Chào mừng bạn đến với HMForum. Vui lòng đăng ký để sử dụng nhiều chức năng hơn!

Phương trình vô tỉ khó để đời - hỏi 100 người 99 người bó tay !

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi dotriduong, 27 Tháng tư 2009.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 22,850

  1. dotriduong

    dotriduong Guest

    Đặt chỗ PEN 2017 - Cập nhật theo mọi thay đổi của kỳ thi THPT QG

    Đăng ký gia nhập BQT DIỄN ĐÀN


    Khó đến kì lạ khi tôi phát hiện 1 bài toán nằm trong top 100 bài giải phương trình khó nhất lớp 9 lại xuất hiện trong đề kiểm tra 15' của lớp tôi ! Đưa ra để các bạn cùng chiến đấu !

    Giải PT :[TEX]X^2 + \sqrt{X} = 5[/TEX]

    Cao thủ đâu ra tay đi !
     

  2. ax. dặt căn x bằng t => x^2 = t^4 sau đó giải phuong trình trùng phuong thôi ....................tu làm nha
     
  3. dotriduong

    dotriduong Guest


    Bạn bị làm sao vậy
    [TEX]t^4 + t = 5[/TEX] mà là phương trình trùng phương ak` !
    Tưởng thế nào ! hjc!

    Nhầm lớn rồi đó !
    Như bạn thì mình làm ra từ lâu và hỏi 100 người thì 101 người làm được mất !
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 27 Tháng tư 2009
  4. minhvu_94

    minhvu_94 Guest




    Đây có lẽ ko phải là cách giải tổng quát nhưng anh ( chị ) thử xem nha !!

    [TEX]X^2 + \sqrt{X} = 5[/TEX]
    <=> [TEX]X^2 = - \sqrt{X} + 5[/TEX]
    <=> [TEX]X^2 + \frac{4001. X}{80030} + \frac{4001^2}{160060^2} = \frac{4001. X}{80030} - \sqrt{X} + 5 + \frac{4001^2}{160060^2}[/TEX]
    <=> [TEX]( X + \frac{4001}{160060})^2 = \frac{4001. X}{80030} - 2 . \sqrt[2]{ \frac{4001X}{80030}} . \sqrt[2]{ \frac{40015}{8002}} + \frac{40015}{8002}[/TEX]
    <=> [TEX]( X + \frac{4001}{160060})^2 = ( \frac{ \sqrt[2]{4001X}}{\sqrt[2]{80030}} - \sqrt[2]{\frac{40015}{8002}})^2[/TEX]
    <=>[TEX] X + \frac{4001}{160060} = \frac{ \sqrt[2]{4001X}}{\sqrt[2]{80030}} - \sqrt[2]{\frac{40015}{8002}} [/TEX]
    Hoặc [TEX] X + \frac{4001}{160060} = \sqrt[2]{\frac{40015}{8002}} - \frac{ \sqrt[2]{4001X}}{\sqrt[2]{80030}} [/TEX]

    Dễ thấy [TEX] X + \frac{4001}{160060} = \sqrt[2]{\frac{40015}{8002}} - \frac{ \sqrt[2]{4001X}}{\sqrt[2]{80030}} [/TEX] vô lí
    Nên suy ra:
    [TEX] X + \frac{4001}{160060} = \frac{ \sqrt[2]{4001X}}{\sqrt[2]{80030}} - \sqrt[2]{\frac{40015}{8002}} [/TEX]
    Đặt [TEX]\sqrt[2]{X} = A[/TEX]
    Ta có :
    [TEX]A^2 - \frac{ \sqrt[2]{4001}}{\sqrt[2]{80030}} . A + \frac{4001}{160060} + \sqrt[2]{\frac{40015}{8002}} = 0 [/TEX]

    Nói chung là đến đây GPT là ra rồi !!

     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 28 Tháng tư 2009
  5. dotriduong

    dotriduong Guest


    Hỏng rồi !

    Uhm`! Sai rồi bạn ak`!
    Đầu tiên mình cũng tưởng là đúng nhưng thực ra lai sai.

    [TEX]X^2 + \frac{4001. X}{80030} + \frac{4001^2}{160060^2} = \frac{4001. X}{80030} - \sqrt{X} + 5 + \frac{4001^2}{160060^2}[/TEX]
    <=> [TEX]( X + \frac{4001}{160060})^2 = \frac{4001. X}{80030} - 2 . \sqrt{ \frac{4001X}{80030}} . \sqrt { \frac{40015}{8002}} + \frac{40015}{8002} + 2,9.10^{-11}[/TEX]
    Chứ không phải là
    [TEX]X^2 + \frac{4001. X}{80030} + \frac{4001^2}{160060^2} = \frac{4001. X}{80030} - \sqrt{X} + 5 + \frac{4001^2}{160060^2}[/TEX]
    <=> [TEX]( X + \frac{4001}{160060})^2 = \frac{4001. X}{80030} - 2 . \sqrt { \frac{4001X}{80030}} . \sqrt { \frac{40015}{8002}} + \frac{40015}{8002}[/TEX] Như bạn nghĩ đâu !
    Chỉ là 1 con số nhỏ bé nhưng cũng là quá đủ để phương trình của bạn sai bét. Mình đã thử tính rồi . Nếu dùng máy tính 500 MS để tính thì không sai vì máy đó coi những số quá nhỏ là số 0 .Còn nếu dùng máy 570 ES thì bạn sẽ thấy sai số đó.
    Mà mình cũng không hiểu sao bạn lại chọn được những con số kì lạ đó, có thể giải thích bằng toán học được không ?
    Dù sao cũng cám ơn các bạn đã đóng góp ý kiến !

    Ak`! mà hình như pt :
    [TEX]A^2 - \frac{ \sqrt[2]{4001}}{\sqrt[2]{80030}} . A + \frac{4001}{160060} + \sqrt[2]{\frac{40015}{8002}} = 0[/TEX]
    Vô nghiệm hay sao ý , kiểm tra lại xem !
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 28 Tháng tư 2009
  6. ctsp_a1k40sp

    ctsp_a1k40sp Guest


    Xét [TEX]f(x)=x^2+\sqrt{x}-5[/TEX]
    Dễ thấy [TEX]f(x_1)-f(x_2) [/TEX]cùng dấu với [TEX]x_1-x_2[/TEX] nên [TEX]f(x)[/TEX] là hàm đồng biến
    Từ đó vẽ đồ thị ra [TEX]f(x)=0[/TEX] cắt trục 0x tại tối đa 1 điểm
    [TEX]f(1)=-3,f(2)=\sqrt{2}-1>0[/TEX]
    nên [TEX]f(x)=0[/TEX] có 1 nghiệm thuộc đoạn [TEX][1,2][/TEX]
    Kết luận: pt có 1 nghiệm
     
  7. ctsp_a1k40sp

    ctsp_a1k40sp Guest


    Pt này có nghiệm là
    [TEX]x=1,902783684.....[/TEX]
    Ko phải lạc đề mà trong TH ra nghiệm quá lẻ thế này thì chỉ cần tìm số nghiệm và chỉ ra khoảng nghiệm là ok?
     
  8. dotriduong

    dotriduong Guest


    Không ổn !

    Đúng vậy phương trình này có nghiệm vô tỉ. Chỉ cần bấm máy tính là ra kết quả như bạn .
    Mjnh không thấy sự phù hợp trong cách giải của bạn. Một bài giải phương trình mà lại đi tìm khoảng có nghiệm là xong thì ... không ổn chút nào!
    Ở lớp 11, chúng tớ học thì bài toán C/M pt có nghiệm trong 1 khoảng là 1 dạng đơn giản dùng T/C hàm số liên tục . Yêu cầu của bài này cao hơn nhiều!
    Liệu khi nào mới có câu trả lời làm hài lòng bài toán này nhỉ !
    :-SS:-SS
     
  9. anhduongtd

    anhduongtd Guest


    Tôi đồng ý với dotriduong rằng cách làm của bạn sai hoàn toàn. Nghiệm lẻ là hiển nhiên, giải pt vô tỉ thì điều đó là ko tránh khỏi, vấn đề là tìm ra nghiệm ở dạng đúng nhất ! Bài này khó nhỉ nhiều người xúm vào thế này mà vẩn chưa xong
     
  10. khanhtm

    khanhtm Guest


    =)) cái loại này là loại PT bậc 4 khuyết dạng [tex]x^4=ax+b[/tex] quen thuộc mà
     
  11. khanhtm

    khanhtm Guest


    oài, toán lớp 9 xài carnado rồi chứ nhỉ :)) thế thì PT bậc 3 ngon lành :-"
    [TEX]{t^4} + t - 5 = 0[/TEX]
    Ta sẽ tìm cách để đưa PT về dạng:
    [TEX]\begin{array}{l} \left( {{t^4} + k{t^2} + \frac{{{k^2}}}{4}} \right) - k\left( {{t^2} - \frac{t}{k} + \frac{1}{{4{k^2}}}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow {\left( {{t^2} + \frac{k}{2}} \right)^2} - k{\left( {t - \frac{1}{{2k}}} \right)^2} = 0 \\ \end{array}[/TEX]
    Nếu k âm => t=…. (dễ rồi) (1)
    Nếu k dương: (2)
    [tex]\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{t^2} + \frac{k}{2} - \sqrt k \left( {t - \frac{1}{{2k}}} \right)} \right)\left( {{t^2} + \frac{k}{2} + \sqrt k \left( {t - \frac{1}{{2k}}} \right)} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{{\sqrt { - k - \frac{2}{{\sqrt k }}} + \sqrt k }}{2} \\ t = \frac{{ - \sqrt { - k - \frac{2}{{\sqrt k }}} + \sqrt k }}{2} \\ t = \frac{{\sqrt { - k + \frac{2}{{\sqrt k }}} - \sqrt k }}{2} \\ t = \frac{{ - \sqrt { - k + \frac{2}{{\sqrt k }}} - \sqrt k }}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array}[/tex]
    Để đạt được điều này, ta cần tìm số k sao cho:
    [TEX]\begin{array}{l} {t^4} + t - 5 = \left( {{t^4} + k{t^2} + \frac{{{k^2}}}{4}} \right) - k\left( {{t^2} - \frac{t}{k} + \frac{1}{{4{k^2}}}} \right) \\ \Leftrightarrow \frac{{{k^2}}}{4} - \frac{1}{{4k}} =- 5 \\ \Leftrightarrow {k^3}+20k - 1 = 0 \\ \end{array}[/TEX]
    Từ đây ta có thể giải ra k bằng cách giải PT bậc 3 (chỉ cần lấy 1 nghiệm thích hợp)
    Chú ý: nếu ra cả 3 nghiệm k đều dương thì ta sẽ làm theo bước (2)
    Còn nếu ra có 1 nghiệm âm ta chỉ việc thay k âm vào và làm theo bước (1)
    xong rồi đấy :-" nghiệm PT bậc 3 xài carnado là xong, mỏi tay rồi :-"


    p/s: đây là cách giải của tôi, chắc có thể khác cách giải trong sách (vì chưa đọc bao giờ :))) thế nên có thể hơi ngu ;))
    cái này mà KT 15' :))
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 2 Tháng năm 2009
  12. dotriduong

    dotriduong Guest


    Không được !

    Cám ơn bạn về bài làm này tuy nhiên rất tiếc là sai mất rồi .
    Mình đã nói là bài này khó mà !
    Đã có hơn 300 lượt xem bài viết này, bù trừ cho 1 ít còn khoảng 200 người xem thế mà vẫn chưa ai làm được đúng !
    Tôi đã hi vọng cách làm của bạn là đúng nhưng xem lại thì ... chán wa' !
    Cách làm của bạn có ý tưởng tốt nhưng chưa đến được đích.
    Xin được trích dẫn bài làm của bạn :

    Thế này :
    * Nếu k âm tức là :

    [TEX]t^2 + \frac{k}{2} = 0[/TEX] và
    [TEX]t - \frac{1}{2k} = 0[/TEX]
    \Leftrightarrow [TEX]k^3 = \frac{-1}{2}[/TEX]
    \Leftrightarrow [TEX]k = \frac{-1}{\sqrt[3]{2}}[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]t = -\frac{\sqrt[3]{2}}{2}[/TEX]
    Chẳng cần tìm làm gì cũng tìm được nghiệm nếu k âm nhưng nghiệm này không thoả mãn
    Giải PT (*) [TEX]k^3 - 20k -1 = 0[/TEX]tìm được 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương. trường hợp 2 nghiệm âm bị loại còn một nghiêm dương k ~ 4.5
    Làm theo (2) ta có :
    [TEX]\sqrt{-k + \frac{2}{\sqrt{k}}}[/TEX] [TEX]\sqrt{-k - \frac{2}{\sqrt{k}}[/TEX] Ko xác định, Chỉ chấp nhận được nghiệm t = [TEX]\sqrt{-k + \frac{2}{\sqrt{k}}[/TEX]
    Vì vậy không thể tìm ra t.
    Botay.com.lomnhom
    Khuyến cáo các bạn khi làm bài này nên làm hẳn ra đáp số x~ 1.902783684.... thì có lẽ là ok !:khi (132):
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 3 Tháng năm 2009
  13. khanhtm

    khanhtm Guest


    cách của tôi chắc chắn đúng =)) sorry vì gõ tex nhầm thôi ;)) đã sửa
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 2 Tháng năm 2009

  14. T tham gia với!!!!!!!!!!!!!!!!!!
    Cách giải của t na ná với của khanhtm nhưng có lẽ cách giải của t có vẻ gọn gàng ..............Mà hơn nữa đáng lẽ ra t post lời jải sớm hơn nhưng dạo này dđ có vấn đề j ấy!!!!!!!!!!!!!!
    Thế này nhé!!!Phương trình là x^2+Căn(x)=5
    Đặt t=Căn(x) \Rightarrowt^4+t=5
    Đối với bài toán như thế này thì cần chuyển về dạng 2 vế đều là bình phương như sau:
    t^4+at^2+b = at^2-t+b+5 (1)
    Khi đó fải có:
    a=Căn(b)
    Và 1=2Căn[a.(b+5)]
    \Rightarrow a^2=4b
    Và 4a.(b+5)= 1
    \Rightarrow 4a.(a^2/4 +5) =1
    \Rightarrowa^3+20a-1=0
    Đây là phương trình b3 quen thuộc x^3+px+q=0
    Giải pt này với p>0 thì đặt x=2Căn(p/3) u
    Khi đó ta đc pt: 4u^3 +3u +m =0
    Phương pháp giải pt này là!!!!!!!!!!!!!!
    Xét F(X)=4X^3 + 3X -m
    TXĐ: D=R
    Ta có: F'(X)= 12X^2 + 3 > 0 \forall X(- R
    Nên hàm số đồng biến trên R
    Vậy nếu F(X)=0 có ngiệm thì đó là ngiệm duy nhất
    Đặt A=Căn bậc 3[ m+ căn(m^2+1)]
    Và B=1/2.(a-1/a)
    ta đc 4B^3 + 3B =m
    \LeftrightarrowX=B là ngiệm của pt
    Vậy pt có ngiệm duy nhất là X=B(...)
    Sau khi tìm đc ngiệm này way trở lại tiòm đc a.Sau đó jải phương trinh(1) một cách dễ dàng(!!!) bởi lúc này mỗi vế của pt (1) là 1 bình phương Nên giải (1) tức là giải 2 pt bậc 2_điều này wá wen thuộc!!!!!!!!!!
    Nhận xét Bài này mà Kt 15' ah!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Chắc nhầm!!!1_thầy ghi đề sai (!!??) 2_có lẽ người post bài này lên bị cận nên đọc đề k rõ(??!!)
    Nếu thầy giáo(hoặc cô) đưa bài tập này thì tốt nhất ngủ cho khoẻ hoặc xin ra ngoài chơi cho thư giãn đầu óc chứ 15 phút mà ngồi gặm bài nay thì chỉ thêm tốn công mất sức=>VÔ ÍCH.Thà chấp nhận 1 đ còn hơn_Đâu fải ai cũng là thiên tài!!!
    Mà thầy cô giáo có thẻ giải ra k khi con số wá hấp dẫn..........Kinh hoang+hoàng tráng(Căn của căn!!!???...........)!!!Khá khen thay cho người nào đi tới tận cùng đáp số!!!!!!!!!!!=((
     
  15. hello114day

    hello114day Guest


    toàn chém gió vớ vẩn đấy là đề kiểm tra 15 phút thì thể nào giáo viên chả cho đáp án nói như cậu thì mình cho cái đề này toàn bộ viên nam đến nhà ngiên cứu nước ngoài cũng chả giải được luôn !
    [TEX] x^5 + x = 1[/TEX] chết chết nhầm nhầm có thể giải đựơc nhưng chưa tìm ra cách tổng quát nhầm nhầm !
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 3 Tháng năm 2009

  16. Bài toán dạng x^3+px+q=0 đều jải đc 1 cách nhanh chóg!!!!!!!!!!!!!!Chưa đầy 15 ' mà!!!!!!!!!!
     
  17. hello114day

    hello114day Guest


    thế chị giải đi cái đó nó lằng ngoằng bỏ xừ mà có thể em sai trong cái x^3 +x = 1 thì có thể trong 15p chứ cái x^5 thì thôi nhá !!!

    mới cả cái chị bảo đó ít nhất được viết trong 1 trang giấy của sự cẩn thận cao và không sai sót để ra cái đáp số là bậc 3 đẹp chứ còn cứ bấm máy tính thì ai chả bấm được mà nếu dùng cái kiến thức trên cao thì ai cho dùng ??
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 9 Tháng tám 2010
  18. khanhtm

    khanhtm Guest


    ý bạn là dùng tính đơn điệu của hàm =))
    thế thì phải mò nghiệm đấy =))
     
  19. dotriduong

    dotriduong Guest


    Giai PT !

    Giải PT bậc 3 khuyết thiếu thế này :
    [TEX]X^3 + aX + b = 0[/TEX] (*)
    Đặt X = u+v
    (*) \Leftrightarrow [TEX](u+v)^3 + a(u+v) + b = 0[/TEX]
    \Leftrightarrow [TEX]u^3 +v^3 +(u+v)(3uv+a) + b = 0[/TEX]
    Tìm u,v sao cho :
    [TEX] \ \left\{ 3uv + a = 0\\ u^3 + v^3 = -b \\ [/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow(D): \ \left\{ u^3v^3 = -\frac{a^3}{27}\\ u^3 + v^3 = -b \\ [/TEX]
    từ hệ phương trình (D) ta có [TEX]u^3 [/TEX];[TEX]v^3[/TEX] là nghiệm của PT :
    [TEX]t^2 + bt + \frac{a^3}{27} = 0[/TEX]
    Đơn giản mới chỉ xét TH denta \geq 0
    [TEX]u^3 = -\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}[/TEX]
    [TEX]v^3 = -\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}[/TEX]
    \Rightarrow X
    ok !
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 3 Tháng năm 2009
  20. minhvu_94

    minhvu_94 Guest


    Na Ná như bài của anh Dương:

    Các bạn thử làm bài này nha : GPT : [TEX]x^2 +\sqrt[2]{x+5} = 5[/TEX] ( hơi bị dễ chút xíu )