Sự kiện "ĐIỂM DANH NGAY - NHẬN QUÀ LIỀN TAY" ngừng nhận bài tham gia.

Bạn hãy ĐĂNG NHẬP hoặc ĐĂNG KÝ để sử dụng nhiều chức năng hơn!

Phương pháp quy nạp trong chia hết

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi mottoan, 19 Tháng năm 2009.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 2,058

  1. mottoan

    mottoan Guest

    "Điểm danh ngay - Nhận quà liền tay" chào đón HMforum quay trở lại


    Khi gặp những bài toán có dạng chứng minh [TEX]F_{(n)}[/TEX] chia hết cho A( là số TN).Ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.Cụ thể lược đồ cách giải này là:
    [TEX]F_{(1)}[/TEX] chia hết cho A
    Giả sử [TEX]F_{(n)}[/TEX] chia hết cho A, ta chứng minh [TEX]F_{(n+1)}[/TEX] cũng chia hết cho A.Và để ý rằng a chia hết c thì : b chia hết c \Leftrightarrow [TEX](a-b)[/TEX] chia hết c.
    Vậy có thể xem đây là 1 biết dạng của phương pháp quy nạp, để [TEX]F_{(n})[/TEX] chia hết A qua 2 bước:
    1.[TEX]F_{(1)}[/TEX] chia hết A
    2.[TEX]F_{(n+1)} - F_{(n)}[/TEX] chia hết A với \forall n\geq1, n là số TN

    Và sau đây là một số ví dụ:
    VD1: C/m rằng với n\geq1, n là số tự nhiên thì [TEX]F_{(n})= 16^n - 15n - 1[/TEX] chia hết 225
    Giải: Ta có [TEX]F_{(1)} = 0[/TEX] chia hết 225
    Xet [TEX]F_{(n+1)} - F_{(n)} = 15.16^n - 15 = 15.(16^n - 1)[/TEX]
    Do [TEX]16^n - 1 =(15 + 1)^n - 1[/TEX] chia hết 15 nên [TEX]F_{(n+1)} - F_{(n)}[/TEX] chia hết 225
    \Rightarrow[TEX]F_{(n})= 16^n - 15n - 1[/TEX] chia hết 225(đfcm)
    VD2: C/m rằng với \forall n là số TN, n\geq1 thì [TEX] G_{(n)} = 3^_{(2n+3)} + 40n - 27 [/TEX] chia hết 64.
    Giải: [TEX] G_{(1)} = 256[/TEX] chia hết 64.
    [TEX] G_{n+1)} - G_{(n)} = 3^{2(n+1)+3} + 40(n+1) - 3^{2n+3} - 40n[/TEX]
    [TEX]=8.3^{2n+3} +40[/TEX]
    =8.(3^{2n+3} + 5) chia hết 8
    Để [TEX]G_{n+1)} - G_{(n)}[/TEX] chia hết 64 \Leftrightarrow [TEX]H_{(n)}=3^{2n+3} +5[/TEX] chia hết 8
    Lại áp dụng phương pháp trên ta có :
    [TEX]H_{(1)} = 248[/TEX] chia hết 8
    Xét [TEX]H_{n+1)} - H_{(n)} = 3^{2(n+1)+3} - 3^{2n+3}[/TEX]
    [TEX]= 3^{2n+3} .(3^2 - 1)[/TEX] chia hết 8
    Vậy ta suy ra điều phải chứng minh.
    Qua 2 VD trên chắc mọi người đã nắm cách giải này.Vậy thì hãy bắt đầu với các BT tự giải sau: C/m với mọi n là số TN, n\geq1 thì:
    1. [TEX]10^n + 18n -1[/TEX] chia hết 27
    2. [TEX]2^{2n+1} +1[/TEX] chia hết 3
    3. [TEX]10^n - 4^n + 3n[/TEX] chia hết 9
    4. [TEX]4^n + 15n - 1[/TEX] chia hết 9
    Lúc khác poss típ phương pháp mới.Ai thấy bổ ích THANKS cho tui cái nha:):):):):):):)
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng năm 2009

  2. Nhớ là phải ghi thêm trích từ THTT nữa chứ :cool::D:eek::p