Toán Hình 8 khó 2

[maloimi456]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1: Tìm N trên mặt phẳng hình vuông ABCD sao cho [tex]NA^2+NB^2+NC^2+ND^2[/tex] nhỏ nhất.
2: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài các tam giác đều [tex]ABC_1,CAB_1,BCA_1[/tex]. CM: Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác [tex]A_1B_1C_1[/tex] trùng nhau.
3: Cho hthang ABCD có đáy AB=a, BC=b(a>b). E là trung điểm AD. BE cắt AC tại M, CE cắt BD tại N.
a, CM: MN//AD
b, Tính MN theo a,b
c, Tìm tỷ số a/b để MN lớn nhất
4: Cho tứ giác ABCD. A',B',C',D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC và M,N,P,Q,R,S thứ tự là trung điểm của CD,AB,AC,BD,BC,AD. CM:
a, A'B'//AB
b, Các đthẳng AA'.BB',CC',DD' đồng quy tại G
c, 3 đường thẳng MN,PQ,RS cũng đi qua G

 

[Otaku8874]

bài 1:
Kẻ đường thẳng đi qua N vuông góc với AB, cắt AB, CD tại E và F.
->AE=DF, EB=CF, EF=AB
Pytago -> AN^2 + BN^2 +CN^2 + DN^2 = 2.(NE^2 + NF^2) +2.(AE^2 + EB^2)
=4 .AB^2 - 4.(NE.NF+AE.BE)

AM-GM -> NE.NF<= (EF^2)/4
AE.BE<= (AB^2)/4
->AN^2 + BN^2 +CN^2 + DN^2 >=4. AB^2 - 2.AB^2 = 2.AB^2.
Vậy min AN^2 + BN^2 +CN^2 + DN^2 = 2.AB^2. <->NE=NF, AE=AB <-> N là giao 2 đường chéo của ABCD

 

[iceghost]

1/ Đề phải là hbh $ABCD$ và $a \geqslant b$

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD \implies O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

a) Thấy $M$ là trọng tâm của $\triangle{ABD} \implies \dfrac{EM}{MB} = \dfrac12$
Tương tự : $\dfrac{EN}{NC} = \dfrac12$
$\implies \dfrac{EM}{MB} = \dfrac{EN}{NC} \left( = \dfrac12 \right)$
$\implies MN // BC // AD$ (định lý Thales đảo)

b) Áp dụng định lý Thales trong $\triangle{EBC}$ ta có :
$\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{EM}{EB} = \dfrac13$
$\implies MN = \dfrac{BC}{3} = \dfrac{b}3$

c) $MN = \dfrac{b}{3} \leqslant \dfrac{a}3$
Nên để $MN$ lớn nhất thì $b = a \iff \dfrac{a}{b} = 1$

 

[iceghost]

4/
a, c) Đây là hai câu tương đối dễ, bạn tự giải nhé )

b)

(Đây là hình vẽ đã được lược bỏ một số chi tiết do rối quá)

Gọi $O$ là giao điểm của $AA'$ và $PQ$
$I$ là trung điểm của $A'C$

Dễ thấy $CI = IA' = A'Q = \dfrac13CQ$
Ta có $IP$ là đường trung bình của $\triangle{CAA'} \implies IP // AA'$ hay $IP // OA'$
Xét $\triangle{PQI}$ có $A'$ là trung điểm $IQ$ và $OA' // PI$
$\implies O$ là trung điểm $PQ$
Hay $AA'$ đi qua trung điểm $PQ$
CMTT : $BB', CC', DD'$ đi qua trung điểm $PQ$
$\implies$ đpcm

 

[maloimi456]

1/ Đề phải là hbh $ABCD$ và $a \geqslant b$

Xin lỗi! Mình viết nhầm. Bài 3 là cho hình thang ABCD có AD=a, BC=b (a>b)

 

[iceghost]

Xin lỗi! Mình viết nhầm. Bài 3 là cho hình thang ABCD có AD=a, BC=b (a>b)

Khi đó $MN \not\parallel AD$

 

[iceghost]

À trời hai đáy $AD // BC$ hả -_- Ghi cho rõ ra chứ

 

[Otaku8874]

B3:
a) vì ABCD là hình thang nên BC//AD

Xét tam giác AME có AE//BC, áp dụng ĐL thales ta có:

[tex]\frac{AM}{MC}[/tex] = [tex]\frac{AE}{BC}[/tex]

tg tự với tam giác END có [tex]\frac{ED}{BC}[/tex] = [tex]\frac{EN}{NC}[/tex] (1)

mà AE=ED nên

[tex]\frac{AM}{MC}[/tex] = [tex]\frac{ED}{BC}[/tex] (2)

Từ (1) và (2) ta có:

[tex]\frac{AM}{MC}[/tex] = [tex]\frac{EN}{NC}[/tex]

vậy MN//AD

 

[maloimi456]

AM-GM -> NE.NF<= (EF^2)/4

Cho mk hỏi tại sao lại như thế

 

[iceghost]

Cho mk hỏi tại sao lại như thế

Áp dụng bđt Cauchy : $EF = NE + NF \geqslant 2.\sqrt{NE.NF}$
$\iff 4NE.NF \leqslant EF^2 \iff NE.NF \leqslant \dfrac{EF^2}4$

 

[Otaku8874]

ta có a+b >= 2 (căn ab) nên ab <= [(a+b)/2]^2 với mọi ab dương

 

[Otaku8874]

bài 3: câu b ra MN= ab/(a+2b)

 

[maloimi456]

Có lẽ mình là mình vẽ sai hình nên mới ko biết

 

[iceghost]

3/

a/ Có $\dfrac{EN}{NC} = \dfrac{ED}{BC}$ (Định lý Thales)
$\dfrac{EM}{MB} = \dfrac{AE}{BC}$ (Định lý Thales)
Mà $ED = AE \implies \dfrac{EN}{NC} = \dfrac{EM}{MB}$
$\implies MN // BC // AD$ (Định lý Thales đảo)

b/ Ta có : $\dfrac{BC}{MN} = \dfrac{EC}{EN}$ (Định lý Thales)
Mà $\dfrac{EC}{EN} = 1 + \dfrac{NC}{EN} = 1 + \dfrac{BC}{ED} = 1+ \dfrac{2BC}{AD} = \dfrac{AD+2BC}{AD}$
$\implies MN = \dfrac{BC.AD}{AD+2BC} = \dfrac{ab}{a+2b}$

c/ $MN = \dfrac{b}{1 + 2\dfrac{b}{a}} \geqslant \dfrac{b}{1 + 2\dfrac{a}{a}} = \dfrac{b}3$
Dấu '=' xảy ra $\iff b = a \iff \dfrac{a}{b} = 1$
Vậy $MN_\text{min} = \dfrac{b}3 \iff \dfrac{a}{b} = 1$

 

[maloimi456]

@iceghost ơi, bài 4 câu b ấy, 3 điểm Q, A', C đã thẳng hàng đâu
chưa chứng minh thẳng hàng mak

 

[iceghost]

@iceghost ơi, bài 4 câu b ấy, 3 điểm Q, A', C đã thẳng hàng đâu
chưa chứng minh thẳng hàng mak

Đỉnh, trọng tâm, chân đường trung tuyến thì thẳng hàng

 

[maloimi456]

Mk nhầm.