Chào mừng bạn đến với HMForum. Vui lòng đăng ký để sử dụng nhiều chức năng hơn!

[Chuyên đề] Toán chia hết

Thảo luận trong 'Tổng hợp' bắt đầu bởi hoa_giot_tuyet, 9 Tháng hai 2011.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 28,069

  1. Đặt chỗ PEN 2017 - Cập nhật theo mọi thay đổi của kỳ thi THPT QG

    Phương án thi năm 2017 sẽ không thay đổi


    Chuyên đề toán chia hết là chuyên đề số học hay và thường xuất hiện trong các kì thi hsg.
    Topic bao gồm những bài toán về chia hết nghiêm cấm spam

    Mọi phương pháp chúng minh chia hết các bạn có thể tham khảo tại Toán Tuổi Thơ 2 số 93,94 và 95. :)

    Chúng ta cùng thử sức vs một số bài vận dụng trong Toán Tuổi Thơ
    Bài 1. C/m [TEX]3^2^{4n+1} + 2^3^{4n+1} + 5 \vdots 11[/TEX]
    Bài 2. C/m [TEX](7.5^{2n} + 12.6^{n} \vdots 19[/TEX]
    Bài 3. Tìm số dư của phép chia số tự nhiên [TEX]n = 3^6 + 3^8 + 3^{2004}[/TEX] cho 91
    Bài 4. [TEX]C/m 3^n + 1[/TEX] không thể chia hết cho [TEX]2^n[/TEX]
    Bài 5. Chứng minh tồn tại số tự nhiên chia hết cho 1999 có tổng các chữ số của số đó bằng 1999
     
  2. trydan

    trydan Guest



    Trời! Mới vào đã toàn bài nặng đô! :eek:


    Bài 1:
    Chứng minh [​IMG]
    Chứng minh mẫu cái đầu, cái còn lại tương tự.
    [​IMG] chia 5 dư 2
    Đặt [​IMG]
    [​IMG]

    Bài 2:
    [​IMG]



    Bài 3:
    [​IMG]
    [​IMG] chia 91 dư 11


    Bài 4: Quy nạp
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 9 Tháng hai 2011

  3. Xin lỗi vì mở đầu pic hơi khó :p Ai giải jùm bài 5 luôn đi
    Cho mấy bài dễ nè :D
    Bài 1: Chứng minh [TEX]a(a^6-1)[/TEX] chia hết cho 7

    Bài 2. Chứng minh nếu tổng 3 số nguyên chia hết cho 6 thì tổng các lập phương cũng chia hết cho 6
    Bài 3. [TEX]5^8^{2004} + 23[/TEX] chia hết cho 24 (xét sự đồng dư)
    Bài 4. C/m [TEX]7^{100} + 11^{100}[/TEX] chia hết cho 13
     

  4. Bài 2
    a+ b+c chia hết cho 6
    [TEX]a^3-a, b^3-b, c^3-c[/TEX] chia hết cho 6
    nên [TEX]a^3+b^3+c^3[/TEX] chia hết cho 6

     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 12 Tháng hai 2011

  5. Bài 3. [​IMG] chia hết cho 24 (xét sự đồng dư)

    Ta co'
    (5^8)^2004 = 25^(may chua tinhs)
    chia 24 du 1
    => . [​IMG] = 24k + 1 + 23 = 24(k +1) chia he^t 24 !

    Bài 2. Chứng minh nếu tổng 3 số nguyên chia hết cho 6 thì tổng các lập phương cũng chia hết cho 6

    Bai ni co' toi 3 cach !
    Cach 1 : nhu ban tre^n da noi
    Cach 2 : Ap dungj hang dang thuc a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 - ab - ac - bc)
    Cach 3 : Ap dung hang dang (a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = (a +b)(b+c)(c+a)
    Ba cach the ban co can phai trinh bay ro ra ko ????

    Bài 4. C/m [​IMG] chia hết cho 13
    __________________

    Ta co' ;
    7^100 + 11^100 = (7^4)^25 + (11^4)^25 = (7^4 + 11^4)(..........)
    Cai trong ngoac chia het 13 thi` phai ! thu xem nha ! doan thoi !

    Chú ý ko viết nhiều bài liên tiếp nhé :)
    Sửa latex đi >"<
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 12 Tháng hai 2011

  6. _____________________________
    sai kìa
    phải là 3(a+b)(a+c)(b+c) chứ!
     

  7. Bài 3 bạn làm sai rùi
    [TEX]5^8^2004=5^(8^{2004})[/TEX]
    Còn bài 4 thì [TEX]7^4+11^4[/TEX] đâu có chia hết cho 13.
    Xem lại nhé thienlong_cuong

     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 12 Tháng hai 2011
  8. bboy114crew

    bboy114crew Guest


    Ủng hộ em giá một số bài tập cơ bản (dễ thôi !)
    Bài 1: CMR:
    1)[TEX]11^n-1 \vdots 100[/TEX]
    2)[TEX]9.10^n+18 \vdots 27[/TEX]
    3)[TEX]16^n-15n-1 \vdots 225[/TEX]
    4)[TEX]20^n+16^n-3^n-1 \vdots 323[/TEX] với n chẵn.
    5)[TEX]2^{2^{2n}} +5 \vdots 7[/TEX] với n>1
    Bài 2:CMR:
    [TEX]m^{2^n}-1 \vdots 2^{n+2}[/TEX] với m là số tự nhiên lẻ.
    Bài 3:Cho hai số tự nhiên a,b CMR:
    a)Nếu [TEX]a^2+b^2 \vdots 3[/TEX] thì [TEX]a;b \vdots 3[/TEX]
    b)Nếu [TEX]a^2+b^2 \vdots 7[/TEX] thì [TEX]a;b \vdots 7[/TEX]
    Bài 4: cho các số tự nhiên a,b,c,d CMR:
    a) [TEX]a+b+c \vdots 6[/TEX] CMR: [TEX]a^3+b^3+c^3 \vdots 6[/TEX]
    b) [TEX]a+b+c \vdots 30[/TEX] CMR: [TEX]a^5+b^5+c^5 \vdots 30[/TEX]
    Bài 5: Cho các số [TEX]a,b,c [/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=0[/TEX]CMR:
    a)[TEX]a^3+b^3+c^3 \vdots 3abc[/TEX]
    b)[TEX]a^5+b^5+c^5 \vdots 5abc[/TEX]
    Bài 6: CMR nếu n là lập phương của 1 số tự nhiên thì [TEX](n-1)n(n+1) \vdots 504[/TEX]
    Bài 7:cho:
    [TEX]A=1^k+2^k+...+n^k[/TEX]
    [TEX]B=1+2+...+n[/TEX]
    CMR:[TEX]A \vdots B[/TEX] với k lẻ .
    Bài 8:CMR:
    a)Trong [TEX]n+1[/TEX] số nguyên bất kì có hai số có hiệu chia hết cho n.
    b)Tồn tại một bội của 1993 gồm toàn số 1
    c)Tồn tại một bội của 2003 dạng 20042004...2004
    Bài 9:
    a) cho ba số a,b,c là các số chính phương.CMR:
    [TEX](a-b)(b-c)(c-a) \vdots 12[/TEX]
    b) CMR với mọi số nguyên a,b,c,d bất kì thì tích:
    [TEX](a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-c)(c-d) \vdots 12[/TEX]
    Bài 10:CMR các biểu thức sau là số chính phương:
    a)[tex]A=a-b[/tex] với a=111...11 (có 2n chữ số 1) ;n=222...22(n chữ số 2)
    b)[TEX]B=ab+1[/TEX] với a=111...11(n chữ số 1) ;b=100...005([TEX]n-1[/TEX] chữ số 0)
    c)Cho dãy có số hạng đầu tiên là 16,các số hạng sau là số tạo thành bằng cách chèn 15 vào vào chính giưa số hạng liền trước :16;1156;111556;...CMR mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.
    Bài 11:
    Các số sau có phải là số chính phương ko?
    a)[TEX]22...224[/TEX](50 chữ số 2)
    b)[TEX]44...4[/TEX](100 chữ số 4)
    c)[TEX]1997^4+7[/TEX]
    d)[TEX]1444...44[/TEX](99 chữ số 4)
    Bài 12: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương:
    a) [TEX]n^2-n+2[/TEX]
    b)[TEX]n^3-n+2[/TEX]
    c)[TEX]n^4-n+2[/TEX]
    d)[TEX]n^5-n+2[/TEX]
    Bài 13: Tìm số nguyên tố p để [TEX]4p+1[/TEX] là số chính phương.
    Bài 14:tìm số nguyên tố p để :
    a)[TEX]2p^2+1[/TEX] là số chính phương.
    b)[tex]4p^2+1and6p^2+1[/tex] đều là số chính phương.
    Bài 15:Tìm số tự nhiên n để giá trị của các biểu thức là số nguyên tố:
    a)[tex]12n^2-5n-25[/tex]
    b)[tex]8n^2+10n+3[/tex]
    c)[tex]\frac{n^2+3n}{4}[/tex]
    Bài 16:CMR với mọi số nguyên n:
    a)[TEX]n^2+7n+22[/TEX] không chia hết cho 9.
    b)[tex]n^2-5n-49[/tex] không chia hết cho 169.
    ------------------------------------------------------------

    p\s: đây là một số bài tập cơ bản giúp các bạn ôn luyện tôt phần toán chia hết!
    chúc các bạn thnahf thục dạng toán này !
    Lần sau mình se post tiếp một số bài tập điển hình khác!;)
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 16 Tháng hai 2011

  9. @Anh Thắng ơy lần sau đừng post nhìu thế, nhìn mà chả mún làm à :(( 3-4 bài thôi :((
    Bài 1. a) [TEX]11^n - 1 \vdots 10[/TEX] (theo tính chất thôi ;)))
    ~> anh sai đề thì phải chia hết cho 10 chứ, thử thì bik :D
    b) [TEX]9.10^n + 18 = 9(10^n+2) [/TEX]
    Do [TEX]10^n + 2 \vdots 12 hay \vdots3[/TEX]
    \Rightarrow đpcm
    c) Chúng minh bằng quy nạp
    còn lại nhác làm :p
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 13 Tháng hai 2011
  10. theblue_1212

    theblue_1212 Guest


    Bài 11:Các số sau có phải là số chính phương ko?
    a)[​IMG](50 chữ số 2) sai de rui ban oj fai la 22...24
    b)[​IMG](100 chữ số 4)
    c)[​IMG]
    d)[​IMG](99 chữ số 4)

    giai a> A chia cho 3 dư 2 nên A ko là số chính phương.
    b> Biến đổi : B = 11...1<100> . Để B là số chinh phương thì 11...1<100> fải là số chính fương. Số 11...1<100> tận cùng bằng 11 nên chia cho 4 dư 3, ko là số chính fương. Do đó B ko là số chính fương.
    c> A chia cho 4 dư 3 nên ko là số chính fương.
    d> B= 4 . 36 11...1 <97>
    Số 36 11...1 <97> chia cho 4 dư 3 nên ko là số chính fương.
    Do đó B ko là số chính fương.




    Bài 13: Tìm số nguyên tố p để [​IMG] là số chính phương.
    giai:
    4p + 1 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 (k nguyên)
    \Rightarrow 4p = 4k(k + 1) \Rightarrow p= k(k + 1)
    Do p là số ngtố nên k= 1. Khi đó p= 2 và 4p + 1= 9 = 3^2
    Bài 14:tìm số nguyên tố p để :
    a)[​IMG] là số chính phương.
    b)[​IMG] đều là số chính phương.
    giai:
    a> Xét p=3k + 1 và p= 3k + 2 đều ko xảy ra. Xét p= 3k, tìm được p=3
    b> Xét p= 5k +- 1 thì 4p^2 + 1 là hợp số
    Xét p= 5k +- 2 thì 6p^2 + 1 là hợp số
    Do đó p=5. Khi đó 4p^2 + 1 = 101; 6p^2 + 1 = 151 đều là số chính phương.
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 13 Tháng hai 2011
  11. trydan

    trydan Guest


    Bài 4: Xét hiệu
    a) [​IMG]
    b) [​IMG]

    Bài 5: [​IMG]

    Bài 6: [​IMG]
    [​IMG]

     
  12. bboy114crew

    bboy114crew Guest


    làm VD 16 cái!
    ta có:[TEX]n^2+7n+22=(n+5)(n+2)+12[/tex]
    giả sử [TEX]n+5 \vdots 3 \Rightarrow n+2 \vdots 3 \Rightarrow(n+5)(n+2) \vdots 9 [/TEX]
    mà [TEX]12\vdots 9[/TEX] nên [TEX]n^2+7n+22[/TEX] không chia hết cho 9.
    tương tự với n+5ko chia hết cho 3
    mình mong từ lời giải này các bạn sẽ rút ra cách giải chung cho dạng bai như bài 16!
    cà hãy tự giải phần còn lai. nhé!
     

  13. Ko ai giả thì ta làm vậy =((
    Bài 1. [TEX]a(a^6-1) = a(a^3-1)(x^3+1) = a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)[/TEX]
    Sau đó xét các số dư cho 7, xét x=7q, x= 7q+1, x = 7q+2,...
    Bài 2. Có người giải ùi
    Bài 3. Ta sẽ chứng minh tổng quát [TEX]5^8^n + 23[/TEX] chia hết cho 24
    Thật vậy [TEX]5^8^n = 5^{8.8^{n-1}} = 25^{4.8^{n-1}}[/TEX]
    Mà [TEX]25 \equiv 1(mod24)[/TEX] nên [TEX]5^8^n \equiv 1 (mod 24)[/TEX]
    \Rightarrow đpcm
    Bài 4. Áp dụng Fecma [TEX]7^{12} \equiv 1(mod 13) \Rightarrow 7^{100} = 7^{12}^8} . 7^4 \equiv 9 ( mod 13)[/TEX]
    Tương tự [TEX]11^{100} = 11^{12}^8 . 11^4 \equiv 3 (mod 13)[/TEX]
    E tự làm đấy ạ, ko bik sai chỗ nào nhỉ =((
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 19 Tháng hai 2011
  14. phananthai4

    phananthai4 Guest


    3)a)Ta có: số chính phương khi chia cho 3 chi dư 0 hoặc 1
    Ta có các trường hợp :
    a^2 chia 3 dư 0 và b^2 chia 3 dư 0
    a^2 chia 3 dư 1 và b^2 chia 3 dư 0
    a^2 chia 3 dư 0 và b^2 chia 3 dư 1
    a^2 chia 3 dư 1 và b^2 chia 3 dư 1
    mà a^2 +b^2 chia hết cho 3 nen chỉ có truong hợp môt thoả mãn
    ta có a^2 chia 3 dư 0 và b^2 chia 3 dư 0<=>a chia 3 dư 0 và b chia 3 dư 0=>dpcm
    b) số chính phương khi chia cho 7 chỉ dư 0,1,2,4(tự xét nha)
    có các truong hop.........
     
  15. k_nei_k

    k_nei_k Guest


    Xét số dư của a và b cho 3, có hơi dài dòng nhưng chỉ nghĩ được thế thôi :(
     

  16. bài 1. Chứng minh [TEX]a) \ 2^{5n+3} + 5^n.3^{n+2} \ \vdots \ 17[/TEX]
    [TEX]b) \ 2^{n+5}.3^{4n} + 5^{3n+1} \ \vdots \ 37[/TEX]
    Bài 2. Chứng minh tổng [TEX]2^0+2^1+2^2+...+2^{5n-2}+2^{5n-1} [/TEX] chia hết cho 31
    Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên x,y,x sao cho [TEX]x^2+y^2+z^2=2xyz[/TEX]
     
  17. bachoc9x

    bachoc9x Guest


    Ta có
    [TEX]a) A=2^{5n+3} + 5^n.3^{n+2} [/tex]
    [tex] = 32^n . 8+ 15^n . 9 [/tex]
    [tex] = 32^n.8-15^n.8+15^n.8 +15^n.9[/tex]
    [tex] = 8(32^n-15^n) + 15^n.17 [/tex]
    Lại có[tex] 32^n-15^n [/tex] chia hết 32-15=17
    \Rightarrow A chia hết cho 17

    [TEX]a) A=2^{n+5}.3^{4n} + 5^{3n+1} [/tex]
    [tex] = 162^n . 32+ 125^n . 5 [/tex]
    [tex] = 162^n.32-125^n.32+125^n.32 +125^n.5[/tex]
    [tex] = 32(162^n-125^n) + 125^n.37[/tex]
    Lại có [tex] 162^n-125^n[/tex] chia hết 162-125=31
    \Rightarrow A chia hết cho 31
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 4 Tháng ba 2011
  18. ngovietthang

    ngovietthang Guest


    [TEX]A=2^0+2^1+2^2+...+2^{5n-2}+2^{5n-1}=(2-1)(2^0+2^1+2^2+...+2^{5n-2}+2^{5n-1})[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow A=2^{5n}-1[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow A=32^n-1[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow A=(32-1)B[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow A=31B[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow 2^0+2^1+2^2+...+2^{5n-2}+2^{5n-1} \vdots 31 [/TEX]
     

  19. Còn bài 3 ko ai giải à :(
    Cho tiếp mí bài tập :p
    1. Chứng minh số gồm [TEX]3^n[/TEX] chữ số giống nhau thì chia hết cho [TEX]3^n[/TEX] với n nguyên dương
    2. Chứng minh [TEX]2^4^{2n+1} + 5 \ \vdots \ 21[/TEX]
     
  20. bboy114crew

    bboy114crew Guest


    Anh chỉ gợi ý cách giải thui đó là phương pháp xuống thang
    1)để các em lớp 8 giải !
    còn phần 2 thì cho anh được thể hiện chút!:p
    ta có:[TEX]2^4^{2n+1} -16+ 21[/TEX]
    [TEX]2^4^{2n+1} -16 = 16(16^{4n-1}-1) \vdots 16^3-1 \vdots 21 \Rightarrow dpcm[/TEX]