HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy THAM GIA ngay

Ôn thi đại học 2013 : Chuyên đề phương trình, hệ phương trình

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi hthtb22, 27 Tháng chín 2012.

Lượt xem: 23,917

  1. hthtb22

    hthtb22 Guest

    Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới



    Chuyên đề: Phương trình; hệ phương trình

    Câu 1:$\left\{\begin{matrix} x^3+2xy^2+12y=0 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$

    Câu 2: $\left\{\begin{matrix}2x^3+x^2+y^2=y(x+1)^2 \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$

    Câu 3:
    $\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{10x-y}+\sqrt{3x-y}=3\\ 2x+y+\sqrt{3x-y}=5 \end{matrix}\right.$

    Câu 4: $\left\{\begin{matrix} 3y^2+1+2y(x+1)=4y\sqrt{x^2+2y+1}\\ y(y-x)=3-3y \end{matrix}\right.$

    Câu 5: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{matrix}\right.$
     
  2. hthtb22

    hthtb22 Guest


    Giải các phương trình sau

    $$\text{Câu 6}:3x^2+6x-3=\sqrt{\frac{x+7}{3}}\\\text{Câu 7:} x^2-3x+9=9\sqrt[3]{x-2}\\\text{Câu 8:}\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(2+\sqrt{1-x^2})\\$$

    Giải các bất phương trình sau

    $$\text{Câu 9:}(2x^2-7x)\sqrt{2x^2-11x+14} \ge 0\\\text{Câu 10:} \sqrt{x^2+a^2} \le x+\frac{2a^2}{\sqrt{x^2+a^2}}$$
     
  3. vy000

    vy000 Guest


    Không thi đh có được vào không?
    Chém câu dễ nhất
    Câu 6:

    Đk:$x \ge 7$

    $3x^2+6x-3=\sqrt{\dfrac{x+7}3}$

    $\Leftrightarrow 3(x+1)^2-6=\sqrt{\dfrac{x+7}3}$

    Đặt $\begin{cases} \sqrt{\dfrac{x+7}3}=a \ge 0\\ x+1=b\end{cases}$

    $\Rightarrow \begin{cases}3b^2-6=a\\3a^2-6=b\end{cases}$

    $\Rightarrow 3(b-a)(b+a)+b-a=0$

    $\Leftrightarrow (b-a)(3a+3b+1)=0$

    ....
     
  4. sky_fly_s2

    sky_fly_s2 Guest



    $\left\{\begin{matrix} x^3+2xy^2+(8y^2+x^2)y=0 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+2xy^2+x^2y+8y^3=0 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$
    với $y=0$ không phải ngiệm
    với y#0
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^3}{y^3}+2\frac{x}{y}+\frac{x^2}{y^2}+8=0 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}=-2 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2y \\ 8y^2+4y^2=12 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1 \\ x=-2 \end{matrix}\right.$ hoặc $ \left\{\begin{matrix} y=-1 \\ x=2 \end{matrix}\right.$
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng chín 2012
  5. sky_fly_s2

    sky_fly_s2 Guest




    câu2.
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^3+x^2+y^2=x^2y+2xy+y \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x^2-y)(2x-y+1)=0 \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-y=0 \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$hoặc $\left\{\begin{matrix}2x-y+1=0 \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-y=0 \\ x^3+x-2=0 \end{matrix}\right.$hoặc $\left\{\begin{matrix}2x+2=y+1 \\ x^2+x-1=0 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=1 \end{matrix}\right.$hoặc $\left\{\begin{matrix}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ y=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 \end{matrix}\right.$hoặc $\left\{\begin{matrix}x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ y=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2 \end{matrix}\right.$
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng chín 2012
  6. sky_fly_s2

    sky_fly_s2 Guest



    Đặt $\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{10x-y}=a\\ \sqrt{3x-y}=b \end{matrix}\right.$
    bằng phương pháp cân bằng hệ số ta có:
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b=3\\ \frac{5a^3}{7}-\frac{12b^2}{7}+b=5 \end{matrix}\right.$
    ....................
    thông cảm nhé!lười giải tiếp
     
  7. sky_fly_s2

    sky_fly_s2 Guest



    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3y^2+1+2xy+2y-4y\sqrt{x^2+2y+1}=0\\ y(y-x)=3-3y \end{matrix}\right.$(đk:$x^2+2y+1 \geq 0$)
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4y^2-4y\sqrt{x^2+2y+1}+x^2+2y+1-y^2+2xy-x^2\\ y(y-x)=3-3y \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2y-\sqrt{x^2+2y+1})^2-(y-x)^2=0\\ y(y-x)=3-3y \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y-\sqrt{x^2+2y+1}-y+x=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} 2y-\sqrt{x^2+2y+1}+y-x=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2y+1}=x+y\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2y+1}=x-3y\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^2+2xy-2y-1=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$(vô ngiệm) hoặc $\left\{\begin{matrix} 9y^2-6xy-2y-1=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$($3y-x \geq 0$)
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12y^2-8y-7=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$($3y-x \geq 0$)
    tìm ngiệm rồi thử với 2 điều kiện!!!
     

  8. có cách này nữa mấy e tham khảo nha
    đặt
    $\sqrt[2]{(x+7)/3} = y+1$ (đk... )
    $\Leftrightarrow 3(x+1)^2 = y+7$
    và $3(y+1)^2 = (x+7)$
    ta có hệ phương trình đối xứng....
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng chín 2012
  9. nhox_lan

    nhox_lan Guest


    [latex]\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1} (1 )\\ \sqrt{x+y}=x^2-y (2) \end{matrix}\right.[/latex]

    Đk: x + y > 0

    (1) \Leftrightarrow [latex](x + y)^2 – 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} – 1 = 0 [/latex]

    \Leftrightarrow[latex] (x + y)^3 – 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0[/latex]

    \Leftrightarrow[latex] (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 [/latex]

    \Leftrightarrow[latex] (x + y – 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0[/latex]

    \Leftrightarrow[latex] \left[ {\begin{matrix}x + y = 1(3) \\ x^2+y^2+x+y=0 (4) \end{matrix} } \right.[/latex]

    (4) vô nghiệm vì x + y > 0

    Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ : (x =1 ; y = 0) và (x = -2 ; y = 3)
     
  10. hthtb22

    hthtb22 Guest


    Bài 11:

    $$|\sqrt{x^2+2x+5}-\sqrt{x^2-4x+40}|=x^2+5x+\frac{45}{4}$$

    Bài 12:


    $$2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$$

    Bài 13:


    $$\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y\\ x^2y^2+xy+1=13y^2 \end{matrix}\right.$$

    Bài 14:


    $$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+3y^2-3x=2 \\ x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}=-2 \end{matrix}\right.$$

    Bài 15:

    $$\left\{\begin{matrix}(2x^2+y)(x+y)+x(2x+1)=7-2y \\ x(4x+1)=7-3y \end{matrix}\right.$$
     

  11. $\bullet$ Đặt $A(x; 0); B(-1; 2); C(2; 6)$
    Ta có
    $|AB - AC| \leq BC$
    $ \Leftrightarrow |\sqrt{(x+1)^2+4} - \sqrt{(x-2)^2+36}| \leq 5$
    $\Rightarrow VT \leq 5$
    $\bullet$ $VP = x^2+5x+\dfrac{45}{4} = (x+\dfrac{5}{2})^2+5 \geq 5$
    Dấu "=" xảy ra khi
    $\left\{ \begin{array}{l} \vec{AB} = k\vec{BC} \\ x = -\dfrac{5}{2} \end{array} \right. \Rightarrow x = -\dfrac{5}{2}$
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng chín 2012

  12. $\bullet$ Với y = 0 hệ phương trình vô nghiệm
    $\bullet$ Với $y \neq 0$ chia hai vế phương trình (1) cho y, hai vế phương trình (2) cho $y^2$ ta được
    $\left\{ \begin{array}{l} x+\dfrac{1}{y}+ \dfrac{x}{y} = 7\\ (x+\dfrac{1}{y})^2- \dfrac{x}{y} = 13 \end{array} \right.$
    Giải hệ này ta được
    $\left\{ \begin{array}{l} x+\dfrac{1}{y} = - 5 \\ x = 12y \end{array} \right.$ (I)
    Hoặc
    $\left\{ \begin{array}{l} x+\dfrac{1}{y} = 4 \\ x = 3y \end{array} \right.$ (II)
    Giải hệ (I) vô nghiệm; hệ (II) có nghiệm $(x; y) = (3; 1)$ hoặc $(1; \dfrac{1}{3})$
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng chín 2012

  13. $\bullet$ Đk: $|x| \leq 1; 0 \leq y \leq 2$
    $\bullet$ Phương trình (1) viết lại thành
    $$x^3-3x = (y-1)^3-3(y-1) (*)$$
    Xét hàm số đặc trưng cho hai vế phương trình (*) $f(t) = t^3- 3t$ với $|t| \leq 1$
    Do hàm số y = f(t) là hàm số nghịch biến với mọi $|t| \leq 1$ nên suy ra $x = y - 1$
    $\bullet$ Thay $y = x+1$ vào phương trình (2) ta được
    $$x^2 + 2\sqrt{1-x^2} - 3 = 0$$
    $$\Leftrightarrow (1 - x^2) + 2\sqrt{1-x^2} - 3 = 0$$
    $$\Rightarrow \sqrt{1 - x^2} = 1$$
    $$\Leftrightarrow x = 0$$
    Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 1)
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng năm 2013
  14. hthtb22

    hthtb22 Guest


    Cách này ngắn hơn nhá
    $x^2-3x+9=9\sqrt[3]{x-2}$
    Vì $x^2-3x+9 >0$\Rightarrow $x-2 >0$ \Rightarrow$x>2$
    Áp dụng bđt Cô- si 9 số ta có:
    $x^2-3x+9=(x-2)^2+(x-2)+1+1+1+1+1+1+1 \ge 9\sqrt[9]{(x-2)^3}=9\sqrt[3]{x-2}$
    Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $x=3$
     
  15. l94

    l94 Guest


    Điều kiện $$ x \ge \sqrt{2}-1$$
    Hoặc $$ x \le -\sqrt{2}-1$$
    $$ \Longleftrightarrow 2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=(x^2+2x-1)+4(1-x)-4$$
    $$\Longleftrightarrow (2-\sqrt{x^2+2x-1})(\sqrt{x^2+2x-1}+2x)=0$$
    $$\Longleftrightarrow x=-1+\sqrt{6}$$
    $$x=-1-\sqrt{6}$$
    Điều kiện $$ x \in (\propto ; -\sqrt{2}-1)$$
    $$\Longleftrightarrow x^2+2x-1=4x^2 (VN)$$
    Kết luận $$x=-1+\sqrt{6}$$
    $$x=-1-\sqrt{6}$$
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng chín 2012
  16. hthtb22

    hthtb22 Guest


    15 câu đầu tiên còn các câu sau:
    Câu 8: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(2+\sqrt{1-x^2})$

    Câu 9: $(2x^2-7x)\sqrt{2x^2-11x+14} \ge 0$

    Câu 10: $\sqrt{x^2+a^2} \le x+\frac{2a^2}{\sqrt{x^2+a^2}}$

    Câu 15:
    $\left\{\begin{matrix}(2x^2+y)(x+y)+x(2x+1)=7-2y \\ x(4x+1)=7-3y \end{matrix}\right.$

    Mình khuyến khích các bạn post bài nhá
    ;)

    Bài 16:
    $\sqrt[3] {x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$
     

  17. Nhân hai phương trình ra lấy (1) - (2) ta được:
    $$2x^3+2x^2y+xy+y^2-2x^2-y = 0$$
    $$\Leftrightarrow 2x^2(x+y-1)+y(x+y-1) = 0$$
    $$\Leftrightarrow (x+y-1)(2x^2+y) = 0$$
    $$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y= 1 - x \\ y = -2x^2 \end{array} \right.$$
    $\bullet$ Với $y = 1- x$ thay vào phương trình (2) ta được
    $$x(4x+1) = 7 - 3(1-x)$$
    $$\Leftrightarrow 2x^2 - x - 2 = 0$$
    $$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1-\sqrt{17}}{4} \\ x= \dfrac{1+\sqrt{17}}{4} \end{array} \right.$$
    $\bullet$ Với $y = -2x^2$ Phương trình (2) trở thành
    $$2x^2-x+7= 0 (L)$$
    Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $(x; y) = (\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}; \dfrac{1-\sqrt{17}}{4})$ và $(\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}; \dfrac{3-\sqrt{17}}{4})$
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng mười 2012
  18. kysybongma

    kysybongma Guest


    .ĐK : $x \in[-1;1]$ . Đặt $x=cos2t$

    $(1)\Leftrightarrow \sqrt{1+sin2t}=cos2t(2+sin2t)$

    $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1=(cosx-sinx)(3-2sinxcosx) = 1 \\ sinx+cosx =0 (VN) \end{array} \right.$

    $\Leftrightarrow 1=(cosx-sinx)(3-2sinxcosx)$

    Tiếp tục đặt : $cosx-sinx=a$

    $\Leftrightarrow 1=a(3-a^2)$

    $\Leftrightarrow a^3-3a+1=0 $(2)

    Đến đây ta chứng minh pt có nghiệm trên đoạn $[0;2]$
    Đặt $a=2cosb$
    $(2)\Leftrightarrow 2cos3a=-1$
    Giải cái này tìm nghiệm ban đầu.
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng mười 2012
  19. hthtb22

    hthtb22 Guest


    Mình giải câu 10 nhé ~:>

    Đặt $x=|a|tan t$; $t \in (\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})$. Khi đó bất phương trình có dạng:


    $$\frac{|a|}{cos t} \le |a|tan t+\frac{2a^2.cos t}{|a|}$$

    \Leftrightarrow
    $$1\le sin t+2cos^2t$$
    \Leftrightarrow
    $$2sin^2 t-sin t-1 \le 0$$
    \Leftrightarrow
    $$\frac{-1}{2} \le sin t \le 1$$
    \Leftrightarrow
    $$tan t \ge \frac{-1}{\sqrt{3}}$$
    \Rightarrow $$x \ge \frac{-|a|}{\sqrt{3}}$$
     
  20. hthtb22

    hthtb22 Guest


    Câu 9:

    [​IMG]

    Tiếp(các câu khối B;D;T)

    Bài 17: Giải hệ:
    $$\left\{\begin{matrix} x^2y+y=2\\ x^2(1+y^2)=3-\frac{1}{x^2} \end{matrix}\right.$$
    Bài 18: Giải hệ
    $$\left\{\begin{matrix}x^3y-x^2+xy+1=0 \\ x^4-x^3y+x^2y^2=1 \end{matrix}\right.$$
    Bài 19: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
    $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=m\\ x+y=2m+1 \end{matrix}\right.$$
     

CHIA SẺ TRANG NÀY