Toán 11 Chứng minh Un dãy số.....

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
tramnotchamDễ thấy [imath]u_n>0[/imath] với mọi [imath]n[/imath].
Xét [imath]u_{n+1}-u_n = \dfrac{3u_n}{u_n^2+1}[/imath]
Theo BDT AM-GM ta có: [imath]u_n^2+1\geq 2u_n>0\Rightarrow u_{n+1}-u_n \leq \dfrac{3}{2}[/imath] với mọi [imath]n[/imath]
[imath]\Rightarrow u_{n} \leq u_{n-1} + \dfrac{3}{2}[/imath] với mọi [imath]n[/imath]
Suy ra [imath]u_n \leq u_{n-1}+\dfrac{3}{2} \leq u_{n-2} + \dfrac{3}{2}.2 \leq\cdots\leq u_1 + \dfrac{3}{2} (n-1)[/imath]
Dấu bằng xảy ra khi [imath]u_1=u_2=\cdots=u_{n-1}=1[/imath] (điều này là vô lý).
Vậy ta có điều phải chứng mi.nh
 
  • Like
Reactions: tramnotcham
Top Bottom