Toán 9 Giúp mình bài giải phương trình nghiệm nguyên này với ạ

[Vanhhoctoan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2 +y^2 = (y^2 + 1 )

 

[thegooobs]

[imath]x^2+y^2=(y^2+1)^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow y^4+2y^2+1=x^2+y^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow y^4+y^2+1-x^2=0[/imath]
Đặt [imath]y^2=t ( t \in \mathbb{N})[/imath]
[imath]\to y^4=t^2[/imath]
Phương trình trở thành:
[imath]t^2+t+1-x^2=0[/imath]
Trường hợp 1: Phương trình có nghiệm [imath]t=0[/imath]
Khi đó [imath]0^2+0+1-x^2=0[/imath] hay [imath]x=1,-1[/imath]
Thế [imath]x=1[/imath] vào pt ban đầu ta được nghiệm [imath]y=0[/imath]
Tương tự với [imath]x=-1[/imath] ta được [imath]y=0[/imath]
nên ta có 2 nghiệm [imath](x,y)=(1,0),(-1,0)[/imath]
Trường hợp 2: Phương trình có ít nhất 1 nghiệm [imath]t[/imath] nguyên dương
[imath]\Delta=1-4(1-x^2)=4x^2-3[/imath]
Xét trường hợp: Cả 2 nghiệm [imath]t_1,t_2[/imath] đều dương
Ta có: [imath]t_1+t_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-1}{1}=-1[/imath] nên 2 nghiệm không thể đều dương (vì nếu 2 nghiệm đều dương thì tổng phải dương)
Xét trường hợp: Có 1 nghiệm dương 1 nghiệm âm khi đó tích 2 nghiệm trái dấu và [imath]Delta[/imath] dương
Ta có hệ:
[imath]\begin{cases} \Delta>0\\t_1.t_2<0 \end{cases}[/imath]
Hay
[imath]\begin{cases} 4x^2-3>0\\1-x^2<0 \end{cases}[/imath]
hay
[imath]\begin{cases} x^2>\dfrac{3}{4}\\x^2>1 \end{cases}[/imath]
hay [imath]x^2>1 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>1\\ x<-1\end{matrix}\right.[/imath]
Với [imath]x[/imath] nguyên thì [imath]\Delta=4x^2-3[/imath] sẽ nguyên vì vậy
[imath]\sqrt{\Delta}[/imath] có thể là số nguyên hoặc là 1 số vô tỉ
Để [imath]t[/imath] nguyên thì [imath]\sqrt{\Delta}[/imath] phải là 1 số nguyên (nếu không phải là số nguyên thì khi áp dụng công thức nghiệm sẽ không được nghiệm nguyên)
Khi đó: [imath]\sqrt{\Delta}=m[/imath] [imath](m \in \mathbb{Z}^+)[/imath] ([imath]\mathbb{Z}^+[/imath] là tập hợp các số nguyên dương)
Hai vế đều dương khi [imath]\left[\begin{matrix} x>1\\ x<-1\end{matrix}\right.[/imath]
nên ta bình phương 2 vế:
[imath]\Delta=m^2[/imath]
hay [imath]4x^2-3=m^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2^2x^2-m^2=3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (2x)^2-m^2=3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (2x+m)(2x-m)=3[/imath]
Do [imath]x[/imath] và [imath]m[/imath] nguyên nên [imath]2x+m[/imath] và [imath]2x-m[/imath] nguyên
Để hai số nguyên [imath]2x+m[/imath] và [imath]2x-m[/imath] nhân nhau bằng 3 thì chỉ thế xảy ra:
[imath]\begin{cases} 2x+m=3\\2x-m=1 \end{cases}[/imath]
hoặc
[imath]\begin{cases} 2x+m=1\\2x-m=3 \end{cases}[/imath]
hoặc
[imath]\begin{cases} 2x+m=-3\\2x-m=-1 \end{cases}[/imath]
hoặc
[imath]\begin{cases} 2x+m=-1\\2x-m=-3 \end{cases}[/imath]
Giải từng hệ ta được các nghiệm:
[imath](x,m)=(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1)[/imath]
Do [imath]m \in \mathbb{Z}^+[/imath] nên ta bỏ các nghiệm [imath](1,-1),(-1,-1)[/imath] và do [imath]\left[\begin{matrix} x>1\\ x<-1\end{matrix}\right.[/imath] nên ta bỏ nghiệm [imath](1,1),(1,-1)[/imath]
Nên trường hợp [imath]2[/imath] không có [imath]x[/imath] thỏa mãn
Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm [imath](1,0),(-1,0)[/imath]

 

[Vanhhoctoan]

.

thegooobsCảm ơn bạn nhé .

 

[Vanhhoctoan]

[imath]x^2+y^2=(y^2+1)^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2+y^2=y^4+2y^2+1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow y^4+y^2+1-x^2=0[/imath] (*)
Đặt [imath]y^2=t (t \geq 0 và t \in \mathbb{Z})[/imath] khi đó [imath]y^4=y^2.y^2=t.t=t^2[/imath]
Nên phương trình trở thành:
[imath]t^2+t+1-x^2=0[/imath]
Do [imath]t \geq 0[/imath] nên để phương trình có nghiệm [imath]t[/imath] không âm thì
[imath]x_1.x_2\geq 0[/imath] hay [imath]1-x^2 \geq 0[/imath] hay [imath]x^2 \leq 1[/imath]
hay vế đều dương nên lấy căn 2 vế:
[imath]\sqrt{x^2}\leq 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow |x| \leq 1[/imath] (lưu ý: [imath]\sqrt{x^2}=|x|[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thực)
Sử dụng định lí:
Nếu [imath]a \geq 0[/imath] thì [imath]|x|\leq a \Leftrightarrow -a \leq |x|\leq a[/imath]
với [imath]a=1[/imath]
Ta có: [imath]|x| \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1[/imath]
Vì [imath]x[/imath] nguyên nên [imath]x[/imath] có thể là [imath]-1,0,1[/imath]
Thay [imath]x=1[/imath] vào phương trình ban (*)ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=1\\y^4+y^2=0 \end{cases}[/imath]
Giải phương trình dưới ta có nghiệm [imath]y=0[/imath] vậy hệ tương đương:
[imath]\begin{cases} x=1\\y=0 \end{cases}[/imath]
nên ta có nghiệm [imath](x,y)=(1,0)[/imath]
Tương tự thế [imath]x=-1[/imath] vào (*) ta có nghiệm [imath](x,y)=(-1,0)[/imath]
Với [imath]x=0[/imath] thì ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=0\\y^4+y^2+1=0 \end{cases}[/imath]
Phương trình dưới vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm [imath](x,y)[/imath] là [imath](1,0)[/imath] và [imath](-1,0)[/imath].
Chúc bạn học tốt !

 

[thegooobs]

[imath]x^2+y^2=(y^2+1)^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2+y^2=y^4+2y^2+1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow y^4+y^2+1-x^2=0[/imath] (*)
Đặt [imath]y^2=t (t \geq 0 và t \in \mathbb{Z})[/imath] khi đó [imath]y^4=y^2.y^2=t.t=t^2[/imath]
Nên phương trình trở thành:
[imath]t^2+t+1-x^2=0[/imath]
Do [imath]t \geq 0[/imath] nên để phương trình có nghiệm [imath]t[/imath] không âm thì
[imath]x_1.x_2\geq 0[/imath] hay [imath]1-x^2 \geq 0[/imath] hay [imath]x^2 \leq 1[/imath]
hay vế đều dương nên lấy căn 2 vế:
[imath]\sqrt{x^2}\leq 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow |x| \leq 1[/imath] (lưu ý: [imath]\sqrt{x^2}=|x|[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thực)
Sử dụng định lí:
Nếu [imath]a \geq 0[/imath] thì [imath]|x|\leq a \Leftrightarrow -a \leq |x|\leq a[/imath]
với [imath]a=1[/imath]
Ta có: [imath]|x| \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1[/imath]
Vì [imath]x[/imath] nguyên nên [imath]x[/imath] có thể là [imath]-1,0,1[/imath]
Thay [imath]x=1[/imath] vào phương trình ban (*)ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=1\\y^4+y^2=0 \end{cases}[/imath]
Giải phương trình dưới ta có nghiệm [imath]y=0[/imath] vậy hệ tương đương:
[imath]\begin{cases} x=1\\y=0 \end{cases}[/imath]
nên ta có nghiệm [imath](x,y)=(1,0)[/imath]
Tương tự thế [imath]x=-1[/imath] vào (*) ta có nghiệm [imath](x,y)=(-1,0)[/imath]
Với [imath]x=0[/imath] thì ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=0\\y^4+y^2+1=0 \end{cases}[/imath]
Phương trình dưới vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm [imath](x,y)[/imath] là [imath](1,0)[/imath] và [imath](-1,0)[/imath].
Chúc bạn học tốt !

VanhhoctoanBài giải trên còn lỗi nha ! chỗ [imath]t_1t_2\geq 0[/imath] đó !

 

[Vanhhoctoan]

[imath]x^2+y^2=(y^2+1)^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2+y^2=y^4+2y^2+1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow y^4+y^2+1-x^2=0[/imath] (*)
Đặt [imath]y^2=t (t \geq 0 và t \in \mathbb{Z})[/imath] khi đó [imath]y^4=y^2.y^2=t.t=t^2[/imath]
Nên phương trình trở thành:
[imath]t^2+t+1-x^2=0[/imath]
Do [imath]t \geq 0[/imath] nên để phương trình có nghiệm [imath]t[/imath] không âm thì
[imath]x_1.x_2\geq 0[/imath] hay [imath]1-x^2 \geq 0[/imath] hay [imath]x^2 \leq 1[/imath]
hay vế đều dương nên lấy căn 2 vế:
[imath]\sqrt{x^2}\leq 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow |x| \leq 1[/imath] (lưu ý: [imath]\sqrt{x^2}=|x|[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thực)
Sử dụng định lí:
Nếu [imath]a \geq 0[/imath] thì [imath]|x|\leq a \Leftrightarrow -a \leq |x|\leq a[/imath]
với [imath]a=1[/imath]
Ta có: [imath]|x| \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1[/imath]
Vì [imath]x[/imath] nguyên nên [imath]x[/imath] có thể là [imath]-1,0,1[/imath]
Thay [imath]x=1[/imath] vào phương trình ban (*)ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=1\\y^4+y^2=0 \end{cases}[/imath]
Giải phương trình dưới ta có nghiệm [imath]y=0[/imath] vậy hệ tương đương:
[imath]\begin{cases} x=1\\y=0 \end{cases}[/imath]
nên ta có nghiệm [imath](x,y)=(1,0)[/imath]
Tương tự thế [imath]x=-1[/imath] vào (*) ta có nghiệm [imath](x,y)=(-1,0)[/imath]
Với [imath]x=0[/imath] thì ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=0\\y^4+y^2+1=0 \end{cases}[/imath]
Phương trình dưới vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm [imath](x,y)[/imath] là [imath](1,0)[/imath] và [imath](-1,0)[/imath].
Chúc bạn học tốt !

Vanhhoctoanbạn có lời d=giải đúng chưa cho mình xin với

 

[thegooobs]

bạn có lời d=giải đúng chưa cho mình xin với

VanhhoctoanĐợi mình nha, mình đang tìm !

 

[thegooobs]

bạn có lời d=giải đúng chưa cho mình xin với

VanhhoctoanMình đã sửa lại bài giải rồi bạn có thể xem lại !