HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy GIA NHẬP ngay

[Đại 8] tổng hợp các dạng toán hay và khó.

Thảo luận trong 'Đại số' bắt đầu bởi tuananh8, 24 Tháng sáu 2009.

Lượt xem: 6,130

  1. tuananh8

    tuananh8 Guest

    Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới


    Mình xin đưa ra một số dạng toán hay và khó trong trương trình THCS và cách giải chúng. Mong các bn cùng thảo luận nhiệt tình.
    Trước tiên mình xin đưa ra phương pháp hoán vị vòng quanh:
    Phương pháp này dựa vào một số nhận xét sau đây :
    1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó. Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a.
    Bài toán 1 : Phân tích thành nhân tử :
    [tex]F(a, b, c)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)[/tex]
    Nhận xét : Khi a = b ta có :
    [tex]F(a, b, c)=a^2(a-c)+a^2(c-a)=0[/tex].Do đó F(a, b, c) chứa nhân tử a-b.
    Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a).
    Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có :
    1+1=k.1.1.(-2) => k=-1.
    Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a).
    Bài toán 2 : Phân tích thành nhân tử :
    [tex]F(a, b, c)=a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)[/tex]
    Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b - c, c - a. Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c. Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c). Do đó :
    F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
    Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1.
    Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).
    2/ Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng F(a, b, c) khác 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a.
    Bài toán 3 : Chứng minh rằng :
    Nếu [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{x+y+z}[/tex] thì:
    [tex]\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}+\frac{1}{z^n}=\frac{1}{x^n+y^n+z^n}[/tex] vơí mọi số nguyên lẻ n.
    Từ giả thiết [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{x+y+z}[/tex] => (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = 0 (1)
    Do đó ta thử phân tích biểu thức
    F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử.
    Khi x=-y thì F(a, b, c)=0 nên F(x, y, z) chứa nhân tử x + y.tương tự, ta có F(x, y, z) = (x + y)(y + z)(x + z).
    Do đó (1) trở thành : (x + y)(y + z)(x + z) = 0
    Tương đương với : x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0 .
    Nếu x + y = 0 chẳng hạn thì x = - y và do n lẻ nên [tex]x^n=-y^n[/tex]
    => [tex]\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}+\frac{1}{z^n}=\frac{1}{x^n+y^n+z^n}[/tex]
    Tương tự cho các trường hợp còn lại, ta có đpcm.
    Có những khi ta phải linh hoạt hơn trong tình huống mà hai nguyên tắc trên không thỏa mãn :
    Bài toán 4 :
    Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
    [tex]a^3+b^3+c^3-3abc[/tex]
    Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nhưng nếu thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z. Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta được thương [tex]x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx[/tex] và dư là 0.
    => [tex]F(a, b, c)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/tex]
     
  2. tuananh8

    tuananh8 Guest


    BĐT trê-bư sép
    ta thấy : Nếu [TEX]a_1 \leq a_2[/TEX]và [TEX]b_1 \leq b_2 \Rightarrow (a_2 - a_1) (b_2 - b_1) \geq 0[/TEX]. Khai triển vế trái của bất đẳng thức này ta có :. Khai triển vế trái của bất đẳng thức này ta có :
    [TEX]a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 \geq 0 [/TEX]
    => : [TEX]a_1b_1 + a_2b_2 \geq a_1b_2 + a_2b_1.[/TEX]
    Nếu cộng thêm [TEX]a_1b_1 + a_2b_2 [/TEX]vào cả hai vế ta được :
    [TEX]2 (a_1b_1 + a_2b_2) \geq a_1(b_1 + b_2) + a_2(b_1 + b_2)[/TEX]
    => : [TEX]2 (a_1b_1 + a_2b_2) \geq (a_1 + a_2) (b_1 + b_2)[/TEX] [TEX](*)[/TEX]
    Bất đẳng thức [TEX](*)[/TEX] chính là bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = 2. Nếu thay đổi giả thiết, cho [TEX]a_1 \leq a_2[/TEX] và [TEX]b_1 \leq b_2 [/TEX]thì tất cả các bất đẳng thức trên cùng đổi chiều và ta có :
    [TEX]2 (a_1b_1 + a_2b_2) \leq (a_1 + a_2) (b_1 + b_2)[/TEX] [TEX](**)[/TEX]
    Các bất đẳng thức [TEX](*)[/TEX] và [TEX](**)[/TEX] đều trở thành đẳng thức khi và chỉ khi [TEX]a_1 = a_2 [/TEX]hoặc [TEX]b_1 = b_2[/TEX].
    Làm theo con đường đi tới [TEX](*)[/TEX] hoặc [TEX](**)[/TEX], các bạn có thể giải quyết nhiều bài toán rất thú vị.
    Bài toán 1 : Biết rằng x + y = 2. Chứng minh [TEX]x^{2003} + y^{2003} \leq x^{2004} + y^{2004}.[/TEX]
    Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x và y nên có thể giả sử x ≤ y. Từ đó => : [TEX]x^{2003} \leq y^{2003}. [/TEX]Do đó [TEX](y^{2003} - x^{2003}).(y - x) \geq 0[/TEX]
    => : [TEX]x^{2004} + y^{2004} \geq x.y^{2003} + y.x^{2003} [/TEX]
    Cộng thêm [TEX]x^{2004} + y^{2004} [/TEX]vào hai vế ta có : [TEX]2.(x^{2004} + y^{2004}) \geq (x+y) (x^{2003} + y^{2003}) = 2.(x^{2003} + y^{2003})[/TEX]
    => : [TEX]x^{2004} + y^{2004} \geq x^{2003} + y^{2003} (đpcm). [/TEX]
    Để ý rằng : Bất đẳng thức vừa chứng minh trở thành đẳng thức khi và chỉ khi x = y = 1 ; các bạn sẽ có lời giải của các bài toán sau :
    Nếu các bạn quan tâm tới các yếu tố trong tam giác thì vận dụng các bất đẳng thức [TEX](*)[/TEX] hoặc (**) sẽ dẫn đến nhiều bài toán mới.
    Bài toán 3 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. AH và BK là các đường cao của tam giác.
    Chứng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥ 8.
    Lời giải : Ta có AH . BC = BK . CA = 2. Do vai trò bình đẳng của BC và CA nên có thể giả sử rằng BC ≤ CA => [TEX]\frac{2}{BC} \geq \frac{2}{CA}[/TEX]=> AH ≥ BK
    Do đó [TEX](CA - BC).(BK - AH) \leq 0[/TEX]
    => : [TEX]CA . BK + BC . AH \leq BC . BK + CA . AH [/TEX]
    Cộng thêm [TEX]CA . BK + BC . AH [/TEX]vào 2 vế ta có :
    [TEX]2.(CA . BK + BC. AH) \leq (BC + CA) (AH + BK)[/TEX]
    => : (BC + CA).(AH + BK) ≥ 8.
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BC = CA hoặc BK = AH tương đương với BC = CA hay tam giác ABC là tam giác cân đỉnh C.
    Bài toán 4 : Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c và các đường cao tương ứng của các cạnh này có độ dài lần lượt là [TEX]h_a ; h_b; h_c[/TEX].cm:
    [TEX]\frac{1}{h_a+h_b}+\frac{1}{h_b+h_c}+\frac{1}{h_c+h_a} \leq \frac{a+b+c}{4S}[/TEX]với S là diện tích tam giác ABC.
    Lời giải : Do vai trò bình đẳng của các cạnh trong tam giác nên có thể giả sử rằng a ≤ b ≤ c => [TEX]\frac{2S}{a} \geq \frac{2S}{b} \geq \frac{2S}{c} \Rightarrow h_a \geq h_b \geq h_c[/TEX]
    Làm như lời giải bài toán 3 ta có :
    [TEX](a + b).(h_a + h_b) \geq 8S[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow \frac{1}{h_a+h_b} \leq \frac{a+b}{8S}(1)[/TEX]
    tương tự [TEX]\frac{1}{h_b+h_c} \leq \frac{b+c}{8S}(2)[/TEX]
    [TEX]\frac{1}{h_c+h_a} \leq \frac{c+a}{8S}(3)[/TEX]
    Cộng 3 vế của 3 BĐT trên ta được
    [TEX]\frac{1}{h_a+h_b}+\frac{1}{h_b+h_c}+\frac{1}{h_c+h_a} \leq \frac{a+b+c}{4S}(4)[/TEX]
    Bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời trở thành đẳng thức tương đương với a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều.
    :)>-
     
  3. cute_cuteo

    cute_cuteo Guest


    t anh

    Trong chương trình học của bạn đã đề cập đến những bài toán như thế này rồi à!!!...
    Hay là bạn sưu tầm ở đâu??????************************************************.:)>-
     
  4. kido_b

    kido_b Guest


    mình nghĩ lên post toán 9 thì hơn

    lớp 8 thì chưa cần áp dụng mấy cái này quá sớm chỉ cần sơ sơ thoy cũng dc

    mà bn lấy mấy cái này ở trang web nào vậy

    chỉ mình với
     
  5. tuananh8

    tuananh8 Guest


    mấy dạng này ở trong sách ấy. thực ra thì mấy cái này thì lớp 8 hay 9 đều được hết. :)):)):))
     

  6. ma^y cai nay minh cu~ng chua hoc de^'n ma
    nhung minh cu~ng ho?i mo^t so^' ba`i nhe'
    cho a, b,c>0CMR
    a^3b^2c+\frac{c^2}{b^2}+\frac{b}{ac^2}\geq ac+ab+1
     
  7. cuccuong

    cuccuong Guest


    tất cả những cái trên trong nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 có cả mà :-? :-?:-?:-?:-?
     
  8. huynh_trung

    huynh_trung Guest


    mình thấy mấy cái dạng này lớp 8 cũng có nhiều lằm mờ
     
  9. tai_cute_123

    tai_cute_123 Guest


    cho em hỏj bài này zới: cho a+b=10, ab=4
    a/ a^2+b^2 c/ a^4+b^4
    b/ a^3+b^3 d/ a^5+b^5
    e làm đc bài a, b, c rùi nhưng bài d chưa làm ra mong các pác pro giúp cho, càng nhanh càng tốt.
    thankss các pác trước.
     
  10. tai_cute_123

    tai_cute_123 Guest


    lâu wa

    sao ko thấy ai hưởng ứng zậy trơi`. em đang cần gấpppppppppppp Lắm
     
  11. thaiha_98

    thaiha_98 Guest


    Ta có:
    $a^5+b^5=(a + b) (a^4 – a^3b + a^2b^2 – ab^3 + b^4 )$
    \Rightarrow $a^5+b^5=(a + b) [a^4 + b^4 – ab(a^2+b^2) + a^2b^2]$
    \Rightarrow $a^5+b^5=(a + b) [(a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 – ab(a^2+b^2) + a^2b^2]$
    Đến đây chắc bạn tự làm được rồi ;)
     
  12. nhungkyu

    nhungkyu Guest


    Superjunior

    giai giup minh voi
    a^2+b^2=36 voi a,bthuocZ:p:p:p:p
    VA A+B=6 A-B=5
     
  13. dtfbkq

    dtfbkq Guest


    các bài của các bạn đều rất hay, cảm ơn các bạn rất nhiều!
     

CHIA SẺ TRANG NÀY