Chào mừng bạn đến với HMForum. Vui lòng đăng ký để sử dụng nhiều chức năng hơn!

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi khanh3294, 21 Tháng chín 2008.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 7,442

  1. khanh3294

    khanh3294 Guest

    Đặt chỗ PEN 2017 - Cập nhật theo mọi thay đổi của kỳ thi THPT QG

    Đăng ký gia nhập BQT DIỄN ĐÀN


    Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa
    - Lập hiệu A-B
    - Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B[tex] \geq[/tex]0
    - Kết luận A[tex] \geq[/tex]B
    - Xét trường hợp A=B khi nào

    VD: CMR:
    [tex] \frac{b}{a}+ \frac{a}{b}\geq2 [/tex] với mọi a, b cùng dấu.

    CM: Ta có:
    [tex] \frac{b}{a}+ \frac{a}{b} -2 = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab}= \frac{(a-b)^2}{ab}[/tex]
    a, b cùng dấu => ab>o => [tex] \frac{(a-b)^2}{ab}\geq0[/tex]
    Vậy [tex] \frac{b}{a}+ \frac{b}{a}\geq2 [/tex]
    Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b ./.

    Bài tập tương tự : CMR:
    [tex] \frac{1}{1+a^2}+ \frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab} [/tex]
    với ab>1


    Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp
    - Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
    [tex] A=A1=A2= ... = B+M^2[/tex]
    vì [tex] M^2 \geq0[/tex] nên [tex] B+M^2\geq B[/tex]
    =>[tex] a\geq B[/tex]
    Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0


    VD: CMR: [tex] x^2-4x+3\geq-1[/tex]
    với mọi x
    CM:
    Ta có: [tex] x^2-4x+3 = -1+(x-2)^2 \geq-1[/tex]

    => [tex] x^2-4x+3\geq-1[/tex]
    Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2

    Bài tập tương tự:CMR:
    [tex] \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+... +\frac{1}{99.100} <1[/tex]

    Phương pháp 3: Phương pháp so sánh
    - Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra đpcm.
    [tex]A=A_1=A_2=...=A_n[/tex]
    [tex]B=B_1=B_2= ...= B_n[/tex]

    Nếu[tex] A_n\geq B_nthi A\geq B[/tex]


    VD: CMR: [tex] 200^{300}>300^{200}[/tex]
    CM: [tex]200^{300}= (200^3)^{100}= 8000000^{100}[/tex]
    [tex]300^{200}= (300^2)^{100}= 90000^{100}[/tex]
    =>[tex] 200^{300}>300^{200}[/tex]

    Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số
    Cho 3 số dương a,b,c :
    Nếu [tex]\frac{a}{b}<1[/tex] thì [tex]\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}[/tex]
    Nếu[tex] \frac{a}{b}>1 [/tex]thì [tex]\frac{a}{b}>\frac{(a+c)}{(b+c)}[/tex]
    Nếu b,d>o thì từ [tex] \frac{a}{b}<\frac{c}{d}=>\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+d)}<\frac{c}{d}[/tex]


    VD: a,b,c là 3 số dương. CMR:
    [tex]1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{a+c}<2[/tex]
    CM:
    Do c>o =>[tex]\frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}[/tex] (3)
    Tương tự ta có : [tex]\frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{c+b}<\frac{a+b}{a+b+c}[/tex] (4)
    và: [tex]\frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}[/tex] (5)
    cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:
    [tex]1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{a+c}<2[/tex] (đpcm)

    Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:[tex]\frac{a_1}{b_1}\leq\frac{a_2}{b_2}\leq\frac{a_3}{b_3}[/tex]
    CMR: [tex]\frac{a_1}{b_1}\leq\frac{a_1+a_2+a_3}{b_1+b_2+b_3}\leq\frac{a_3}{b_3}[/tex]

    Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương
    Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng.
    Chú ý các BĐT sau:
    - Bình phương của tổng, hiệu
    - Lập phương của tổng, hiệu
    -[tex](a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca[/tex]
    [tex](a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2dc[/tex]
    [tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/tex]


    VD: Cho a,b là các số thực. CMR:
    [tex]a^2+b^2+1\geq ab+a+b[/tex]
    CM:
    Ta có: [tex]a^2+b^2+1\geq ab+a+b[/tex]
    <=>[tex](a^2+b^2+1)-2(ab+a+b)\geq0[/tex]
    <=>[tex](a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)\geq0[/tex]
    <=>[tex](a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\geq0[/tex] (luôn đúng)
    =>đpcm

    Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực. CMR:
    [tex]\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})[/tex]

    Phương pháp 6: Phương pháp làm trội

    Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
    - Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
    [tex] S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n[/tex]
    là biểu diễn số hạng tổng quát [tex] u_k[/tex] về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau : [tex] u_k=a_k-a_{k+1}[/tex]
    Lúc đó : [tex] S_n=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+...+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}[/tex]

    -Phương pháp chung để tính tích hữu hạn [tex]P_n=u_1u_2.....u_n[/tex] là biểu diễn số hạng tổng quát [tex] u_k[/tex] về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau [tex]u_k=\frac{a_k}{a_k+1}[/tex]
    Lúc đó [tex]P_n=\frac{a_1a_2}{a_2a_3}....\frac{a_{n-1}a_n}{a_na_{n+1}}=\frac{a_1}{a_{n+1}}[/tex]



    VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
    a,
    [tex]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}\<2-\frac{1}{n}[/tex](k>1)

    b,
    [tex]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}\<5/3[/tex]

    CM:
    a.
    Với k>1 ta có
    [tex]\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k.(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\[/tex]
    Lần lượt thay k=2,3,..,n rồi cộng lại có:
    [tex]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n}[/tex] => đpcm
    b.
    Với mọi k>1 ta có:
    [tex]\frac{1}{k^2}=\frac{4}{4k^2}<\frac{4}{4k^2-1}=\frac{4}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{2[(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=2(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})[/tex]
    Vậy :
    [tex]\frac{1}{k^2}<2(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})[/tex]
    Lần lượt thay k=2,3,...,n vào rồi cộng lại ta được:
    [tex]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<1+2(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+1})<1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}[/tex]

    Bài tập tương tự
    CMBĐT: :[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2[/tex]

    Phương pháp 7:phương pháp lượng giác

    Sử dụng điều kiện của biến[tex]|x|\leq k=>k>0[/tex]
    Đặt x=ksina với [tex] \frac{-\pi}{2}\leq a\leq\frac{\pi}{2}[/tex] hoặc x=kcosa với [tex]0\leq a\leq \pi[/tex]




    VD: [tex]|a\sqrt{9-a^2}+4a|\leq15[/tex]
    CM: Điều kiện:
    [tex]|a|\leq3[/tex].
    Đặt [tex]a=3sin\alpha, \frac{-\pi}{2}\leq \alpha\leq\frac{\pi}{2}[/tex]
    Khi đó:[tex]|a\sqrt{9-a^2}+4a|=|3.3cos\alpha+4.3sin\alpha|[/tex]
    [tex]=3|3cos\alpha+4sin\alpha=15|\frac{3}{5}cos\alpha+\frac{4}{5}sin\alpha|=15|cos\alpha-\beta|\leq15[/tex]
    với [tex]cos\beta=\frac{3}{5}, sin\alpha=\frac{4}{5}[/tex]

    Bài tập tương tự:
    CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT:
    [tex](1-x)^n=(1+x)^n<2^n[/tex]


    Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác

    Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c
    |a-c|<b<a+c
    |a-b|<c<a+b


    VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR:
    [tex]a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/tex]
    CM:
    a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có :
    [tex]0<a<b+c=>a^2<a(b+c)[/tex]
    [tex]0<b<a+c=>b^2<b(a+c)[/tex]
    [tex]0<c<b+a=>c^2<c(b+a)[/tex]
    Cộng vế với vế của BĐT trên ta được
    [tex]a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/tex] (đpcm)

    Bài tập tương tự:
    Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác. CMR:
    [tex]a,abc\geq(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)[/tex]
    [tex]b,a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)<0[/tex]
    với a<b<c


    Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp

    Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau :
    + Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)
    + Giả sử BĐT T(k) đúng
    + Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng
    Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n


    VD: CMR với n>2 ta có : [tex] 2^n>2n+1[/tex]

    CM:

    Với n=3 ta có [tex] 2^3>2.3+1 <=>8>7[/tex] BĐT đúng
    Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là:
    [tex] 2^k>2k+1[/tex]
    Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM: [tex] 2^{k+1}>2(k+1)+1[/tex]
    Thật vậy, ta có:
    [tex] 2^{k+1}=2.2^k=4k+2>2k+3=2(k+1)+3[/tex]
    Vậy BĐT đúng với mọi n

    Bài tập tương tự:
    [tex] CMR:(2n)!<2^{2n}(n!)^2[/tex]

    Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi

    Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :
    [tex] f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2) }{2} /x1, x2\in (a,b) [/tex]
    Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2
    Khi đó: [tex] f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}) \leq\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) }{n}[/tex] (1)
    với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi [tex] x_1=x_2=...=x_n[/tex]


    VD:
    CMR: Nếu [tex] x,y \in[o,\pi] [/tex]thì [tex]\frac{sinx+siny}{2}\leq sin(\frac{x+y}{2})[/tex]
    CM:
    Ta có: [tex] \frac{sinx+siny}{2}=sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})\leq sin{\frac{x+y}{2}}[/tex]
    Vì [tex] cos{\frac{x-y}{2}}\leq1 [/tex]
    và [tex] sin{\frac{x+y}{2}}\geq0({0\leq\frac{x+y}{2}\leq\pi}) [/tex]
    Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)=[tex]-sinx\leq0[/tex] nên f(x) là hàm lõm trên [tex] [0,\pi] [/tex] và ta có BĐT 1
    Bài tập tương tự:
    Cho A,B,C là ba góc của một tam giác, CMR:
    [tex] sinA+sinB+sinC\leq\frac{3sqrt{3}}{2}[/tex]


    Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm

    Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.
    Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * )
    Biện luận phương trình ( * ) theo y, => [tex] y\in(A,B)[/tex]
    =>đpcm


    VD:[tex] CMR: \frac{1}{3}\leq\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\leq3[/tex] với mọi x
    CM:
    Đặt :[tex] y=\frac{1}{3}\leq\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}[/tex] có miền xác định D=R
    =>[tex] (y-1)x^2-(y+1)x+y-1=0[/tex] có nghiệm

    +, Với y=1=>x=0
    +>Với y khác 1, ta có
    [tex]\Delta\geq0 <=>(y+1)^2-4(y-1)^2\geq0
    <=>\frac{1}{3}\leq y\leq3[/tex] (đpcm)

    Bài tập tương tự:
    CMR: [tex] \frac{2x^2-x+1}{2x^2+x+1}>\frac{1}{3}[/tex] với mọi x

    Phương pháp 13: Dùng đạo hàm
    Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số
    Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)
    + Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b]. Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)
    + Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b]. Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)


    VD: CMR :[tex]e^x>1+x[/tex] với mọi x khác 0
    CM:
    đặt f(x)=[tex]e^x-x-1[/tex]. Khi đó f'(x)=[tex]e^x-1[/tex]
    * Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi [tex]x\geq0[/tex]. Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>[tex]e^x>x+1[/tex]
    * Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0. Dó đó f(x)>f(0)=0 =>[tex]e^x>x+1[/tex]
    Vậy [tex]e^x>1+x [/tex]với mọi x khác 0
    Bài tập tương tự: CMR với[tex] x\in(0,\frac{\pi}{2}) [/tex]thì [tex]2^{sinx}+2^{tanx}\geq2^x+1[/tex]

     
  2. hot_spring

    hot_spring Guest


    Lớp 9 cũng biết và được phép dùng đạo hàm trong bài thi hả em? :-?
     
  3. jupiter994

    jupiter994 Guest


    bài thi chuyên em vẫn xài đạo hàm mà :D chứ thi chung làm vào là chết
     
  4. demon_tg

    demon_tg Guest


    mình dọc phần dạo hàm và lượng chả hiểu gì hết
    :(:)((
     

  5. Ặc ặc, tốt nhất đừng nên cho vào bài thi (kể cả chuyên)
    @hot_spring: Mấy cái tính chất trên có liên quan gì đến đạo hàm đâu?
     

  6. Bài này khá hay, mọi người làm thử nhé:

    [TEX]{x}^{2}[/TEX] +[TEX]{y}^{2}[/TEX]+ [TEX]{z}^{2}[/TEX] =3

    Tìm min:
    P= [TEX]\frac{x}{y\sqrt{y}}[/TEX] + [TEX]\frac{y}{z\sqrt{z}}[/TEX]+ [TEX]\frac{z}{x\sqrt{x}}[/TEX]
     
  7. duypro.95

    duypro.95 Guest


    nhieu cach giai rat hay. that la thu vi. cac ban hay tham khao nhieu vao nha