HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy GIA NHẬP ngay

Phương pháp quy nạp trong chia hết

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi mottoan, 19 Tháng năm 2009.

Lượt xem: 2,041

  1. mottoan

    mottoan Guest

    Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới


    Khi gặp những bài toán có dạng chứng minh [TEX]F_{(n)}[/TEX] chia hết cho A( là số TN).Ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.Cụ thể lược đồ cách giải này là:
    [TEX]F_{(1)}[/TEX] chia hết cho A
    Giả sử [TEX]F_{(n)}[/TEX] chia hết cho A, ta chứng minh [TEX]F_{(n+1)}[/TEX] cũng chia hết cho A.Và để ý rằng a chia hết c thì : b chia hết c \Leftrightarrow [TEX](a-b)[/TEX] chia hết c.
    Vậy có thể xem đây là 1 biết dạng của phương pháp quy nạp, để [TEX]F_{(n})[/TEX] chia hết A qua 2 bước:
    1.[TEX]F_{(1)}[/TEX] chia hết A
    2.[TEX]F_{(n+1)} - F_{(n)}[/TEX] chia hết A với \forall n\geq1, n là số TN

    Và sau đây là một số ví dụ:
    VD1: C/m rằng với n\geq1, n là số tự nhiên thì [TEX]F_{(n})= 16^n - 15n - 1[/TEX] chia hết 225
    Giải: Ta có [TEX]F_{(1)} = 0[/TEX] chia hết 225
    Xet [TEX]F_{(n+1)} - F_{(n)} = 15.16^n - 15 = 15.(16^n - 1)[/TEX]
    Do [TEX]16^n - 1 =(15 + 1)^n - 1[/TEX] chia hết 15 nên [TEX]F_{(n+1)} - F_{(n)}[/TEX] chia hết 225
    \Rightarrow[TEX]F_{(n})= 16^n - 15n - 1[/TEX] chia hết 225(đfcm)
    VD2: C/m rằng với \forall n là số TN, n\geq1 thì [TEX] G_{(n)} = 3^_{(2n+3)} + 40n - 27 [/TEX] chia hết 64.
    Giải: [TEX] G_{(1)} = 256[/TEX] chia hết 64.
    [TEX] G_{n+1)} - G_{(n)} = 3^{2(n+1)+3} + 40(n+1) - 3^{2n+3} - 40n[/TEX]
    [TEX]=8.3^{2n+3} +40[/TEX]
    =8.(3^{2n+3} + 5) chia hết 8
    Để [TEX]G_{n+1)} - G_{(n)}[/TEX] chia hết 64 \Leftrightarrow [TEX]H_{(n)}=3^{2n+3} +5[/TEX] chia hết 8
    Lại áp dụng phương pháp trên ta có :
    [TEX]H_{(1)} = 248[/TEX] chia hết 8
    Xét [TEX]H_{n+1)} - H_{(n)} = 3^{2(n+1)+3} - 3^{2n+3}[/TEX]
    [TEX]= 3^{2n+3} .(3^2 - 1)[/TEX] chia hết 8
    Vậy ta suy ra điều phải chứng minh.
    Qua 2 VD trên chắc mọi người đã nắm cách giải này.Vậy thì hãy bắt đầu với các BT tự giải sau: C/m với mọi n là số TN, n\geq1 thì:
    1. [TEX]10^n + 18n -1[/TEX] chia hết 27
    2. [TEX]2^{2n+1} +1[/TEX] chia hết 3
    3. [TEX]10^n - 4^n + 3n[/TEX] chia hết 9
    4. [TEX]4^n + 15n - 1[/TEX] chia hết 9
    Lúc khác poss típ phương pháp mới.Ai thấy bổ ích THANKS cho tui cái nha:):):):):):):)
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng năm 2009

  2. Nhớ là phải ghi thêm trích từ THTT nữa chứ :cool::D:eek::p
     

CHIA SẺ TRANG NÀY