[Chuyên-đề]Ôn Thi học sinh giỏi 12 Tỉnh

[lantrinh93]

2)CMR
pt

có 3 nghiệm phân biệt

và

phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi
[TEX] 4.p^3 + 27q^2 <0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4.(-27) +27 <0 [/TEX] ...>
pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt

còn cái kia để suy nghĩ tiếp )

 

[hauduc93]

mọi người làm giúp mình câu này.làm mãi ko ra nổi:
Cho a,b,c>0 và abc=1.CMR [tex]\sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^4+a^4}{1+ca}}\geq3[/tex]

 

[lagrange]

2)CMR
pt có 3 nghiệm phân biệt và


phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi
[TEX] 4.p^3 + 27q^2 <0[/TEX]
[TEX]4.(-27) +27 <0 [/TEX] ...>
pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt

còn cái kia để suy nghĩ tiếp

Nếu như cách trên phải dùng đến công thức nghiệm tổng quát của cardano và việc chứng minh biểu thức còn lại gặp rất nhiều khó khăn thì mình xin trình bày cách giải bày này:
xét [tex]f(x)=x^3-3x+1[/tex]
[tex]f'(-2)=-1<0;f(-1)=3>0;f(1)=-1<0;f(2)=3>0[/tex]
=> pt có ít nhất 3 nghiệm [tex](-2;-1);(-1;1);(1;2)[/tex]
nhưng đây là 1 pt bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm [tex]x_{1}<x_{2}<x_{3}[/tex]
ta nhận thấy thêm rằng các nghiệm của pt đều thuộc khoảng [tex](-2;2)[/tex]
nên ta lương giác hóa [tex]x=2cost[/tex]
[tex]pt<=>8cos^3t-6cost+1=0<=>4cos^3t-3cost=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]<=>cos3t=\frac{-1}{2}[/tex]
các bạn phải hiểu rằng 3 nghiệm này thuộc khoảng (a;b)
nên ta chỉ có thể nhận nghiệm từ pt lg giác trong khoảng này
[tex]t_{1}=\frac{8pi}{9};t_{2}=\frac{4pi}{9};[/tex][tex]t_{3}=\frac{2pi}{9}[/tex]
[tex]x_{2}=2cos{\frac{4pi}{9}};x_{3}=2cos{\frac{2pi}{9}}[/tex]
các bạn lấy [tex]x_{2}+2[/tex] ta được (dpcm)

 

[duynhan1]

mọi người làm giúp mình câu này.làm mãi ko ra nổi:
Cho a,b,c>0 và abc=1.CMR [tex]\sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^4+a^4}{1+ca}}\geq3[/tex]

[TEX](gt) \Rightarrow ab + bc +ca \ge 3[/TEX]

[TEX]VT = \sum \frac{2 \sqrt{2(a^4+b^4)}}{2\sqrt{2}.\sqrt{1+ab}} \ge \sum \frac{2(a^2+b^2)}{3+ab}\\ \ge 2( \frac{4(a+b+c)^2}{2\sum ab + 18})\\ \ge \frac{24 \sum ab }{2\sum ab + 18} \ge 3 [/TEX]( cái cuối chứng minh tương đương)

hờ chẳng bik sao lại làm lằng nhằng thế nữa :|

 

[bigbang195]

a,b,c dương. chứng minh rằng:

 

[duynhan1]

a,b,c dương. chứng minh rằng:

Cauchy :

[TEX]VT \le \frac12 \sum (\frac{a}{a+c} + \frac{b}{b+c} ) = \frac12 \sum ( \frac{a}{a+c} + \frac{c}{c+a} ) = \frac32[/TEX]

 

[lantrinh93]

cho
[TEX]5a+4b+6c=0[/TEX]
chứng minh rằng phương trình [TEX]a x^2+b x+c =0[/TEX] (1) có nghiệm

 

[duynhan1]

cho
[TEX]5a+4b+6c=0[/TEX]
chứng minh rằng phương trình [TEX]a x^2+b x+c =0[/TEX] (1) có nghiệm

TH1: [TEX]a= 0 \Rightarrow 4b+ 6c = 0 \Leftrightarrow b = -\frac32 c [/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow bx + c = 0 \Leftrightarrow c( 1 - \frac32 x ) = 0 [/TEX] ---> Luon co nghiem.

TH2: [TEX]a\not= 0 [/TEX]
[TEX]\Delta = b^2 - 4ac [/TEX]

[TEX]16 \Delta = ( 5a + 6c)^2 - 64 ac = 25a^2 + 36c^2 -4ac = (a-2c)^2 + 24a^2 + 32 c^2 \ge 0 [/TEX]

 

[ngomaithuy93]

2)cho tam giác ABC

CMR

[TEX]dpcm \Leftrightarrow (cosC-1)(cosC+1)(8cosC-5) \geq 0[/TEX]
Lập bảng xét dấu VT của bđt trên.
DO [TEX]0 \leq A \leq B \leq C <90^0[/TEX] nên [TEX]0 \leq cosC \leq\frac{1}{2}[/TEX]
Ứng với [TEX][0;\frac{1}{2}][/TEX] VT \geq0 nên bđt đã cho đc c/m.
Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow cosC=\frac{5}{8}[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

Cho đ/t 25x-15y+12=0.
Cmr: không có điểm nguyên nào có khoảng cách [TEX]d \leq \frac{1}{30}[/TEX] đối với đ/t.

 

[lantrinh93]

[TEX]dpcm \Leftrightarrow (cosC-1)(cosC+1)(8cosC-5) \geq 0[/TEX]
Lập bảng xét dấu VT của bđt trên.
DO [TEX]0 \leq A \leq B \leq C <90^0[/TEX] nên [TEX]0 \leq cosC \leq\frac{1}{2}[/TEX]
Ứng với [TEX][0;\frac{1}{2}][/TEX] VT \geq0 nên bđt đã cho đc c/m.
Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow cosC=\frac{5}{8}[/TEX]

)
cái cos C = 5/8 là là sai rồi
muốn biết thế nào ,cậu xem lại bài giải đề thi đại học khối A năm 2000 ha ,tớ nhớ hình như bài này nó thuộc cái đề đó ) >-

 

[lantrinh93]

[TEX]\Delta = b^2 - 4ac [/TEX]

[TEX]16 \Delta = ( 5a + 6c)^2 - 64 ac = 25a^2 + 36c^2 -4ac = (a-2c)^2 + 24a^2 + 32 c^2 \ge 0 [/TEX]

đáp án đây này ,cậu tham khảo luôn ha
) dài

nếu a =0 thì (1) \Leftrightarrow bx+c =0
\Leftrightarrowbx- 2/3b=0
(vì 4b+6c=0 \Leftrightarrow c= -2/3 b)
\Leftrightarrowx= 2/3 là nghiệm của pt (1)

nếu a khác 0 thì 5a+4b+6c =0
\Leftrightarrow(4a+2b +c) + (a+2b+4c)+c=0
\Leftrightarrow[TEX] f(2) +1/4 f(1/2) +f(0)= 0[/TEX]=((=((=(( tớ khong hiểu cái chổ này ,bạn nào hiểu chỉ lại giúp tớ ha.%%-@};-
\Leftrightarrowaf(2) + 1/4 af(1/2) +af(0) =0
\Rightarrow af(2) <=0 & af(1/2 ) <=0 & af(0) <= 0

\Rightarrow(1) có nghiệm

tiếp tục 1 bài về phương trình hàm :

tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn

f(f(x)) = 3f(x) -2x với mọi x thuộc R

 

[duynhan1]

Cho đ/t 25x-15y+12=0.
Cmr: không có điểm nguyên nào có khoảng cách [TEX]d \leq \frac{1}{30}[/TEX] đối với đ/t.

[TEX]\huge M(a;b) \forall a,b \in Z [/TEX]

[TEX]\huge d_{(M;d)} = \frac{|25a-15b+12|}{\sqrt{25^2+15^2}}[/TEX]

[TEX]\huge k = 5a - 3b \Rightarrow k \in Z [/TEX]

[TEX]\huge d_{(M;d)} = \frac{|5k+12|}{5\sqrt{34}} > \frac{2}{30} = \frac{1}{15} > \frac{1}{30} [/TEX]

 

[lagrange]

giải pt
[tex]4x^2+2=3\sqrt[3]{4x^3+x}[/tex]............................

 

[lagrange]

giải hệ [tex]\left\begin\{2y(x^2-y^2)=3x\\{x(x^2+y^2)=10y}[/tex]

 

[duynhan1]

giải hệ [tex]\left\begin\{2y(x^2-y^2)=3x\\{x(x^2+y^2)=10y}[/tex]

[TEX]\Rightarrow 20y^2(x^2 - y^2 ) = 3x^2 (x^2 + y^2) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3x^4 - 17 x^2 y^2 + 20y^4= 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x^2 = 4y^2 \\ 3x^2 = 5y^2[/TEX]

TH1: [TEX]x^2 = 4y^2 [/TEX]

[TEX](hpt) \Leftrightarrow \left{ 2y^3 = x \\ xy^2 = 2y [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ x = 2y^3 \\ y^5 = y [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ x = 2 y^3 \\ \left[ y = 0 \\ y = \pm 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x;y) \in [ (0;0) ; (2;1) ; (-2;-1) ] [/TEX]


TH2: [TEX]3x^2 = 5y^2 [/TEX]
[tex]\left\begin\{4y^3=9x\\{8xy^2=30y}[/tex]

....

 

[toi_yeu_viet_nam]

cho
[TEX]5a+4b+6c=0[/TEX]
chứng minh rằng phương trình [TEX]a x^2+b x+c =0[/TEX] (1) có nghiệm

bai` nay`
[TEX]f(0)=c,f(\frac{5}{4})=\frac{25}{16}a=\frac{5}{4}.b+c=\frac{25a+20b+16c}{16}=\frac{5(5a+4b+6c)-14c)}{16}-\frac{14c}{16}=-\frac{14c}{16}[/TEX]
==>[TEX]f(0).f(\frac{5}{4})\leq 0[/TEX]

 

[lantrinh93]

Chả ai có nghiên cứu về phương trình hàm sao ta :

thêm nửa này ,mấy bài trên tớ biết làm
còn mấy cái này thì giải không ra
(bạn lập pic thông cảm cho tớ ha,vì sai quy luật rồi )

bài 1 : Tìm tất cả các hàm số f: R..> R thỏa mản điều kiện
[TEX]f(x+y) +f(x-y)-2f(x)f(1+y) =2xy(3y-x^2)[/TEX]
với mọi x,y thuộc R

Bài 2:
tìm hàm số f sao cho

[TEX]f(f(n))+ (f(n))^2 = n^2 +3n+3[/TEX] với mọi n

Bài 3 : cũng yêu cầu đó luôn:

[TEX]3f(\frac{x-1}{3x+2})-5f(\frac{1-x}{x-2})=\frac{8}{x-1}[/TEX]

với mọi x khác 0,[TEX]\frac{2}{3},1,2[/TEX]
bài 4
Tìm tất cả các đa thức P(X)

[TEX]P(x+y) = P(x)+P(y) +3xy(x+y)[/TEX]

 

[hieudieucay]

[TEX]dpcm \Leftrightarrow (cosC-1)(cosC+1)(8cosC-5) \geq 0[/TEX]
Lập bảng xét dấu VT của bđt trên.
DO [TEX]0 \leq A \leq B \leq C <90^0[/TEX] nên [TEX]0 \leq cosC \leq\frac{1}{2}[/TEX]
Ứng với [TEX][0;\frac{1}{2}][/TEX] VT \geq0 nên bđt đã cho đc c/m.
Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow cosC=\frac{5}{8}[/TEX]

bài này thì làm như sau

đặt

biến đổi bđt thức

xét hàm số f(t) là xong
dấu bằng xảy ra khi cos t=1/2

 

[lagrange]

[tex]x \le 0 [/tex] pt vô nghiệm
xét [tex]x>0[/tex]
áp dụng co-si:
[tex]3\sqrt[3]{2(4x)(4x^2+1)} \le 4x^2+4x+3[/tex]
[tex]=>3\sqrt[3]{4x^3+x} \le 2x^2+2x+\frac{3}{2} \le 2x^2+2x+\frac{3}{2}+2(x-\frac{1}{2})^2 = 4x^2+2[/tex]
đẳng thức xay ra khi [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]