Chào mừng bạn đến với HMForum. Vui lòng đăng ký để sử dụng nhiều chức năng hơn!

Một số bài tập trong đề thi HSG

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi happytomorrowww, 29 Tháng ba 2012.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 682

  1. Đặt chỗ PEN 2017 - Cập nhật theo mọi thay đổi của kỳ thi THPT QG

    Đăng ký gia nhập BQT DIỄN ĐÀN


    Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
    [TEX]x(x^2+x+1)=4y(y+1)[/TEX]

    Bài 2: Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn: [TEX]\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+[/TEX][TEX]\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}=1[/TEX]. Tìm GTNN của tích [TEX]abcd[/TEX].

    Bài 3: Giải hệ phương trình:
    [TEX]\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{z}=2[/TEX] và [TEX]\frac{2}{xy^2z}-\frac{1}{z^2}=4[/TEX]
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 29 Tháng ba 2012
  2. minhtuyb

    minhtuyb Guest



    Đặt [TEX]x=\frac{1}{a^2+1};y=\frac{1}{b^2+1};z=\frac{1}{c^2+1};t=\frac{1}{d^2+1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z,t\in (0;1]\\a=\sqrt{\frac{1-x}{x}};b=\sqrt{\frac{1-y}{y}};z=\sqrt{\frac{1-c}{c}};t=\sqrt{\frac{1-d}{d}}\\x+y+z+t=1\end{matrix}\right.[/TEX]
    Lúc này:
    [TEX]abcd=\sqrt{\frac{(1-x)(1-y)(1-z)(1-t)}{xyzt}}[/TEX]
    Mà [TEX]x+y+z+t=1\Rightarrow 1-x=y+z+t[/TEX]. Biến đổi tương tự, ta có:
    [TEX]abcd=\sqrt{\frac{(y+z+t)(x+z+t)(x+y+t)(x+y+z)}{xyzt}}\geq ^{AM-GM}\sqrt{\frac{3\sqrt[3]{yzt}.3\sqrt[3]{xzt}.3\sqrt[3]{xyt}.3\sqrt[3]{xyz}}{xyzt}}=9[/TEX]
    Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=d=\sqrt{3}[/TEX]
    Vậy [TEX]min(abcd)=9[/TEX] khi [TEX]a=b=c=d=\sqrt{3}[/TEX]

    Bài 3 là đề HSG Nghệ An năm kia thì phải ="='
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 29 Tháng ba 2012
  3. l0vely_heart

    l0vely_heart Guest


    [TEX]\Leftrightarrow x^3 + x^2 + x = 4y^2 + 4y[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x^3 + x^2 + x + 1 = 4y^2 + y + 1[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1) = (2y+1)^2[/TEX]
    Vì [TEX](2y + 1)[/TEX] với [TEX]y \in Z[/TEX] là số lẻ nên [TEX](2y + 1)^2 [/TEX] cũng là số lẻ
    \Rightarrow [TEX]x^2 + 1 , x+1 [/TEX]đều là số lẻ
    Giả sử [TEX](x^2+1,x+1) = d[/TEX] ( d là số lẻ )

    .....\Rightarrow d = 1
    Vì [TEX](2y + 1)^2[/TEX] là số CP và [TEX](x^2+1,x+1) = 1[/TEX]


    \Rightarrow x = 0
     
  4. minhtuyb

    minhtuyb Guest


    Bài 3 tương tự cái này :D:
    Thay [tex]x=xy;y=yz[/tex] là giống hệt hệ trên :)
     

  5. Ừm. Hình như là vậy bạn à :D với cả đổi biến đi làm cho gọn :D