Toán 12 GTNN, GTLN

[cassakun]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

[TEX]\sqrt[]{\frac{ab}{c+ab}} + \sqrt[]{\frac{bc}{a+bc}} + \sqrt[]{\frac{ca}{b+ca}}\leq\frac{3}{2}[/TEX]

2.Cho số nguyên dương n và hai số thực x,y thoả mãn x+y =1
Chứng minh: [TEX]x^n+y^n \geq \frac{1}{2^{n-1}}[/TEX]

 

[noinhobinhyen]

2. Cho số nguyên dương n và hai số thực x,y thoả mãn x+y =1
Chứng minh: $x^2+y^2 \geq \dfrac{1}{2^{n-1}}$

-------------

Ta chứng minh bđt sau : $2(x^n+y^n) \geq x^{n-1}+y^{n-1} (1)$ với $x,y > 0 : x+y=1$

Do $x+y=1$ nên $(1) \Leftrightarrow 2(x^n+y^n) \geq (x^{n-1}+y^{n-1})(x+y)$

$\Leftrightarrow 2x^n+2y^n \geq x^n+y^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}$

$\Leftrightarrow x^n+y^n \geq xy^{n-1}+yx^{n-1}$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^{n-1}-y^{n-1}) \geq 0$

Bđt này luôn đúng $\forall x,y > 0$ do đó bđt (1) được chứng minh.

Áp dụng bđt (1) ta có:

$2^{n-1}.(x^n+y^n) \geq 2^{n-2}(x^{n-1}+y^{n-1}) \geq 2^{n-3}(x^{n-2}+y^{n-2}) \geq ... \geq 2^0(x^1+y^1) = x+y=1$

$\Rightarrow x^n+y^n \geq \dfrac{1}{2^{n-1}}$

 

[eye_smile]

1.Có $c+ab=c(a+b+c)+ab=(c+a)(c+b)$

\Rightarrow $\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{(c+a)(c+b)}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}.\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+c}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{b+c})$

Tương tự với 2 số còn lại \Rightarrow đpcm

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

Áp dụng BDT Holder: $x^n+y^n \ge \dfrac{(x+y)^n}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{2^{n-1}}$