HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy GIA NHẬP ngay

Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c =1. CMR:

Thảo luận trong 'Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất' bắt đầu bởi cassakun, 13 Tháng sáu 2013.

Lượt xem: 2,124

  1. cassakun

    cassakun Guest

    Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới


    1.Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

    [TEX]\sqrt[]{\frac{ab}{c+ab}} + \sqrt[]{\frac{bc}{a+bc}} + \sqrt[]{\frac{ca}{b+ca}}\leq\frac{3}{2}[/TEX]

    2.Cho số nguyên dương n và hai số thực x,y thoả mãn x+y =1
    Chứng minh: [TEX]x^n+y^n \geq \frac{1}{2^{n-1}}[/TEX]
     

  2. 2. Cho số nguyên dương n và hai số thực x,y thoả mãn x+y =1
    Chứng minh: $x^2+y^2 \geq \dfrac{1}{2^{n-1}}$

    -------------

    Ta chứng minh bđt sau : $2(x^n+y^n) \geq x^{n-1}+y^{n-1} (1)$ với $x,y > 0 : x+y=1$

    Do $x+y=1$ nên $(1) \Leftrightarrow 2(x^n+y^n) \geq (x^{n-1}+y^{n-1})(x+y)$

    $\Leftrightarrow 2x^n+2y^n \geq x^n+y^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}$

    $\Leftrightarrow x^n+y^n \geq xy^{n-1}+yx^{n-1}$

    $\Leftrightarrow (x-y)(x^{n-1}-y^{n-1}) \geq 0$

    Bđt này luôn đúng $\forall x,y > 0$ do đó bđt (1) được chứng minh.

    Áp dụng bđt (1) ta có:

    $2^{n-1}.(x^n+y^n) \geq 2^{n-2}(x^{n-1}+y^{n-1}) \geq 2^{n-3}(x^{n-2}+y^{n-2}) \geq ... \geq 2^0(x^1+y^1) = x+y=1$

    $\Rightarrow x^n+y^n \geq \dfrac{1}{2^{n-1}}$

    [​IMG]
     
  3. pek.pin1998

    pek.pin1998 Guest


    Cho a, b ,c thõa mãn a+b+c>0 a*b + b*c + c*a, a*b*c >0 .Chứng Minh Rằng a>0 b>0 c>0
     

  4. mọi người ơi mìn tham gia vs nha ...............................................................................................................................................
     
  5. eye_smile

    eye_smile Guest


    1.Có $c+ab=c(a+b+c)+ab=(c+a)(c+b)$

    \Rightarrow $\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{(c+a)(c+b)}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}.\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+c}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{b+c})$

    Tương tự với 2 số còn lại \Rightarrow đpcm
     

  6. Bài 2:

    Áp dụng BDT Holder: $x^n+y^n \ge \dfrac{(x+y)^n}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{2^{n-1}}$
     

CHIA SẺ TRANG NÀY