- 20 Tháng chín 2013
- 5,014
- 7,479
- 941
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TPHCM
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Mới đây, trong đề thi THPTQG năm 2020-2021 có một bài toán như sau:
Khi thấy bài này trong đề, mình chợt nghĩ: ơ, sao nhìn giống bài pt log trong đề năm ngoái thế nhỉ? Ừm, nhìn kỹ lại thì hai bai chỉ giống nhau ở chỗ là khó nhất đề
Thú thật, tới bây giờ mình vẫn chưa tìm được lời giải cho bài pt log ấy nữa. NHƯNG hôm nay thì khác.
Mình luôn mong muốn tìm được một lời giải nào đó hợp lý cho các bài toán này. Mình tin là người ra đề đã có một quá trình nào đó để cho ra được cái đề như vậy. Bạn có thể coi lời giải của mình là lời giải dựa trên niềm tin vào người ra đề.
Ok, bắt đầu với đề năm nay trước.
Bài toán phương trình mũ năm 2020-2021
Đầu tiên ta thấy số $27$ mũ lên nhìn hơi sợ hãi, nên thôi mình sẽ làm một bước rút gọn đề lại:
Ok, nhìn ổn hơn rồi ấy. Theo bản năng thì mình sẽ tìm cách cô lập phương trình này, và lấy log hai vế ta có:
$$x^2 - 12x = \log_3(3 + xy) - xy - 1$$
Cô lập đến đây là đẹp lắm rồi. Và như bạn thấy, đây là bài toán tương giao giữa hai đồ thị khá căn bản:
Ở đây ta coi $y$ chỉ đóng vai trò là hệ số. Khi đó bạn hãy thử phác đồ thị của $f(x) = x^2 - 12x$ và $g(x) = \log_3 (3 + x) - x - 1$ (xem $y = 1$ trước) thì ta được hình vẽ.
Có thể thấy, đồ thị của $g(xy)$ có thể thu được bằng cách co dãn đồ thị của $g(x)$ theo trục hoành tùy theo hệ số $y$. Nếu $y$ âm thì đồ thị bị lật qua bên kia trục tung (đường đứt màu vàng). Như vậy giao điểm giữa hai đồ thị sẽ phụ thuộc vào hệ số $y$ đấy.
Tới đây mình sẽ đưa ra các điều kiện để hai đồ thị cắt nhau trên $(1, 12)$, trên tinh thần của cái định lý gì mà $f(a) \cdot f(b) < 0$ ấy:
(Lúc mình giải bài này bằng cách đưa về nhìn đồ thị thì mình thấy vui lắm, cơ mà lúc viết lời giải dường như không truyền tải được điều này Mong các bạn thứ lỗi)
Bình luận. Không biết các bạn có thấy lời giải này hợp lý không, nhưng mình thấy hài lòng vì hai thứ:
Và đây...
Bài toán bất phương trình log năm 2019-2020
Đề bài như sau:
Con số $728$ tới hôm nay vẫn còn đáng sợ với mình... Thôi, bắt tay vào giải thử:
Sự thành công của lời giải phía trên kia cũng một phần nhờ vào việc biến pt thành một dạng dễ nhìn hơn. Ở đây, mình sẽ đặt $t = \log_3(x + y)$ để suy ra $y = 3^t - x$
$$bpt \iff x^2 - x \geqslant 4^t - 3^t$$
Đẹp nhỉ? Tới đây, mình thề với bạn là mình đã dành cả buổi trưa để tìm thử xem mình có dùng đồ thị được tiếp không, nhưng mà kết quả hơi no hope cho lắm. Thế là, mình mới xem lại thử: cái pt này có gì quen không?
Không biết bạn có để ý không, nhưng các bài toán này gợi cho mình dạng bài "đoán nghiệm":
Nhưng có các dạng bài pt mũ: $3^x + 4^x = 5^x$ được giải bằng một phương pháp rất là ấn tượng: chia hai vế cho $5^x$ rồi xét đồng biến nghịch biến. A ha!
Chia hai vế bpt cho $4^t$ ta được:
$$bpt \iff \left( \dfrac{1}{4} \right)^t (x^2 - x) + \left(\dfrac{1}{3}\right)^t \geqslant 1$$
Tới đây, do $x$ nguyên nên $x^2 - x$ đã "tình cờ" không âm. Vậy nên ta thấy vế trái là hàm nghịch biến rồi.
Như vậy đến bước đoán nghiệm: Umm, ở đây ta không đoán cụ thể được. Nhưng với mỗi giá trị $x$ sẽ cho ra một giá trị $t_0$ là nghiệm mà ta có thể đoán. Bpt có nghiệm $t \leqslant t_0$.
Nhưng mà ta vẫn chưa đụng tới con số $728$ của đề! Như bạn thấy, con số $728$ thực sự nhìn quen quen, chả phải nó là lũy thừa của $3$ hay sao? Như vậy, ta hy vọng có thể làm được gì đó với con số này:
Do $y = 3^t - x$, với mỗi $x$ sẽ tương ứng với một $t_0$, và sẽ tương ứng vô số $t \leqslant t_0$. Nói cách khác, với mỗi $x$, ta có điều kiện:
$$-x < y = 3^t - x \leqslant 3^{t_0} - x$$
Nhưng nếu bạn thử đếm thử các giá trị nằm giữa dùng công thức (trên - dưới + 1) thì nó sẽ bị lệch, không ra đúng $729$ để ra đẹp. Mình muốn nó đẹp hơn cơ...
Giả sử $a$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $3^{t_0}$. Khi đó
$$-x < y < a - x$$
hay ta có thể ghi là $-x + 1 \leqslant y \leqslant a - x - 1$.
Khi đó, có $a - 1$ giá trị $y$ thỏa đề! Và ta cần $a - 1 \leqslant 728$ hay $t_0 < 6$.
Điều này có nghĩa: Ta cần tìm $x$ để giá trị lớn nhất mà $t$ đạt được là nhỏ hơn $6$.
Khi đó, ycbt $\iff x^2 - x + 3^6 - 4^6 < 0$, suy ra $-57 \leqslant x \leqslant 58$ do $x$ nguyên.
Vậy có $116$ giá trị của $x$ thỏa đề.
Lời kết
Mình viết bài này khá là vội, một phần là sợ quên cảm giác vui sướng khi giải quyết xong mối thù ngày xưa, một phần là muốn nhấn mạnh độ sơ sài của các lời giải trong bài này. Các lời giải này không chặt chẽ cho lắm, nhưng mục đích chính của mình là tìm một góc nhìn mới, đồng cảm nhiều hơn với người ra đề để cho ra một lời giải tự nhiên nhất.
Đây là bài toán duy nhất khiến mình "cay cú" suốt một năm qua, do mình không rõ tại sao trong đề lại có một câu hỏi như vậy. Nhưng mình hy vọng là hết hôm nay mình đã có thể ngủ ngon rồi
Nếu bạn muốn thử giải bằng những cách tựa tựa như này, mình tin là bạn chỉ có thể làm như thế với đề Bộ thôi. Đề trên mạng chế như thế nào thì mình cũng không rõ lắm. Nhưng mình có một niềm tin vào đề Bộ!
Bài viết hơi dài, cảm ơn các bạn đã đọc tới đây! Chúc các bạn có một ngày mới vui vẻ
Khi thấy bài này trong đề, mình chợt nghĩ: ơ, sao nhìn giống bài pt log trong đề năm ngoái thế nhỉ? Ừm, nhìn kỹ lại thì hai bai chỉ giống nhau ở chỗ là khó nhất đề
Thú thật, tới bây giờ mình vẫn chưa tìm được lời giải cho bài pt log ấy nữa. NHƯNG hôm nay thì khác.Mình luôn mong muốn tìm được một lời giải nào đó hợp lý cho các bài toán này. Mình tin là người ra đề đã có một quá trình nào đó để cho ra được cái đề như vậy. Bạn có thể coi lời giải của mình là lời giải dựa trên niềm tin vào người ra đề.
Ok, bắt đầu với đề năm nay trước.
Bài toán phương trình mũ năm 2020-2021
Đầu tiên ta thấy số $27$ mũ lên nhìn hơi sợ hãi, nên thôi mình sẽ làm một bước rút gọn đề lại:
Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho tồn tại $x \in \left(1; 12 \right)$ thỏa mãn
$$3 \cdot 3^{x^2 + xy} = (3 + xy) 3^{12x}$$
4 đáp án: $15$, $14$, $12$ và $27$
$$3 \cdot 3^{x^2 + xy} = (3 + xy) 3^{12x}$$
4 đáp án: $15$, $14$, $12$ và $27$
Ok, nhìn ổn hơn rồi ấy. Theo bản năng thì mình sẽ tìm cách cô lập phương trình này, và lấy log hai vế ta có:
$$x^2 - 12x = \log_3(3 + xy) - xy - 1$$
Cô lập đến đây là đẹp lắm rồi. Và như bạn thấy, đây là bài toán tương giao giữa hai đồ thị khá căn bản:
Ở đây ta coi $y$ chỉ đóng vai trò là hệ số. Khi đó bạn hãy thử phác đồ thị của $f(x) = x^2 - 12x$ và $g(x) = \log_3 (3 + x) - x - 1$ (xem $y = 1$ trước) thì ta được hình vẽ.
Có thể thấy, đồ thị của $g(xy)$ có thể thu được bằng cách co dãn đồ thị của $g(x)$ theo trục hoành tùy theo hệ số $y$. Nếu $y$ âm thì đồ thị bị lật qua bên kia trục tung (đường đứt màu vàng). Như vậy giao điểm giữa hai đồ thị sẽ phụ thuộc vào hệ số $y$ đấy.
Tới đây mình sẽ đưa ra các điều kiện để hai đồ thị cắt nhau trên $(1, 12)$, trên tinh thần của cái định lý gì mà $f(a) \cdot f(b) < 0$ ấy:
- Khi $y$ âm thì do điều kiện của log, ta chỉ cần khi $x = 1$: $g(y) > f(1)$ là ổn. Giải bpt ta được $-2 \leqslant y < 0$ (nói vậy thôi chứ mình thử từng số đấy haha)
- Khi $y = 0$ thì pt có hai nghiệm $x = 0$ và $x = 12$ không thỏa đk.
- Khi $y$ dương thì ngoài điều kiện $g(y) > f(1)$ ta cần thêm điều kiện ở $x = 12$: $g(12y) < f(12)$. Giải pt ta được $0 < y \leqslant 12$
(Lúc mình giải bài này bằng cách đưa về nhìn đồ thị thì mình thấy vui lắm, cơ mà lúc viết lời giải dường như không truyền tải được điều này
Mong các bạn thứ lỗi)Bình luận. Không biết các bạn có thấy lời giải này hợp lý không, nhưng mình thấy hài lòng vì hai thứ:
- Mình đã giải được bài toán bằng cách trực quan, tương giao hai đồ thị.
- Mình đã giải được cái bài toán làm khổ mình trong một năm qua! Khoan, đây không phải là nó. Đây chỉ là bài toán giống nó ở năm nay thôi.
Và đây...
Bài toán bất phương trình log năm 2019-2020
Đề bài như sau:
Con số $728$ tới hôm nay vẫn còn đáng sợ với mình... Thôi, bắt tay vào giải thử:
Sự thành công của lời giải phía trên kia cũng một phần nhờ vào việc biến pt thành một dạng dễ nhìn hơn. Ở đây, mình sẽ đặt $t = \log_3(x + y)$ để suy ra $y = 3^t - x$
$$bpt \iff x^2 - x \geqslant 4^t - 3^t$$
Đẹp nhỉ? Tới đây, mình thề với bạn là mình đã dành cả buổi trưa để tìm thử xem mình có dùng đồ thị được tiếp không, nhưng mà kết quả hơi no hope cho lắm. Thế là, mình mới xem lại thử: cái pt này có gì quen không?
Không biết bạn có để ý không, nhưng các bài toán này gợi cho mình dạng bài "đoán nghiệm":
- Chứng minh hàm có tối đa $1, 2$ nghiệm bằng bảng biến thiên.
- Mò ra các nghiệm này rồi kết luận.
Nhưng có các dạng bài pt mũ: $3^x + 4^x = 5^x$ được giải bằng một phương pháp rất là ấn tượng: chia hai vế cho $5^x$ rồi xét đồng biến nghịch biến. A ha!
Chia hai vế bpt cho $4^t$ ta được:
$$bpt \iff \left( \dfrac{1}{4} \right)^t (x^2 - x) + \left(\dfrac{1}{3}\right)^t \geqslant 1$$
Tới đây, do $x$ nguyên nên $x^2 - x$ đã "tình cờ" không âm. Vậy nên ta thấy vế trái là hàm nghịch biến rồi.
Như vậy đến bước đoán nghiệm: Umm, ở đây ta không đoán cụ thể được. Nhưng với mỗi giá trị $x$ sẽ cho ra một giá trị $t_0$ là nghiệm mà ta có thể đoán. Bpt có nghiệm $t \leqslant t_0$.
Nhưng mà ta vẫn chưa đụng tới con số $728$ của đề! Như bạn thấy, con số $728$ thực sự nhìn quen quen, chả phải nó là lũy thừa của $3$ hay sao? Như vậy, ta hy vọng có thể làm được gì đó với con số này:
Do $y = 3^t - x$, với mỗi $x$ sẽ tương ứng với một $t_0$, và sẽ tương ứng vô số $t \leqslant t_0$. Nói cách khác, với mỗi $x$, ta có điều kiện:
$$-x < y = 3^t - x \leqslant 3^{t_0} - x$$
Nhưng nếu bạn thử đếm thử các giá trị nằm giữa dùng công thức (trên - dưới + 1) thì nó sẽ bị lệch, không ra đúng $729$ để ra đẹp. Mình muốn nó đẹp hơn cơ...
Giả sử $a$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $3^{t_0}$. Khi đó
$$-x < y < a - x$$
hay ta có thể ghi là $-x + 1 \leqslant y \leqslant a - x - 1$.
Khi đó, có $a - 1$ giá trị $y$ thỏa đề! Và ta cần $a - 1 \leqslant 728$ hay $t_0 < 6$.
Điều này có nghĩa: Ta cần tìm $x$ để giá trị lớn nhất mà $t$ đạt được là nhỏ hơn $6$.
Khi đó, ycbt $\iff x^2 - x + 3^6 - 4^6 < 0$, suy ra $-57 \leqslant x \leqslant 58$ do $x$ nguyên.
Vậy có $116$ giá trị của $x$ thỏa đề.
Lời kết
Mình viết bài này khá là vội, một phần là sợ quên cảm giác vui sướng khi giải quyết xong mối thù ngày xưa, một phần là muốn nhấn mạnh độ sơ sài của các lời giải trong bài này. Các lời giải này không chặt chẽ cho lắm, nhưng mục đích chính của mình là tìm một góc nhìn mới, đồng cảm nhiều hơn với người ra đề để cho ra một lời giải tự nhiên nhất.
Đây là bài toán duy nhất khiến mình "cay cú" suốt một năm qua, do mình không rõ tại sao trong đề lại có một câu hỏi như vậy. Nhưng mình hy vọng là hết hôm nay mình đã có thể ngủ ngon rồi
Nếu bạn muốn thử giải bằng những cách tựa tựa như này, mình tin là bạn chỉ có thể làm như thế với đề Bộ thôi. Đề trên mạng chế như thế nào thì mình cũng không rõ lắm. Nhưng mình có một niềm tin vào đề Bộ!
Bài viết hơi dài, cảm ơn các bạn đã đọc tới đây! Chúc các bạn có một ngày mới vui vẻ
