Bạn hãy ĐĂNG NHẬP để sử dụng nhiều chức năng hơn

Các đẳng thức lượng giác trong tam giác

Thảo luận trong 'Phương trình lượng giác' bắt đầu bởi duynhan1, 11 Tháng năm 2011.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 53,529

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.
  1. duynhan1

    duynhan1 Guest


  2. 1. Định lý hàm số sin.

    [TEX]\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R[/TEX]

    [​IMG]

    [TEX]sinA=sin \widehat{HOC}=\frac{HC}{OC}={\frac{A}{2}}.\frac{1}{R}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \frac{a}{sinA}=2R[/TEX]

    Các công thức khác c/m tương tự.

    2. Định lý hàm số cos.

    Chứng minh cái đại diện: [TEX]b^2=a^2+c^2-2a.c.cosB[/TEX]

    [​IMG]

    [TEX]b^2=AH^2+HC^2=AB^2-BH^2+(BC-BH)^2=AB^2-BH^2+BC^2-2BC.BH+BH^2[/TEX]

    [TEX]=AB^2+BC^2-2AB.BC.cosB=a^2+c^2-2a.c.cosB[/TEX]

    Chứng minh luôn công thức: [TEX]a=b.cosC+c.cosB[/TEX]
    [TEX]a= BH+HC=b.cosC+c.cosB[/TEX]

    3. Định lý hàm số tan

    [TEX]\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan\frac{A-B}{2}}{tan\frac {A-B}{2}}[/TEX]

    [​IMG]

    Trên BC lấy D, trên tia đối của tia CB lấy E sao cho AC=CD=CE=b

    \Rightarrow [tex]\large\Delta DAE[/tex] là tam giác vuông tại A

    Ta có [TEX]A_1+A_2=A[/TEX]

    [TEX]A_1-A_2=D_1-A_2=B[/TEX] (Tính chất góc ngoài)

    [TEX] \Rightarrow A_1=\frac{A+B}{2} ; A_2=\frac{A-B}{2}[/TEX]

    Kẻ DF//AE \Rightarrow AD vuông góc FD

    Theo talet:

    [TEX]\frac{DF}{AE}=\frac{BD}{BE}=\frac{a-b}{a+b} \ \ \ \ (1)[/TEX]

    Tam giác ADF vuông tại D [TEX]\Rightarrow DF=AD.tanA_2=AD.tan\frac{ A-B}{2}\ \ \ \ (2)[/TEX]

    Tam giác ADE vuông tại A [TEX]\Rightarrow AE=AD.tanD_1=AD.tan\frac{A+B}{2} \ \ \ \ (3)[/TEX]

    [TEX]Tu (1); (2);(3) \Rightarrow dpcm[/TEX]

    4. Định lý hàm số cot.

    [TEX]cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}[/TEX]

    [TEX]a^2=b^2+c^2-2b.c.cosA=b^2+c^2-2bc. sinA .cotA.=b^2+c^2-4S.cotA[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}[/TEX]

    5. Công thức diện tích

    [​IMG]

    [TEX]S=\frac{1}{2}a.h=\frac{1}{2}a.c.sinB[/TEX]

    Theo ĐL hs sin:[TEX]a=2RsinA; c=2R.sinC[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow S=\frac{1}{2}a.c.sinB=2R^2.sinA.sinB.sinC[/TEX]

    Lại có [TEX]sinB=\frac{b}{2R} \Rightarrow S=\frac{abc}{4R}[/TEX]

    [TEX]S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{AIC}[/TEX]

    [TEX]=\frac{r.c}{2}+\frac{r.a}{2}+\frac{r.b}{2}=\frac{r.(a+b+c)}{2}=pr[/TEX]

    [TEX]S=pr=p.AM.tan{\frac{A}{2}}=p(p-a)tan{\frac{A}{2}}=(p-a)r_a[/TEX]

    Công thức herong

    [​IMG]

    6. Công thức trung tuyến.

    [TEX]m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}[/TEX]

    [​IMG]

    [TEX]\vec{AB}= \vec{AM}+\vec{MB}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow AB^2=AM^2+MB^2+2.(\vec{AM}.\vec{MB} \ \ \ \ \ (1)[/TEX]

    [TEX]\vec{AC}=(\vec{AM}+\vec{MC}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow AC^2=AM^2+MC^2+2(\vec{AM}.\vec{MC}) \ \ \ \ \ (2)[/TEX]

    [TEX]Tu \ (1) \ & \ (2) \Rightarrow AB^2+AC^2= 2AM^2+2(\frac{BC}{2})^2 + 2\vec{AM} (\vec{MB}+\vec{MC})[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow m_a^2=\frac{AB^2+AC^2}{4}- \frac{BC^2}{4}=\frac{c^2+b^2}{4}- \frac{a^2}{4}= \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}[/TEX]

    7. Công thức phân giác.

    [TEX]l_a=\frac{2b.c.cos{{\frac{A}{2}}}}{b+c}[/TEX]

    [​IMG]

    [TEX]S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \frac{b.c.sinA}{2}=\frac{1}{2}c.l_a.sin{{\frac{A}{2}}}+\frac{1}{2}b.l_a.sin{{\frac{A}{2}}}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{2}b.c.2.sin{{\frac{A}{2}}}.cos {{\frac{A}{2}}=\frac{1}{2}l_a.(b+c).sin{{\frac{A}{2}}}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow l_a=\frac{2b.c.cos{{\frac{A}{2}}}}{b+c}[/TEX]

    8. Bán kính đường tròn nội tiếp

    [​IMG]

    [TEX]r=(p-a).tan{\frac{A}{2}}[/TEX]

    Theo t/c tiếp tuyến : [TEX]AP=AM; BM=BN; CN=CP[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow AM+BN+CN=p \Rightarrow AM=p-(BN+CN)=p-a[/TEX]

    [TEX] \Rightarrow r=IM=IN=IP=AM.tan{\frac{A}{2}}=(p-a)tan{\frac{A}{2}}[/TEX]

    [TEX]r=4R.sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]

    [TEX]BC=BN+NC[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow 2RsinA=r(cot{\frac{B}{2}}+cot{\frac{C}{2}})[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow 4Rsin{\frac{A}{2}}cos{\frac{A}{2}} =r\frac{sin\frac{B+C}{2}}{sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}} =r\frac{cos{\frac{A}{2}}}{sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow r=4R.sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]


    9.Bán kính đường tròn ngoại tiếp.

    Suy từ định lý h/s sin.

    10. Bán kính đường tròn bàng tiếp.

    [TEX]r_a=p.tan{\frac{A}{2}}[/TEX]

    [​IMG]

    [TEX] AN=AP; BN=BM; CM=CP[/TEX]

    [TEX]2p=AB+BC+CA=AB+BM+MC+CA=AB+BN+CP+AC=AN+AP[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow AN=AP=p \Rightarrow r_a=IN=IP=IM=AN.tan{\frac{A}{2}}=p.tan{\frac{A}{2}}[/TEX]

    [TEX]11. \ \ \ sin{{\frac{A}{2}}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}[/TEX]

    Từ định lý h/s cos [TEX]\Rightarrow cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/TEX]

    [TEX]sin{{\frac{A}{2}}}=\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}{2}}=\sqrt{\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}} sqrt{\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{4bc}}=\sqrt{\frac{2(p-b)2(p-c)}{4bc}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}[/TEX]

    [TEX] cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}[/TEX] chứng minh tương tự

    [TEX]tan{\frac{A}{2}}=\frac{sin{{\frac{A}{2}}}}{cos{{\frac{A}{2}}}}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}[/TEX]

    Những cái còn lại là bài tập rùi.

    Đẹp nhở =))
     
    Last edited by a moderator: 31 Tháng năm 2011
  3. duynhan1

    duynhan1 Guest


    3. Định lý hàm số tan:(Cách 2)
    [TEX]\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan{\frac{A-B}{2}} }{tan{ \frac{A+B}{2}} } [/TEX]

    [TEX]\frac{tan{\frac{A-B}{2}} }{tan{ \frac{A+B}{2}} } =\frac{2 sin{\frac{A-B}{2} } . cos{\frac{A+B}{2}} }{2 sin{\frac{A+B}{2}} . cos{\frac{A-B}{2}} } = \frac{sinA - sin B}{ sin A + sin B} [/TEX]

    [TEX](ycbt) \Leftrightarrow \frac{a-b}{sin A- sin B}= \frac{a+b}{sin A+sinB} [/TEX]
    Mà điều đó thì luôn đúng do :
    [TEX]\frac{a}{ sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{a-b}{sin A - sin B} = \frac{a+b}{sin A+ sin B}[/TEX]
     

  4. [TEX]12.\ \ \ sinA+sinB+sinC=4cos{\frac{A}{2}}cos{\frac{B}{2}}cos{\frac{C}{2}}[/TEX]

    [TEX]sinA+sinB+sinC=2sin{\frac{A+B}{2}}cos{\frac{A-B}{2}}+2sin{\frac{C}{2}} cos{\frac{C}{2}}=2cos{\frac{C}{2}}. (cos{\frac{A-B}{2}}+cos{\frac{A+B}{2}})=4cos{\frac{C}{2}}.cos {\frac{A}{2}}.cos{\frac{B}{2}}[/TEX]

    [TEX]\red sinA+sinB+sinC=\frac{p}{R}[/TEX]

    [TEX]sinA+sinB+sinC=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=\frac{p}{R}[/TEX]

    [TEX]13. \ \ \ cosA+cosB+cosC=1+4sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]

    [TEX]cosA+cosB+cosC=2cos{\frac{A+B}{2}}cos{\frac{A-B}{2}}+1-2sin^2{\frac{C}{2}}[/TEX]

    [TEX]=2sin{\frac{C}{2}}(cos{\frac{A-B}{2}}-cos{\frac{A+B}{2}})+1=1+4sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]

    Theo đẳng thức 8 ta có :
    [TEX]r=4Rsin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]

    [TEX]\red \Rightarrow cosA+cosB+cosC=1+4sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}} = 1+ \frac{r}{R}[/TEX]

    [TEX]14. \ \ \ sin2A+sin2B+sin2C=4sinC.sinA.sinB[/TEX]

    [TEX]\large sin2A+sin2B+sin2C \\ =2sin(A+B)cos(A-B)+2sinC.cosC \\ =2sinC.[cos(A-B)-cos(A+B)] \\ =4sinC.sinA.sinB[/TEX]

    [TEX]15. \ \ \ cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosA.cosB.cosC[/TEX]

    [TEX]cos2A+cos2B+cos2C \\ =cos2A+cos2B+2cos^2C-1\\ =2cos(A+B)cos(A-B)-2cosC.cos(A+B)-1 \\ =-2cosC[cos(A-B)+cos(A+B)]-1\\ =-4cosC.cosA.cosB-1[/TEX]

    [TEX]16. \ \ \ sin^2A+sin^2B+sin^2C=2(1+cosA.cosB.cosC)[/TEX]

    Từ [TEX]cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosA.cosB.cosC[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow 1-2sin^2A+1-2sin^2B+1-2sin^2C=-1-4cosA.cosB.cosC[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow Dpcm[/TEX]

    [TEX]17. \ \ \ cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC[/TEX]

    [TEX]\Large cos^2A+cos^2B+cos^2C \\ =\frac{1+cos2A}{2}+\frac{1+cos2B}{2}+cos^2C \\ =1+cos(A+B)cos(A-B)+cos^2C \\ =1-cosC[cos(A-B)+cos(A+B)] \\ =1-2cosA.cosB.cosC[/TEX]

    [TEX]18. \ \ \ tan A+tanB+tanC=tan A.tanB.tanC[/TEX]

    Cách 1:

    [TEX]\Large tan A+tanB+tanC \\ =\frac{sin(A+B)}{cosA.cosB}+tanC \\ =tanC(\frac{cosC}{cosA.cosB}+1) \\ =tanC{\frac{-cos(A+B)+cosA.cosB}{cosA.cosB}} \\ = tanC{\frac{-cosA.cosB+sinA.sinB+cosA.cosB}{cosA.cosB}} \\ =tanC{\frac{sinA.sinB}{cosA.cosB}} \\ =tanA.tanB.tanC[/TEX]

    chỗ này nữa >"<

    Cách 2: Ngắn, quen nhưng k hay :D

    [TEX]tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow -tanC=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow -tanC+tan A.tanB.tanC=tanA+tanB[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow tan A+tanB+tanC=tan A.tanB.tanC[/TEX]


    [TEX]19. \ \ \ cot{\frac{A}{2}}+cot{\frac{B}{2}}+cot{\frac{C}{2}}=cot{\frac{A}{2}} cot{\frac {B}{2}}cot{\frac {C}{2}}[/TEX]


    [TEX]cot{\frac{A}{2}}=tan{\frac{B+C}{2}}= \frac{tan \frac{B}{2}+tan \frac{C}{2}}{tan \frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}-1} = \frac{cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}}{cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}-1}[/TEX]
    [tex]\red Note: tan \al =\frac{1}{cot \al} [/tex]

    [TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

    [TEX]20. \ \ \ tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{B}{2}}+tan{\frac{B}{2}}tan{\frac{C}{2}}+ tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{C}{2}}=1[/TEX]

    [TEX]tan{\frac{A}{2}}=cot{\frac{B+C}{2}}=\frac{1-tan{\frac{B}{2}}tan{\frac{C}{2}}}{tan{\frac{B}{2}}+tan{\frac{C}{2}}}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{B}{2}}+tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{C}{2}}=1-tan{\frac{B}{2}}tan{\frac{C}{2}}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow Dpcm[/TEX]

    [TEX]21. \ \ \ cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1[/TEX]

    [TEX]cotA=\frac{1}{tan A}=-\frac{1}{tan(B+C)}=\frac{-1+tanB.tanC}{tanB+tanC}=\frac{1-cotB.cotC}{cotB+cotC}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow cotA.cotB+cotC.cotA=1-cotB.cotC[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow Dpcm[/TEX]


    [TEX]22. \ \ \ sin^3Acos(B-C)+sin^3Bcos(C-A)+sin^3Ccos(A-B)=3sinA.sinB.sinC[/TEX]

    [TEX]23. \ \ \ sin^3A. sin(B-C) +sin^3B.sin(C-A)+sin^3C.sin(A-B)=0[/TEX]

    [TEX]24. \ \ \ sin3A.sin^3(B-C)+sin3B.sin^3(C-A)+sin3C.sin^3(A-B)=0[/TEX]

    [TEX]25. \ \ \ sin3A.cos^3(B-C)+sin3B.cos^3(C-A)+sin3C.cos^3(A-B)=sin3A.sin3B.sin3C.[/TEX]

     
    Last edited by a moderator: 31 Tháng năm 2011

  5. [TEX]\ \ \ sin^3Acos(B-C)+sin^3Bcos(C-A)+sin^3Ccos(A-B)[/TEX]

    [TEX]=sin^2A.sin(B+C)cos(B-C)+sin^2B.sin(A+C)cos(C-A)+sin^2C.sin(A+B).cos(A-B)[/TEX]

    [TEX]=\frac{1}{2}sin^2A.(sin2B+sin2C)+\frac{1}{2}sin^2B.(sin2A+sin2C)+\frac{1}{2}sin^2C(sin2A+sin2B)[/TEX]

    [TEX]=sin^2A(sinBcosB+sinCcosC)+sin^2B(sinAcosA+sinCcosC)+sin^2C(sinAcosA+sinBcosB)[/TEX]

    [TEX]=sinAsinB(sinAcosB+sinBcosA)+sinAsinC(sinAcosC+sinCcosA)+sinBsinC(sinBcosC+sinCcosB)[/TEX]

    [TEX]=sinAsinBsin(A+B)+sinAsinCsin(A+C)+sinBsinCsin(B+C)=3sinAsinBsinC[/TEX]


    [TEX]23. \ \ \ sin^3Asin(B-C)+sin^3Bsin(C-A)+sin^3Csin(A-B)=0[/TEX]

    [TEX]sin^3Asin(B-C)=sin^2A.sin(B+C).sin(B-C)=sin^2A.\frac{1}{2}.(cos2C-cos2B)=sin^2A.\frac{1}{2}(1-2sin^2C-1+2sin^2B)=sin^2A(sin^2B-sin^2C)[/TEX]

    Tương tự:
    [TEX] \ \ \ sin^3Bsin(C-A)=sin^2B(sin^2C-sin^2A)[/TEX]

    [TEX]sin^3Csin(A-B)=sin^2C(sin^2A-sin^2B)[/TEX]

    Cộng 2 vế suy ra đpcm


    [TEX]24. \ \ \ sin3A.sin^3(B-C)+sin3B.sin^3(C-A)+sin3C.sin^3(A-B)=0[/TEX]

    [TEX]sin3A.sin^3(B-C)=\frac{1}{4}sin3A[3sin(B-C)-sin3(B-C)][/TEX]

    [TEX]=\frac{3}{4}sin3A.sin(B-C)-\frac{1}{4}sin3A.sin3(B-C)[/TEX]

    [TEX]=\frac{3}{8}[cos(3A-B+C)-cos(3A+B-C)]-\frac{1}{8}[cos3(A-B+C)-cos3(A+B-C)][/TEX]

    [TEX]=\frac{3}{8}[cos2(A-C)-cos2(A-B)]-\frac{1}{8}[cos6C-cos6B][/TEX]

    Chứng minh tương tự với 2 biểu thức kia sau đó cộng 2 vế đc đpcm

    [TEX]25. \ \ \ sin3A.cos^3(B-C)+sin3B.cos^3(C-A)+sin3C.cos^3(A-B)=sin3A.sin3B.sin3C.[/TEX]

    [TEX]sin3A.cos^3(B-C)=sin3A.\frac{1}{4}.[cos3(B-C)+3cos(B-C)][/TEX]

    [TEX]=\frac{1}{4}sin3A.cos3(B-C)+\frac{3}{4}sin3Acos(B-C)[/TEX]

    [TEX]=\frac{1}{8}[sin3(A+B-C)-sin3(A-B+C)+\frac{3}{8}[sin(3A+B-C)+sin(3A-B+C)][/TEX]

    [TEX]=\frac{1}{8}(sin6C+sin6B)+\frac{3}{8}[sin2(C-A)+sin2(B-A)][/TEX]

    Tương tự với 2 biểu thức còn lại sau đó cộng vế.
     
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.