Bài tập về Phương Pháp Qui Nạp

[son_hp123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giai bai toan nay giup minh
2^2n[2^(2n+1)-1]-1 chia het cho 9
can gap

@thinhrost1: Chú ý viết Tiếng Việt có dấu.

Chú ý tên tiêu đề -> Đã sửa.

 

[thinhrost1]

Phải là $n \in N$ chứ bạn !

Đặt:

$A=2^{2n}(2^{2n+1}-1)-1$

Với $n=0$

$A=2^{0}(2^0-1)-1=0$

Giả sử A đúng với $n=k$ thì ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$

Ta cần chứng minh:

$2^4(2^{4n+1}-2^{2n}-1)-2^{2(k+1)}(2^{2(k+1)+1}-1)+1 \vdots 9$ để chứng minh tính đúng đắn của nó.

Thật vậy:

$2^4(2^{4n+1}-2^{2n}-1)-2^{2(k+1)}(2^{2(k+1)+1}-1)+1=2^{2n+4}-2^{2n+2}+2^4-1=3(2^{2(n+1)}+5)\equiv0 (mod9)$

Đúng với mọi $n \ge0$.

Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có đpcm.

Chú ý: nếu đề với điều kiện $n \ge 1$ thì ta làm cách ngắn hơn không cần tới sử dụng phép qui nạp

$2^{2n}(2^{2n+1}-1)-1 \equiv 1-1=0 (mod9) (\forall n \in N*)$