Có bao nhiêu số nguyên [imath]m[/imath] để hàm số [imath]y = \dfrac{1}{8}x^2 + \sqrt{x+m+1}[/imath] đồng biến trên tập xác định.
mình cảm ơn trc ạ
ductrungphan111
Điều kiện xác định của căn bậc hai: [imath]x+m+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -m-1[/imath]
Tập xác định: [imath]D=[-m-1; +\infty][/imath]
Để hàm số đồng biến trên [imath]D[/imath] thì [imath]y' \geq 0[/imath] với mọi [imath]x \in D[/imath]
Khi đó: [imath]\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2\sqrt{x+m+1}}\geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x.\sqrt{x+m+1}+2}{4\sqrt{x+m+1}}\geq 0[/imath]
[imath]x.\sqrt{x+m+1}\geq -2[/imath]
[imath]\hArr \begin{cases} \sqrt{x+m+1} \geq \dfrac{-2}{x} &\text{nếu } x>0 \ \text{(luôn đúng)} \\ \sqrt{x+m+1} \leq \dfrac{-2}{x} &\text{nếu } x \in (-m-1;0) (1) \end{cases}[/imath]
Giải [imath](1)[/imath]:
[imath]\hArr x+m+1\leq \dfrac{4}{x^2} \hArr m \leq \dfrac{4}{x^2}-x-1 [/imath]
[imath]\text{Đặt} \ \dfrac{4}{x^2}-x-1=f(x) \ \text{với} x\in (-m-1,0)[/imath]
[imath]\Rightarrow m \leq min_{f(x)}[/imath]
[imath]f'(x)=\dfrac{-8}{x^3}-1=0 \Rightarrow x=-2[/imath]
- Nếu [imath]-m-1 \leq -2 \Rightarrow m \geq 1[/imath]
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
[imath]min_{f(x)}=f(-2)= \dfrac{4}{(-2)^2-(-2)-1}=2[/imath]
[imath]\Rightarrow m \leq 2[/imath]
mà [imath]m \geq 1[/imath] và [imath]m \in Z[/imath]
suy ra [imath]m=1;2[/imath] |  |
- Nếu [imath]-m-1 > -2 \Rightarrow m < 1[/imath] và [imath]-m-1<0 \Rightarrow m>-1[/imath], hay [imath]-1<m<1[/imath]
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
[imath]min_{f(x)}=f(-2)= \dfrac{4}{(-2)^2-(-2)-1}=2[/imath]
[imath]\Rightarrow m \leq 2[/imath]
mà [imath]-1<m<1[/imath] và [imath]m \in Z[/imath] suy ra [imath]m=0[/imath]
|  |
Vậy có [imath]3[/imath] số nguyên thỏa mãn đề bài là [imath]0,1,2[/imath].
Chúc bạn học tốt!
------
Xem thêm:
Hàm số và ứng dụng của đạo hàm |
Một số dạng vận dụng, vận dụng cao về cực trị của hàm số
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Hocmai Forum 