[tex]\Leftrightarrow{AB=AC[/tex](ít sử dụng)
    [tex]\vec{AI}.\vec{BC}=0 hay \vec{AI}.\vec{a_{(BC)}}=0[/tex][tex](1pt)[/tex] (thường sử dụng)
    -Đường thẳng qua một điểm bất kỳ và song song với [tex]BC[/tex] cũng tao thành một tam giác cân,sử dụng tính chất trung điểm tam giác cân mới để viết đường cao trong tam giác [tex]ABC[/tex](đa số sử dụng điều kiện này khi đề bài cho thêm một điểm nào đó)
    -Đường cao đỉnh cân cũng là đường trung tuyến,đường trung trực,đường phân giác
    b/Tam giác vuông ví dụ tại [tex]A[/tex]
    - ta có : [tex]\vec{AB}.\vec{AC}=0 (1pt)[/tex]
    -Nếu có ptrinh [tex](AB)[/tex] thì [tex](AC)[/tex] có [tex]vtpt[/tex] và ngược lại
    -Trung điểm cạnh huyền chính là tâm đường tròn ngoại tiếp (3 diểm A,B,C sẽ nằm trên đường tròn này nếu ta viết được nó khi biết tâm và bán kính)
    c/ vuông cân :là tổng hợp giữa vuông và cân
    d/tam giác đều:sử dụng điều kiện của hai tam giác cân.tại 2 đỉnh cùng lúc (hoặc tam giác cân có cạnh bên bằng cạnh đáy,tuỳ đề bài cho mà ta linh hoạt sử dụng )
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng năm 2012

  2. Phần 1(tiếp theo)

    IV/tứ giác

    a/Hình thang :

    -ví dụ [tex]AB//CD[/tex][tex]\Leftrightarrow{\vec{AB}.\vec{n_{(CD)}}=0[/tex][tex](1pt)[/tex]

    -Hình thang cân có :[tex]\vec{DI}=\vec{KC}[/tex] ([tex]I,K[/tex] lần lượt là hình chiếu vuông góc của [tex]A,B[/tex] xuống cạnh [tex]CD[/tex])[tex](2pt)[/tex]

    b/Hình bình hành : [tex]\Leftrightarrow{\vec{AB}=\vec{DC}[/tex][tex](2pt)[/tex]

    c/Hình chữ nhật :Là hình bình hành có một góc vuông
    [tex]\Leftrightarrow{\left{\vec{AB}=\vec{DC}\\\vec{AB}.\vec{AD}=0[/tex][tex](3pt)[/tex]

    d/Hình thoi : là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

    [tex]\Leftrightarrow{\left{\vec{AB}=\vec{DC}\\\vec{AC}.\vec{BD}=0[/tex][tex](3pt)[/tex]
    e/Hình vuông:là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc hoặc là hình thoi có một góc vuông
    [tex]\Leftrightarrow{\left{\vec{AB}=\vec{DC}\\\vec{AB}.\vec{AD}=0\\\vec{AC}.\vec{BD}=0[/tex][tex](4pt)[/tex]
    [tex]b,c,d,e[/tex] :hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
    [tex]c,e[/tex] :giao điểm của hai đường chéo là tâm đường tròn ngoại tiếp
    [tex]e[/tex] :giao điểm của hai đường chéo là tâm đường tròn nội tiếp



    V/ BÀI TOÁN MIN,MAX :trong tất cả những câu sau đây đều sử dụng luôn cho [TEX]oxyz[/TEX]

    *Với các điểm [TEX]A,B,C,D... [/TEX]và đường thẳng [TEX]\Delta [/TEX] ,Các hằng số [TEX]a,b,c,d..[/TEX]cho trước

    *Tìm [TEX]M\in{\Delta}[/TEX] để :

    [TEX]a/MA+MB_{min}[/TEX]
    [TEX]b/\|MA-MB\|_{min}[/TEX]
    [TEX]c/\|MA-MB\|_{max}[/TEX]
    [TEX]d/\|a\vec{MA}+b\vec{MB}+c\vec{MC}+d\vec{MD}+...\ |_{min}[/TEX]
    [TEX]e/aMA^2+bMB^2+cMC^2+dMD^2+...[/TEX]

    Giải:

    [TEX]a/+[/TEX] Chúng ta có thể xét xem[TEX] A,B[/TEX] nằm cùng phía hay khác phía so với đường thẳng [TEX]\Delta[/TEX] rồi chuyển về khác phía để giải,tuy nhiên cách này hơi dài một xíu.

    [TEX]+[/TEX] Hạn chế sử dụng trực tiếp bất đẳng thức mincopxki ,nếu sử dụng phải chứng minh.(ở đây chúng ta sẽ dụng bất đẳng thức vecto ,thực ra nó cũng là mincopxki thôi nhưng khỏi mất công chứng minh)

    Để giải quyết hai vấn đề trên thì chúng ta nên sử dụng cách giải sau đây cho thuận tiện nhất.

    [TEX]+M\in{\Delta}\Rightarrow{M(m,f(m)) [/TEX] ([TEX]M:1[/TEX] ẩn)
    [TEX]+\vec{AM},\vec{BM}\Rightarrow{MA,MB[/TEX]
    [TEX]+[/TEX]Ta sẽ có ngay(bằng cách nhóm bình phương)

    [TEX]MA+MB=\sqrt{(am+b_1)^2+c_1^2}+\sqrt{(am+b_2)^2+{c_2}^2}[/TEX](các hằng số này xuất hiện khi ta nhóm bình phương,[TEX]a,c_1,c_2>0[/TEX])
    Đặt[TEX] \vec{u}=(am+b_1,c_1),\vec{v}=(-am-b_2,c_2)[/TEX]
    [TEX]MA+MB=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|\ge{\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{(b_1-b_2)^2+(c_1+c_2)^2}[/TEX]
    Đẳng thức xảy ra khi[TEX] \vec{u},\vec{v}[/TEX] cùng phương cùng chiều hay: [TEX]\frac{am+b_1}{-am-b_2}=\frac{c_1}{c_2}[/TEX][TEX]\Rightarrow{m\Rightarrow{M[/TEX]

    [TEX]b/[/TEX] Lưu ý: Nếu tồn tại [TEX]\|MA-MB\|_{min}[/TEX] thì chắc chắn rằng [TEX]\vec{AB}.\vec{a_{\Delta}}\neq0[/TEX] ([TEX]AB[/TEX] không vuông góc với[TEX] \Delta[/TEX])

    Giải :[TEX]\|MA-MB\|\ge{0}[/TEX]

    Đẳng thức xảy ra khi[TEX] MA=MB[/TEX] (Đến đây ta đã tìm được [TEX]M [/TEX] rồi hoặc có thể nhận xét [TEX]M[/TEX] là giao của đường trung trực [TEX]AB[/TEX] và [TEX]\Delta[/TEX] cũng được)

    [TEX]c/[/TEX] Ý tưởng tương tự câu [TEX]a[/TEX] nhưng chuyển về cùng phía để giải.

    Giải :

    [TEX]\|MA-MB\|=\|\sqrt{(am+b_1)^2+c_1^2}-\sqrt{(am+b_2)^2+{c_2}^2}\|[/TEX](các hằng số này xuất hiện khi ta nhóm bình phương,[TEX]a,c_1,c_2>0[/TEX])

    Đặt[TEX] \vec{u}=(am+b_1,c_1),\vec{v}=(am+b_2,c_2)[/TEX]

    [TEX]\|MA-MB\|=GTTD (\| {\vec{u}}\|-{ \| \vec{v}\|) \le{ \| \vec{u}- \vec{v}\|=\sqrt{(b_1-b_2)^2+(c_1-c_2)^2}[/TEX]

    Đẳng thức xảy ra khi[TEX] \vec{u},\vec{v}[/TEX] cùng phương cùng chiều hay: [TEX]\frac{am+b_1}{am+b_2}=\frac{c_1}{c_2}[/TEX][TEX]\Rightarrow{m\Rightarrow{M[/TEX](GTTD:là giá trị tuyệt đối)

    [TEX]d/[/TEX] Ta sẽ tìm điểm [TEX]I[/TEX] thõa :[TEX]a\vec{IA}+b\vec{IB}+c\vec{IC}+d\vec{ID}+...=\vec{0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{I=\frac{aA+bB+cC+dD+..}{a+b+c+d+..[/TEX]

    (Viết theo điểm cho dễ thấy,nghĩa là hoành đô,tung độ của điểm [TEX]I[/TEX] thõa mãn công thức trên)

    [TEX]a\vec{MA}+b\vec{MB}+c\vec{MC}+d\vec{MD}+..=a(\vec{MI}+\vec{IA})+b(\vec{MI}+\vec{IB})+c(\vec{MI}+\vec{IC})+d(\vec{MI}+\vec{ID})+..[/TEX]
    [TEX]=(a+b+c+d)\vec{MI}+a\vec{IA}+b\vec{IB}+c\vec{IC}+d\vec{ID}+...=(a+b+c+d)\vec{MI}[/TEX]
    [TEX]\|a\vec{MA}+b\vec{MB}+c\vec{MC}+d\vec{MD}+...\ |[/TEX][TEX]=\|a+b+c+d\|MI[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow{\|a\vec{MA}+b\vec{MB}+c\vec{MC}+d\vec{MD}+...\ |_{min}\Leftrightarrow{MI_{min[/TEX]
    Hay [TEX]M[/TEX] là hình chiếu vuông góc của I xuống [TEX] \Delta[/TEX]

    [TEX]e/[/TEX] cách 1 :

    +Do [TEX]M [/TEX]có [TEX]1[/TEX] ẩn nên ta có thể lần lượt tính [TEX]MA^2,MB^2..[/TEX].ta sẽ được một tam thức bậc [TEX]2[/TEX] theo ẩn [TEX]m[/TEX]
    +[TEX]aMA^2+bMB^2+cMC^2+dMD^2+...[/TEX][TEX]=(a+b+c+d)m^2+em+f[/TEX]
    Nếu :[TEX]a+b+c+d>0[/TEX] ta sẽ tìm được min
    Nếu [TEX]a+b+c+d<0 [/TEX]ta sẽ tìm được max
    Lưu ý :[TEX]am^2+bm+c=a(m^2+\frac{b}{a}m+\frac{c}{a})[/TEX][TEX]=a(m+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}[/TEX]

    Cách 2 : sử dụng luôn khi [TEX]M[/TEX] thuộc mặt phẳng [TEX]P[/TEX] trong hình [TEX]oxyz[/TEX]

    [TEX]+[/TEX]Ta cũng tìm điểm [TEX]I[/TEX] như câu trên

    [TEX]+aMA^2+bMB^2+cMC^2+dMD^2+...=a(\vec{MI}+\vec{IA})^2+b(\vec{MI}+\vec{IB})^2+c(\vec{MI}+\vec{IC})^2+d(\vec{MI}+\vec{ID})^2+..[/TEX]

    [TEX]=(a+b+c+d+..)MI^2+2\vec{MI}(a\vec{IA}+b\vec{IB}+c \vec{IC}+d\vec{ID}+...)+aIA^2+bIB^2+cIC^2+dID^2+..[/TEX]

    [TEX]=(a+b+c+d+..)MI^2+aIA^2+bIB^2+cIC^2+dID^2+..[/TEX]

    Mà [TEX]aIA^2+bIB^2+cIC^2+dID^2+.[/TEX] là hằng số do đó :

    [TEX]+[/TEX]Nếu [TEX]a+b+c+d>0[/TEX] thì [TEX]aMA^2+bMB^2+cMC^2+dMD^2+.._{min}[/TEX] khi [TEX]MI_{min}[/TEX] hay [TEX]M[/TEX] là hình chiếu vuộng góc của [TEX]I[/TEX] xuống [TEX]\Delta [/TEX] (hoặc xuống mặt phẳng [TEX]P[/TEX])

    [TEX]+[/TEX]Tương tự nếu [TEX]a+b+c+d<0 [/TEX] thì tìm được [TEX]max[/TEX]

    [TEX]+a+b+c+d=0[/TEX] thì biểu thức trên sẽ là hằng số

     

  3. PHẦN II/ ĐƯỜNG TRÒN :
    Các em phải đọc kỹ để nắm nguyên tắc và đa số đều sẽ sử dụng cho bài toán mặt cầu trong hình [tex]oxyz[/tex]

    I/ Viết phương trình đường tròn:

    [tex]a/[/tex]Muốn viết được phương trình đường tròn ta phải xác định được tâm [tex]I(a,b)[/tex] và bán kính [tex]R[/tex] cùa nó.

    [tex](C):(x-a)^2+(y-b)^2=R^2[/tex] hoặc [tex]x^2+y^2-2ax-2by+c=0(1) (R=\sqrt{a^2+b^2-c}[/tex]

    Lưu ý : [tex]a=([/tex]cái theo [tex]x)[/tex][tex]/(-2),b=[/tex](cái theo [tex]y)/(-2)[/tex] ,nếu hệ số của [tex]x^2,y^2\neq1[/tex] thì ta phải chia để ra dạng[tex](1)[/tex] rồi xác định tâm và bán kính.

    ví dụ :[tex](C): 2x^2+2y^2-3x+4y-1=0\Leftrightarrow{x^2+y^2-\frac{3}{2}x+2x-\frac{1}{2}=0[/tex]

    [tex](C)[/tex] sẽ có tâm [tex]I(\frac{3}{4},-1),R=\sqrt{\frac{9}{16}+1+\frac{1}{2}}[/tex]

    [tex]b/[/tex]Các dữ liệu đề thường cho để giải,cho[tex](C):[/tex]

    [tex]*[/tex] Qua điểm [tex]A \Rightarrow{IA=R[/tex]

    [tex]*[/tex]Tiếp xúc với đường thẳng [tex]\Delta[/tex][tex]\Rightarrow{d(I,\Delta)=R[/tex]

    [tex]*[/tex] Tâm [tex]I\in{(d)\Rightarrow{I(t)[/tex] ([tex]I[/tex] có một ẩn[tex]t[/tex])

    [tex]*[/tex] Cắt đường thẳng [tex]\Delta[/tex] tại [tex]A,B[/tex] cho
    [tex]\ \ \ \ \ \ \ \ **AB\Rightarrow{R=\sqrt{d^2(I,\Delta)+\frac{AB^2}{4}}[/tex]

    [tex]\ \ \ \ \ \ \ \ **S_{IAB}\Rightarrow{S_{IAB}=\frac{1}{2}d(I,\Delta).AB\Rightarrow{AB\Rightarrow{R=\sqrt{d^2(I,\Delta)+\frac{AB^2}{4}}[/tex]
    [tex]*(C)[/tex] tiếp xúc ngoài với [tex](C^')\Rightarrow{II^'=R+R^'[/tex]
    [tex]*(C)[/tex] tiếp xúc trong với [tex](C^')\Rightarrow{II^'=\|R-R^'\|[/tex]
    Nguyên tắc :

    [tex]1/[/tex]Một phương trình [tex](C)[/tex] sẽ có [tex]3[/tex] ẩn là [tex]a,b,c[/tex]hoặc [tex]a,b,R[/tex] do đó đề sẽ cho [tex]3[/tex] dữ liệu trong [tex]8[/tex] thể loại dữ liệu(dl) ở trên (Các dữ liệu có thể cho cùng một thể loại)

    [tex]2/[/tex] Tất cả các thể loại dữ liệu trên đều đưa về theo [tex]R[/tex] và ta sẽ cho chúng bằng nhau để giải.

    Ví dụ :[tex](C)[/tex] có tâm [tex]I\in{(\Delta))(dl1)[/tex] qua điểm [tex]A(dl2)[/tex] và tiếp xúc với đường thẳng [tex](d)(dl3)[/tex]
    [tex]dl1\Rightarrow{I(t)[/tex] ta cần một phương trình để giải ra [tex]t[/tex] [tex],dl2\Rightarrow{IA=R,dl3\Rightarrow{d(I,d)=R[/tex]
    Phương trình để giải là :[tex]IA=d(I,d)[/tex][tex]\Rightarrow{t\Rightarrow{I,R[/tex]

    Bài toán đặc biệt :
    [tex]1/(C)[/tex] qua [tex]A,B,C[/tex]
    [tex](C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0[/tex][tex],A,B,C \in{(C)[/tex] nên ta thay toạ độ ba điểm này vào phương trình [tex](C)[/tex] sẽ được hệ phương trình [tex]3[/tex] ẩn [tex]a,b,c[/tex] và chỉ việc bấm máy tính

    [tex]2/(C)[/tex] qua [tex]A[/tex] và tiếp xúc với [tex]ox,oy[/tex]
    [tex]d(I,ox)=\|b\|=R,d(I,oy)=\|a\|=R,IA=R[/tex][tex]\Rightarrow{\left{\|a\|=\|b\|=R\\ \|a\|=IA[/tex]
    Chúng ta phải lưu ý chỗ này để khỏi phải xét từng trường hợp để phá giá trị tuyệt đối sẽ làm cho bài toán dài dòng không cần thiết:
    Phải nhớ [tex]a[/tex] sẽ cùng dấu với [tex]x_A\ \ \ ,b[/tex] sẽ cùng dấu với [tex]y_A[/tex]
    [tex]3/(C)[/tex] có tâm [tex]I[/tex] và cắt [tex](C^')[/tex] có tâm [tex]I^'[/tex] bán kính [tex]R^'[/tex] theo một dây cung [tex]AB[/tex]
    [tex]*[/tex]Gọi [tex]M[/tex] là trung điểm [tex]AB,AB[/tex] vuông góc với[tex]II^'[/tex]
    [tex]*MI^'=\sqrt{{R^'}^2-\frac{AB^2}{4}}[/tex]
    [tex]*MI=II^'-MI^'[/tex]

    [tex]*R=\sqrt{MI^2+\frac{AB^2}{4}}[/tex]

    4/Một ví dụ :
    [TEX]+[/TEX]Dễ dàng thấy[TEX] (\Delta)[/TEX] và [TEX](P)[/TEX] không có điểm chung
    [TEX]+M(a,-\frac{a^2}{16})\in{(P})[/TEX]
    [TEX]d(M,\Delta)=\frac{\|3a+\frac{a^2}{4}+19\|}{5}[/TEX][TEX]=\frac{\|a^2+12a+76\|}{20}=\frac{\|(a+6)^2+40\|}{20}[/TEX][TEX]\ge{2}[/TEX]
    Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=-6[/TEX] hay [TEX]M_0(-6,-\frac{9}{4})[/TEX]
    +Đường tròn [TEX](C) [/TEX]có bán kính nhỏ nhất khi tiếp xúc với [TEX](P)[/TEX] tại [TEX]M_0[/TEX]
    Phương trình đường thẳng [TEX](d)[/TEX] qua [TEX]M_0(-6,-\frac{9}{4})[/TEX] và vuông góc với[TEX] (\Delta)[/TEX]
    [TEX](d):16x+12y+123=0[/TEX]
    [TEX]I=(d)\cap{\Delta}\Rightarrow{I(-\frac{36}{5},-\frac{13}{20})[/TEX]
    Phương trình đường tròn (C) cần cần tìm có tâm [TEX]I(-\frac{36}{5},-\frac{13}{20})[/TEX] bán kính [TEX]R=2[/TEX]
    [TEX](C): (x+\frac{36}{5})^2+(y+\frac{13}{20})^2=4[/TEX]

    II/ TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN :

    Ở đây anh sẽ không xét xem trường hợp tiếp tuyến có dạng [tex]x=a[/tex] hay không rồi đặt tiếp tuyến là [tex]y=kx+b[/tex] vì anh nhận thấy không cần thiết.
    [tex]1/[/tex]

    [tex]a/[/tex]Tiếp tuyến[tex](d)[/tex] tại [tex]M(x_0,y_0) \in{C)[/tex] ta sẽ dùng phương pháp phân đôi toa độ
    [tex](d) : x_0x+y_0y-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0[/tex]

    [tex]b/[/tex] cho biết véc tơ pháp tuyến[tex]\vec{n}=(A,B)[/tex] của tiếp tuyến [tex](d)[/tex] :thường cho[tex](d)[/tex] song song hoặc vuông góc với đường thẳng nào cho trước.
    [tex]*[/tex][tex](d) :Ax+By+C=0[/tex] (thiếu [tex]C[/tex])
    [tex]*(d)[/tex] tiếp xúc [tex](C)\Rightarrow{d(I,d)=R[/tex][tex]\Rightarrow{C\Rightarrow{(d)[/tex]

    [tex]c/[/tex] tiếp tuyến [tex](d)[/tex] qua [tex]M(x_0,y_0)[/tex]([tex]M[/tex] phải nằm ngoài đường tròn)
    [tex]*[/tex] Gọi [tex]1vtpt[/tex] của [tex](d)[/tex] là [tex](A,B)\ \ \ \ (A^2+B^2\neq0)[/tex]

    [tex]*(d) : A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\Leftrightarrow{Ax+By-Ax_0-By_0=0[/tex]
    [tex]*(d)[/tex] tiếp xúc [tex](C)\Rightarrow{d(I,d)=R[/tex][tex]\Rightarrow{A=kB[/tex] (Xem lại phần [tex]1[/tex])

    [tex]2/[/tex] Tiếp tuyến chung của hai đường tròn [tex](C_1),(C_2)[/tex]
    a/Vị trí tương đối của hai đường tròn :

    Ta sẽ so sánh [tex]I_1I_2[/tex] với [tex]R_1+R_2[/tex] và [tex]\|R_1-R_2\|[/tex]

    [tex]*I_1I_2<\|R_1-R_2\|[/tex]:hai đường tròn Không có giao điểm (đường tròn có bán kính nhỏ nằm trong đường tròn bán kính lớn )[tex]\Rightarrow{[/tex]không có tiếp tuyến chung

    *[tex]I_1I_2=\|R_1-R_2\|[/tex] :tiếp xúc trong,có [tex]1[/tex] giao điểm [tex]\Rightarrow{[/tex]có một tiếp tuyến chung là trục đẳng phương)

    [tex]*\|R_1-R_2\|<I_1I_2<R_1+R_2[/tex]: có [tex]2[/tex] giao điểm [tex]\Rightarrow{[/tex]có hai tiếp tuyến chung

    [tex]*I_1I_2=R_1+R_2[/tex]:Tiếp xúc ngoài ,có [tex]1[/tex] giao điểm [tex]\Rightarrow{[/tex]có [tex]3[/tex] tiếp tuyến chung trong đó có một tiếp tuyến chung là trục đẳng phương (Thường gặp trường hợp này nhất)

    [tex]*I-1I_2>R_1+R_2[/tex]:Không có giao điểm[tex]\Rightarrow{[/tex]có [tex]4[/tex] tiếp tuyến chung

    LƯU Ý : Trục đẵng phương (d) của hai đường tròn :
    *Cho dễ nhớ ta cho hai phương trình đường tròn bằng nhau rút gọn sẽ đươc phương trình của trục đẳng phương
    *Nếu hai đường tròn có [tex]2[/tex] giao điểm thì Trục đẳng phương chình là đường thẳng qua hai giao điểm này.Nếu tiếp xúc nhau thì Trục đẳng phương là một tiếp tuyến chung
    *Trục đẳng phương sẽ vuông góc với đường thẳng nối hai tâm
    [tex]2/[/tex] Cách viết tiếp tuyến chung:
    Anh chỉ trình bày cách viết các đường tiếp tuyến còn lại (trừ tiếp tuyến là trục đẳng phương mà ta đã có rồi nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau,nhớ kết luận có nó nữa nha)
    [tex]*[/tex] Bước [tex]1[/tex] : Xét vị trí tương đối của hai đường tròn để kết luận số tiếp tuyến chung
    [tex]*[/tex] Bước [tex]2[/tex]: Vẽ hình minh hoạ thôi
    [tex]*[/tex] Bước [tex]3:[/tex]
    [tex]a/[/tex] Trường hợp [tex]1[/tex] : nếu [tex]R_1=R_2[/tex]
    Tiếp tuyến chung [tex](d)[/tex] sẽ song song với [tex]I_1I_2[/tex] nên [tex](d)[/tex] đã có [tex]vtpt[/tex] trở thành bài toán viết tiếp tuyến với một đường tròn khi biết [tex]vtpt[/tex](sử dụng tiếp xúc với đường tròn nào cũng được)

    [tex]b/[/tex] Trường hợp [tex]2[/tex] :nếu [tex]R_1\neq{R_2[/tex]

    Đến đây có hai trường hợp có thể xảy ra :
    [tex]*[/tex]Hai tiếp tuyến chung cắt nhau tại [tex]I (I,I_1,I_2[/tex] thẳng hàng) và [tex]I[/tex] nằm ngoài [tex]I_1,I_2[/tex]
    Ta sẽ có :[tex]\frac{\vec{I_1I}}{\vec{I_2I}}=\frac{R_1}{R_2} \Rightarrow{I ,\ \ \ (d)[/tex] qua [tex]I[/tex]nên trở thành bài toán viết tiếp tuyến qua một điểm.

    [tex]*[/tex] Hai tiếp tuyến chung cắt nhau tại [tex]I (I,I_1,I_2[/tex] thẳng hàng) và [tex]I[/tex] nằm ở khoảng giữa [tex]I_1,I_2[/tex] (trường hợp có [tex]4[/tex] tiếp tuyến chung thì mới có trường hợp này)

    Ta sẽ có :[tex]\frac{\vec{I_1I}}{\vec{I_2I}}=-\frac{R_1}{R_2} \Rightarrow{I ,\ \ \ (d)[/tex] qua [tex]I[/tex]nên trở thành bài toán viết tiếp tuyến qua một điểm.
    Ví dụ :
    [tex]+[/tex][tex](C_1)[/tex] có tâm [tex]I_1(1,0) R_1=1,(C_2)[/tex] có tâm [tex]I_2(-2,4) R_2=4 ,I_1I_2=5[/tex]
    [tex]I_1I_2=R_1+R_2[/tex] nên [tex](C_1),(C_2)[/tex] tiếp xúc ngoài với nhau do đó chúng có [tex]3[/tex] tiếp tuyến chung trong đó có [tex]1[/tex] tiếp tuyến [tex](d)[/tex] là trục đẳng phương của [tex]2[/tex] đường tròn.[tex](d)[/tex][tex]:3x-4y+2=0[/tex]
    (Kéo dài [tex]I_1I_2[/tex] sẽ cắt tiếp tuyến chung còn lại tại [tex]I[/tex] ,áp dụng hai tam giác đồng dạng)
    [tex]\frac{\vec{I_2I}}{\vec{I_1I}}=\frac{R_2}{R_1}[/tex][tex]\Rightarrow{I(2,\frac{-4}{3})[/tex]
    [tex]+[/tex] Phương trình đường thẳng [tex](\Delta)[/tex] đi qua [tex]I[/tex] có dạng [tex]:A(x-2)+B(y+\frac{4}{3})=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{Ax+By-2A+\frac{4B}{3}=0[/tex] với [tex](A^2+B^2\neq0)[/tex]

    [tex](\Delta)[/tex]tiếp xúc với [tex](C_1)\Leftrightarrow{d(I_1,\Delta)=R_1[/tex][tex]\Leftrightarrow{\frac{\|A-2A+\frac{4B}{3}\|}{\sqrt{A^2+B^2}}=1[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left[B=0(A=1)\\B=\frac{24A}{7}(A=7,B=24)[/tex]

    Vậy có [tex]3[/tex] tiếp tuyến chung là:([tex]d):3x-4y+2=0,[/tex][tex](\Delta_1):x-2=0,[/tex][tex](\Delta_2):7x+24y+18=0[/tex]
    III/ TỪ MỘT ĐIỂM KẺ HAI TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN

    [tex]1/[/tex]
    [tex]a/[/tex] Vị trí tương đối của đường thẳng [tex](\Delta)[/tex] và đường tròn [tex](C)[/tex]
    [tex]*d(I,\Delta)>R\Rightarrow{[/tex] Không có giao điểm
    [tex]*d(I,\Delta)=R\Rightarrow{[/tex]tiếp xúc (có [tex]1[/tex] giao điểm)
    [tex]*d(I,\Delta)<R\Rightarrow{[/tex] có hai giao điểm

    [tex]b/[/tex] Vị trí tương đối của một điểm [tex]M[/tex] [tex](\Delta)[/tex] và đường tròn [tex](C)[/tex]
    [tex]*IM>R\Rightarrow{ M[/tex] nằm ngoài [tex](C)[/tex] nên vẽ được hai tiếp tuyến [tex]MA=MB[/tex]
    [tex]*IM=R\Rightarrow{ M[/tex] nằm trên [tex](C)[/tex] nên vẽ được một tiếp tuyến
    [tex]*IM<R\Rightarrow{ M[/tex] nằm trong [tex](C)[/tex] nên không vẽ được tiếp tuyến


    [/tex]
    [tex][/tex]
     

  4. [tex]2/[/tex] Bài toán thường gặp:

    [tex]a/[/tex] Qua [tex]M\in{(\Delta)[/tex] kẻ được hai tiếp tuyến hợp với nhau một góc [tex]2a[/tex][tex](a\neq{45^0)[/tex] .Nếu [tex]a=45^0[/tex] sẽ nằm chung với bài toán ở ý [tex]b[/tex]

    [tex]*[/tex] Vẽ hình

    [tex]*\left[MI=\frac{R}{sina}\\MI=\frac{R}{sin(90^0-a)}[/tex]

    [tex]* M[/tex] sẽ nẳm trên đường tròn [tex](C^')[/tex]tâm [tex]I[/tex] bán kính[tex]MI[/tex]
    [tex]*M=(\Delta)\bigcap{(C^')[/tex]

    (Trong hai giá trị[tex]MI[/tex] ở trên sẽ có một giá trị lớn và một giá trị nhỏ ,tạm gọi là [tex]min,max[/tex] cho dễ)

    Các trường hợp có thể xảy ra tương ứng với yêu cầu bài toán

    [tex]*d(I,\Delta)>max\Rightarrow{[/tex] không tìm được [tex]M[/tex]

    [tex]*d(I,\Delta)=max\Rightarrow{[/tex] tìm được [tex]1[/tex] điểm [tex]M[/tex]

    [tex]*min<d(I,\Delta)<max\Rightarrow{[/tex] tìm được [tex]2[/tex] điểm [tex]M[/tex]


    [tex]*d(I,\Delta)=min\Rightarrow{[/tex] tìm được [tex]3[/tex] điểm [tex]M[/tex]


    [tex]*d(I,\Delta)<min\Rightarrow{[/tex] tìm được [tex]4[/tex] điểm [tex]M[/tex]

    Ví dụ :

    [tex](C):I(1,1),R=3[/tex][tex]\ \ M\in{(d)}[/tex]
    [tex]\left[MI=\frac{R}{sin30^0}=\frac{3}{sin30^0}\\MI=\frac{R}{sin60^0}=\frac{3}{sin60^0}[/tex]

    [tex]M \in{C^'):I(1,1),R^'=MI\Rightarrow{M=(d)\cap{(C^')[/tex]

    [tex]YCBT\Leftrightarrow{\left{d(I,d)<\frac{3}{sin30^0}\\d(I,d)<\frac{3}{sin60^0}[/tex][tex]\ \\ \ \ \[/tex][tex]\Leftrightarrow{d(I,d)<\frac{3}{sin60^0}[/tex][tex]\Leftrightarrow{\|m-1\|<2\sqrt3[/tex][tex]\Leftrightarrow{1-2\sqrt3<m<1+2\sqrt3[/tex]

    [tex]b/[/tex] Qua [tex]M\in{(\Delta)[/tex] kẻ được hai tiếp tuyến [tex]MA,MB[/tex] sao cho nhau góc [tex]AMB=2a[/tex].

    [tex]*[/tex] Vẽ hình

    [tex]*MI=\frac{R}{sina}[/tex]

    [tex]* M[/tex] sẽ nẳm trên đường tròn [tex](C^')[/tex]tâm [tex]I[/tex] bán kính[tex]MI[/tex]
    [tex]*M=(\Delta)\bigcap{(C^')[/tex]


    Các trường hợp có thể xảy ra tương ứng với yêu cầu bài toán

    [tex]*d(I,\Delta)>MI\Rightarrow{[/tex] không tìm được [tex]M[/tex]

    [tex]*d(I,\Delta)=MI\Rightarrow{[/tex] tìm được [tex]1[/tex] điểm [tex]M[/tex][tex](\Delta[/tex] tiếp xúc [tex](C^'))[/tex]

    [tex]*d(I,\Delta)<MI\Rightarrow{[/tex] tìm được [tex]2[/tex] điểm [tex]M[/tex][tex](\Delta[/tex] cắt [tex](C^')[/tex] tại [tex]2[/tex] điểm [tex]M[/tex] phân biệt )

    Ví dụ :

    [tex]*[/tex] Tam giác [tex]MAB[/tex] đều nên góc [tex]AMB=60^0[/tex]

    [tex]*(C)[/tex] có tâm[tex]I(-2,0)[/tex] bán kính[tex]R=4[/tex]

    [tex]*MI=\frac{R}{sin{30}^0}=8[/tex]

    [tex]*M[/tex] phải nằm trên đường tròn [tex](C^')[/tex] tâm [tex]I(-2,0)[/tex] bán kính [tex]MI=8[/tex]

    [tex]*M=(C^')\bigcap{(\Delta)[/tex]
    [tex]*[/tex] Để có [tex]2[/tex] điểm[tex]M[/tex] thì[tex](\Delta)[/tex] phải cắt[tex](C^')[/tex]tại [tex]2[/tex] điểm phân biệt[tex]\Leftrightarrow{d(I,\Delta)<MI \Leftrightarrow{\frac{\|3.(-2)-4.0+m\|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}<8 \Leftrightarrow{-34}<m<46}[/tex]
    Vẽ hình:[tex]I,A[/tex] nẳm trên đường trung trực cùa cạnh[tex]BC,A[/tex] nằm trong [tex](C)[/tex][tex]\ \ ,IB=IC=R=5\ \ ,AB=AC,\ \ IA=\sqrt5[/tex]

    [tex]TH1:[/tex] góc [tex]IAB=45^0[/tex][tex]\Rightarrow{R^2=IA^2+AB^2-2IA.ABcos45^0[/tex][tex]\Leftrightarrow{AB=2\sqrt{10}[/tex]
    [tex]AB=AC=2\sqrt{10}\Rightarrow{B,C[/tex] nằm trên đường tròn[tex](C_1)[/tex] tâm [tex]A(5,5)[/tex] bán kính [tex]R_1=2\sqrt{10}[/tex]
    Toạ độ [tex]B,C[/tex] là nghiệm của hệ :[tex]\left{(x-3)^2+(y-4)^2=25\\(x-5)^2+(y-5)^2=40[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left[{\left{x=-1\\y=7}}\\{\left{x=3\\y=-1}[/tex]

    [tex]\Rightarrow{B(-1,7),C(3,-1)\ \ hay\ \ B(3,-1),C(-1,7)[/tex]


    [tex]TH2:[/tex] góc [tex]IAB=135^0[/tex][tex]\Rightarrow{R^2=IA^2+AB^2-2IA.ABcos135^0[/tex][tex]\Leftrightarrow{AB=\sqrt{10}[/tex]

    [tex]AB=AC=\sqrt{10}\Rightarrow{B,C[/tex] nằm trên đường tròn[tex](C_2)[/tex] tâm [tex]A(5,5)[/tex] bán kính [tex]R_2=\sqrt{10}[/tex]

    Toạ độ [tex]B,C[/tex] là nghiệm của hệ :[tex]\left{(x-3)^2+(y-4)^2=25\\(x-5)^2+(y-5)^2=10[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left[{\left{x=6\\y=8}}\\{\left{x=8\\y=4}[/tex]
    [tex]\Rightarrow{B(6,8),C(8,4)\ \ hay\ \ B(8,4),C(6,8)[/tex]

    [tex]YCBT:B(6,8),C(8,4)\ \ hay\ \ B(8,4),C(6,8)\ \ hay\ \ B(-1,7),C(3,-1)\ \ hay\ \ B(3,-1),C(-1,7)[/tex]


    [tex]3/[/tex] Phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm [tex]A,B[/tex]

    [tex]*M(m,n)[/tex]

    * Phương trình tiếp tuyến [tex](\Delta)[/tex] tại điểm [tex]K(x_0,y_0)\in{(C)[/tex] là :[tex]x_0x+y_0y-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0[/tex]

    [tex]*M\in{(\Delta)\Rightarrow{x_0.m+y_0.n-a(m+x_0)-b(n+y_0)+c=0\Leftrightarrow{(m-a)x_0+(n-b)y_0-am-bn+c=0(1)[/tex]

    [tex]*[/tex] Do [tex]A,B[/tex] là hai tiếp điển nên toạ độ [tex]A,B[/tex] thoả [tex](1)[/tex] do đó phương trình đường thẳng qua [tex]A,B[/tex] là :[tex](m-a)x+(n-b)y-am-bn+c=0[/tex]

    [tex]4/[/tex] Tìm hai tiếp điểm [tex]A,B[/tex]

    *Lưu ý :Chúng ta nên sử dụng phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm [tex]A,B[/tex] rồi giao đường thẳng này với [tex](C)[/tex] sẽ tìm được ngay [tex]A,B[/tex] ,ở đây anh nêu thêm một cách nhìn để chúng ta có thể linh hoạt sử dụng cho các bài toán khác .

    *Tương tự như trường hợp ở trên nhưng thay vì đi tính [tex]MI[/tex] ta sẽ tính [tex]MA[/tex]

    [tex]a/[/tex] Đề bài cho góc giữa hai tiếp tuyến là [tex]2a[/tex]

    [tex]\left[MA=\frac{R}{tga}\\MA=\frac{R}{tg(90^0-a)}[/tex]
    [tex]*MA=MB[/tex] nên [tex]A,B[/tex] sẽ nằm trên đường tròn [tex](C^')[/tex] tâm [tex]M[/tex] bán kính [tex]MA[/tex]
    [tex]*A,B=(C)\cap{(C^')[/tex]

    [tex]b/[/tex] Đề bài không cho góc giữa hai tiếp tuyến

    Lúc đó ta sẽ tính [tex]MA=\sqrt{MI^2-R^2}[/tex]
    Ví dụ :

    [tex]* M\in{oy}\Rightarrow{M(0,m)[/tex]

    [tex]*[/tex]Phương trình đường thẳng [tex](d)[/tex] qua [tex]M(0,m)[/tex]và tiếp xúc với [tex](C)[/tex] tại [tex]K(x_0,y_0)[/tex] có dạng
    [tex]:0.x_0+m.y_0-4(0+x_0)-0(m+y_0)+12=0\Leftrightarrow{4x_0-my_0-12=0 (1)[/tex]
    (Ta đã sử dụng phân ly toạ độ sau đó thay toạ độ điểm [tex]M[/tex] vô luôn)

    [tex]*[/tex] Do [tex]A,B[/tex] là hai tiếp điểm nên toạ độ [tex]A,B[/tex] thoả [tex](1)[/tex] do đó phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm [tex]A,B[/tex] là :
    [tex](AB):4x-my-12=0[/tex]

    [tex]*E(4,1)\in{(AB)\Rightarrow{m=4\Rightarrow{M(0,4)[/tex]

    [tex]*[/tex] Nếu muốn tìm [tex]A,B[/tex] thì [tex]A,B=(AB)\cap{(C)[/tex] với [tex](AB):x-y-3=0[/tex]


    [tex]5/[/tex] Bài toán có liên quan đến[tex]S_{MAB}[/tex]


    [tex]*[/tex] góc [tex]MAB=2a[/tex]

    [tex]*S_{MAB}=\frac{1}{2}MA.MB.sin2a=MA^2.sina.cosa(1)[/tex]

    [tex]*sina=\frac{R}{MI},cosa=\frac{MA}{MI}(2)[/tex]

    [tex]*MI^2=R^2+MA^2[/tex]

    [tex]*(1)(2)(3)\Rightarrow{S_{MAB}=\frac{MA^3.R}{MA^2+R^2}\Rightarrow{MA\Rightarrow{MI[/tex]

    [tex]*M[/tex] phải nằm trên đường tròn [tex](C^')[/tex] tâm [tex]I[/tex] bán kính [tex]MI[/tex]
    [tex]*M=(C)\cap{(C^')[/tex]

    Đến đây ta có thể tìm được [tex]M[/tex] hoặc định điều kiện để có [tex]M[/tex]


    Ví dụ :
    Vẽ hình:góc[TEX] IMA=a[/TEX],[TEX]MA=MB,\ \ [/TEX][TEX]R=\sqrt2[/TEX]
    [TEX]S_{AMB}=\frac{1}{2}MA.MB.sin2a=MA^2sina.cosa=MA^2 \frac{R}{MI} \frac{MA}{MI}[/TEX][TEX]=\frac{MA^3.R}{MA^2+R^2}=1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\sqrt2.MA^3=MA^2+2[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{MA=\sqrt2[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow{MI^2=MA^2+R^2=4\Leftrightarrow{MI=2[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow{M[/TEX] nằm trên đường tròn [TEX](C^')[/TEX] tâm [TEX]I(0,-1)[/TEX] bán kính [TEX]MI=2[/TEX]
    [TEX](C^'):x^2+(y+1)^2=4[/TEX]
    Toạ độ[TEX] M[/TEX] là nghiệm của hệ :[TEX]\left{ x - 2y -4 =0\\x^2+(y+1)^2=4[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left[x=2,y=-1\\x=-\frac{6}{5},y=-\frac{13}{5}[/TEX]
    [TEX]YCBT:M(2,-1) \ \ hay\ \ M(-\frac{6}{5},-\frac{13}{5})[/TEX]


     
    Last edited by a moderator: 26 Tháng sáu 2012

  5. [tex]IV/[/tex] Viết phương trình đường thẳng [tex](\Delta)[/tex] cắt [tex](C)[/tex] tại hai điểm [tex]A,B[/tex] phân biệt :


    [tex]1/[/tex] Cho độ dài dây cung [tex]AB[/tex]

    [tex]d(I,\Delta)=\sqrt{R^2-\frac{AB^2}{4}}(1)[/tex]

    Ta sẽ định dạng đường thẳng [tex](\Delta)[/tex]tuỳ theo đề cho (thường qua một điểm hoặc cho biết [tex]vtpt[/tex]) rồi áp dụng công thức tính khoảng cách rồi sử dụng [tex](1)[/tex]

    [tex]2/[/tex] Cho diện tích tam giác[tex]IAB[/tex]

    [tex]*S_{IAB}=\frac{1}{2}R^2sinAIB\Rightarrow{goc\ \ \ AIB\Rightarrow{d(I,\Delta)=R.cos(\frac{AIB}{2})[/tex]

    Lưu ý : nếu [tex]S_{IAB}_{max}[/tex] thì [tex]sinAIB=1 \Leftrightarrow{AIB=90^0\Leftrightarrow{d(I,\Delta)=\frac{R}{\sqrt2}[/tex]
    [tex]3/[/tex] Đề bài cho [tex](\Delta )[/tex] qua [tex]M[/tex] và cho mối liên hệ giữa[tex]MA,MB[/tex]

    [tex]*[/tex]lưu ý : nếu đề cho mối liên hệ giữa [tex]\vec{MA}[/tex] và [tex]\vec{MB}[/tex] thì ta cũng sẽ chuyển về để được mối liên hệ giữa[tex]MA,MB[/tex] (cách chuyển này là tương đương do vị trí tương đối của [tex]M[/tex] và [tex](C)[/tex] hoàn toàn xác định)

    [tex]*[/tex] Chúng ta sẽ sử dụng phương tích của điểm [tex]M[/tex]đối với [tex](C) (P_{M/C})[/tex] để giải quyết bài toán lại này (nếu [tex]M[/tex] là trung điểm [tex]AB[/tex] thì sử dụng [tex]pitago[/tex] cho tam giác [tex]IAM[/tex] ,thật ra cũng chỉ là hệ qủa của phương tích mà thôi)

    [tex]*[/tex] Phương tích :[tex]\|P_{M/C\|=MA.MB=\|MI^2-R^2\|[/tex]

    Từ phương trình này và phương trình liên hệ giữa [tex]MA,MB[/tex] mà đề bài cho ta dễ dàng giải ra được [tex]MA,MB[/tex]

    (Ta chỉ cần sử dụng [tex]MA[/tex] hoặc [tex]MB[/tex] (cái nào dễ thương hơn thì chọn nha) để tìm ra điểm [tex]A[/tex] hoặc [tex]B[/tex] và có sẵn [tex]M[/tex] nên viết được [tex](\Delta)[/tex])

    [tex]*A[/tex] sẽ nằm trên đường tròn [tex](C^')[/tex] tâm[tex]M[/tex] bán kính [tex]MA[/tex]

    [tex]*A=(C)\cap{(C^')[/tex]

    Ví dụ :


    [TEX](C)[/TEX] có tâm [TEX]I(1,-1) , R=5,MI=2\sqrt{13}>R[/TEX] ([TEX]M[/TEX] nằm ngoài đường tròn)

    [TEX]\left{P_{M(I)}=MA.MB=MI^2-R^2\\MA=3MB[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow{3MB^2=52-25=27\Leftrightarrow{MB^2=9[/TEX]

    [TEX]B[/TEX] sẽ nằm trên đường tròn [TEX](C^')[/TEX] tâm [TEX]M(7,3) [/TEX]bán kính [TEX]MB=3[/TEX]

    [TEX]B=(C)\cap{(C^')\Rightarrow [/TEX]tọa độ[TEX] B[/TEX] là nghiệm của hệ:[TEX]\left{(x-1)^2+(y+1)^2=25\\(x-7)^2+(y-3)^2=9[/TEX]

    Dễ dàng tìm được[TEX] B(4,3) [/TEX]hay [TEX]B(\frac{76}{13},\frac{3}{13})[/TEX]

    Vậy
    [TEX]\left[ (d):y-3=0\\(d):12x-5y-69=0[/TEX]




    [TEX](C)[/TEX] có tâm [TEX]I(1,2) R=\sqrt5\ \ MI=5>R [/TEX] nên [TEX]M[/TEX] nằm ngoài đường tròn.

    [TEX]P_{M(C)}=MA.MB=MI^2-R^2=20\ \ MA^2+MB^2=50\Rightarrow{\left{MA=\sqrt{10}\\MB=2 \sqrt{10}[/TEX]

    (Do vai trò của [TEX]A,B[/TEX] là như nhau nên ta chỉ cần chọn một cặp nghiệm như trên là được)

    [TEX]A[/TEX] phải nằm trên đường tròn [TEX](C^')[/TEX] tâm[TEX]M(6,2)[/TEX] bán kính [TEX]MA=\sqrt{10}[/TEX]

    [TEX](C^'):(x-6)^2+(y-2)^2=10[/TEX]

    [TEX]A=\left{(C)\\(C^')[/TEX][TEX]\Rightarrow{\left{(x-1)^2+(y-2)^2=5\\(x-6)^2+(y-2)^2=10[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow{\left{x=3\\{\left[y=1\\y=3}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow{\left[A(3,1)\\A(3,3)[/TEX]

    Vậy

    [TEX]\left[(d):x-3y=0\\(d):x+3y-12=0[/TEX]
     
  6. congthangdb

    congthangdb Guest


    em không hiểu tại sao ở bài ví dụ đầu tiên
    [​IMG]

    Vét tơ BH phải là ( 2-a;4-a) chứ anh, sao của anh lại ngược lại thành (a-2;a-4) hả anh.
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng mười 2011

  7. em không hiểu tại sao ở bài ví dụ đầu tiên


    Vét tơ BH phải là ( 2-a;4-a) chứ anh, sao của anh lại ngược lại thành (a-2;a-4) hả anh.
    Thay đổi nội dung bởi: congthangdb, cách đây 2 tuần lúc 20:41.
    no bang -(2-a);-(4-a) ma em
     

  8. Anh có thể cho vd cụ thể đc không, cái chỗ Min, Max em thấy hơi rối. MA+MB Min làm theo cách của anh có cần xét cùng phía khác phía không?
     

  9. Uả bạn Cái ví dụ ở phần đường phân giác trong, chỗ hệ phương trình đưa ra để tìm tọa độ điểm M đó bạn, cái phương trình đầu tiên sao kì vậy? I là trung điểm thì nó phải là tổng 2 tọa độ M,N chứ sao có dấu trừ vậy bạn? Sai rồi.
     

  10. Bạn ơi bạn gửi cho mình đường link của phần 2 được không bạn? Thanks.
     
  11. maiyeupo_9

    maiyeupo_9 Guest


    Anh ơi, phần min, max ý, MA+MB min, với MA-MB max thì em biết rồi, còn MA - MB min ý, em chưa hiểu lắm, anh nói rõ được ko ak
     
  12. maiyeupo_9

    maiyeupo_9 Guest


    MA+MB min vẫn phải xét cả 2 trường hợp đó bạn
    +> Nếu A, B cùng phía, lấy A' đối xứng với A qua đen-ta, tìm toạ độ H => toạ độ A'
    M là giao của A'B với đường thẳng đen ta
    +> Nếu A,B khác phía thì đơn giản hơn
    M là giao của AB với đường thẳng đen ta

    Do mình ko biết viết các công thức toán nên hơi dài. hi
     

  13. sao các cậu không post dưới dạng link, với file pdf hoặc doc cho tiện vậy ?
     

  14. trong phần 2 la mã tiếp tuyến vs đường tròn cho em hỏi I1I2 BẰNG gì vậy
     
  15. aklpt12345

    aklpt12345 Guest


    Bài 1 . CHo tam giác ABC , có A(3;9) . trọng tâm G thuộc đường thẳng x-2y+6 = 0 , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình $ x^2 + y^2 -10x -12y +48 = 0 $. Biết đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm I(-2;2) . Tìm tọa độ B , C .

    Bài 2 . Cho đường thẳng d :$ (1-m^2)x + 2my + m^2 -4m +1 =0 $ . TÌm phương trình đường tròn luôn tiếp xúc với đường thẳng d
     



  16. [laTEX]I (a,b) , R \\ \\ d(I,d) = R \Rightarrow \frac{|a(1-m^2) + 2mb + m^2-4m+1|}{\sqrt{m^4-2m^2+1 +4m^2}} = R \\ \\ \frac{|(1-a)m^2 + m(2b-4) +a +1|}{m^2+1} = R \\ \\ TH_1: (1-a)m^2 + m(2b-4) + a+1 = R.m^2 +R \\ \\ m^2(1-a-R ) + m(2b-4) + a+1 -R = 0 \\ \\ \begin{cases} 1-a-R = 0 \\ 2b-4 = 0 \\ a+1 -R = 0 \end{cases} \\ \\ a = 0 ,b = 2, R = 1 \\ \\ (C_1): x^2 + (y-2)^2 = 1^2 \\ \\ TH_2: (1-a)m^2 + m(2b-4) + a+1 =- R.m^2 -R[/laTEX]


    làm tương tự với TH_1 là xong
     

  17. ai giúp mk bài này với
    cho tam giác đều ABC có A( 3,-5) , trọng tâm G( 1,1)
    Viết phương trình đường thẳng BC?AC?AB?:confused:
     

  18. ai giúp mk bài này với
    cho tam giác đều ABC có A( 3,-5) , trọng tâm G( 1,1)
    Viết phương trình đường thẳng BC?AC?AB?:confused:
    sử dụng tính chất trọng tâm ta có vectoAG=2 vectoGM (M là trung điển BC) ta tìm đc M rồi gọi B(x;y)=> tọa độ C theo B qua công thức trung điểm M
    ta có G là trọng tâm rồi thay tọa độ 3 đỉnh vào tìm ra tọa độ B và C
    cuối cùng là viết pt thôi
     

CHIA SẺ TRANG NÀY