Sự kiện "ĐIỂM DANH NGAY - NHẬN QUÀ LIỀN TAY" đã chính thức bắt đầu

Bạn hãy ĐĂNG NHẬP hoặc ĐĂNG KÝ tài khoản để tham gia nhé!

Một số bài tập trong đề thi HSG

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi happytomorrowww, 29 Tháng ba 2012.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 679

  1. "Điểm danh ngay - Nhận quà liền tay" chào đón HMforum quay trở lại


    Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
    [TEX]x(x^2+x+1)=4y(y+1)[/TEX]

    Bài 2: Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn: [TEX]\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+[/TEX][TEX]\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}=1[/TEX]. Tìm GTNN của tích [TEX]abcd[/TEX].

    Bài 3: Giải hệ phương trình:
    [TEX]\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{z}=2[/TEX] và [TEX]\frac{2}{xy^2z}-\frac{1}{z^2}=4[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng ba 2012
  2. minhtuyb

    minhtuyb Guest



    Đặt [TEX]x=\frac{1}{a^2+1};y=\frac{1}{b^2+1};z=\frac{1}{c^2+1};t=\frac{1}{d^2+1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z,t\in (0;1]\\a=\sqrt{\frac{1-x}{x}};b=\sqrt{\frac{1-y}{y}};z=\sqrt{\frac{1-c}{c}};t=\sqrt{\frac{1-d}{d}}\\x+y+z+t=1\end{matrix}\right.[/TEX]
    Lúc này:
    [TEX]abcd=\sqrt{\frac{(1-x)(1-y)(1-z)(1-t)}{xyzt}}[/TEX]
    Mà [TEX]x+y+z+t=1\Rightarrow 1-x=y+z+t[/TEX]. Biến đổi tương tự, ta có:
    [TEX]abcd=\sqrt{\frac{(y+z+t)(x+z+t)(x+y+t)(x+y+z)}{xyzt}}\geq ^{AM-GM}\sqrt{\frac{3\sqrt[3]{yzt}.3\sqrt[3]{xzt}.3\sqrt[3]{xyt}.3\sqrt[3]{xyz}}{xyzt}}=9[/TEX]
    Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=d=\sqrt{3}[/TEX]
    Vậy [TEX]min(abcd)=9[/TEX] khi [TEX]a=b=c=d=\sqrt{3}[/TEX]

    Bài 3 là đề HSG Nghệ An năm kia thì phải ="='
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng ba 2012
  3. l0vely_heart

    l0vely_heart Guest


    [TEX]\Leftrightarrow x^3 + x^2 + x = 4y^2 + 4y[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x^3 + x^2 + x + 1 = 4y^2 + y + 1[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1) = (2y+1)^2[/TEX]
    Vì [TEX](2y + 1)[/TEX] với [TEX]y \in Z[/TEX] là số lẻ nên [TEX](2y + 1)^2 [/TEX] cũng là số lẻ
    \Rightarrow [TEX]x^2 + 1 , x+1 [/TEX]đều là số lẻ
    Giả sử [TEX](x^2+1,x+1) = d[/TEX] ( d là số lẻ )

    .....\Rightarrow d = 1
    Vì [TEX](2y + 1)^2[/TEX] là số CP và [TEX](x^2+1,x+1) = 1[/TEX]


    \Rightarrow x = 0
     
  4. minhtuyb

    minhtuyb Guest


    Bài 3 tương tự cái này :D:
    Thay [tex]x=xy;y=yz[/tex] là giống hệt hệ trên :)
     

  5. Ừm. Hình như là vậy bạn à :D với cả đổi biến đi làm cho gọn :D