Chào mừng bạn đến với HMForum. Vui lòng đăng ký để sử dụng nhiều chức năng hơn!

chứng minh dãy hội tụ

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi baolangxa, 4 Tháng hai 2013.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 3,950

  1. baolangxa

    baolangxa Guest

    Đặt chỗ PEN 2017 - Cập nhật theo mọi thay đổi của kỳ thi THPT QG

    Đăng ký gia nhập BQT DIỄN ĐÀN


    cho dãy U(n)thoả mãn
    u1=1:u2=2
    U(n+1)=Un+U(n-1) với n\geq2
    đãy số Xn xác đỉnh bởi Xn=1/U(k) chứng minh dãy Xn hội tụ
     

  2. Bằng quy nạp ta chứng minh được $u_n\geq \left( \frac{3}{2}\right)^{n-1},\forall n\geq 1. (1)$
    Từ đó suy ra:
    $x_n\leq \sum_{i=0}^{n-1}{\left( \frac{2}{3}\right)^{i} }<3,\forall n.$
    Ta được $(x_n)$ là dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ.

    --
    Chứng minh $(1)$.
    Dễ thấy $(1)$ đúng với $n\leq 2$.
    Giả sử $(1)$ đúng đến $n=k$. Khi đó:
    $u_{k+1}=u_k+u_{k-1}\geq \left( \frac{3}{2}\right)^{k-1}+\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}=\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}\left( \frac{3}{2}+1\right)=\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}.\frac{5}{2}>\left( \frac{3}{2}\right)^k$.
    Do đó $(1)$ đúng với $n=k+1$.
    Theo nguyên lý quy nạp, $(1)$ đúng với mọi $n\geq 1$.