Diễn đàn học tập của Hocmai.vn
Liên hệ quảng cáo: xem chi tiết tại đây

Diendan.hocmai.vn - Học thày chẳng tày học bạn! » Toán » Toán lớp 9 » Đại số » [Toán 9]Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz !




Chủ đề đã khóa
  #1  
Cũ 29-06-2007
tramngan's Avatar
tramngan tramngan đang ngoại tuyến
MEM VIP
Cống hiến vì cộng đồng
Thủ quỹ
 
Tham gia : 03-05-2007
Bài viết: 478
Điểm học tập:21
Đã cảm ơn: 74
Được cảm ơn 5,984 lần
[Toán 9]Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz !

- Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau:
Với hai dãy số thực (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}) ta luôn có bất đẳng thức sau:
(a_{1}^2+a_{2}^2+...+ a_{m}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{m}^2) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{a_{2}}{b_{2}}=...= \frac{a_{m}}{b_{m}}
- Nó cũng có một số hệ quả:
1, Bất đẳng thức Schwarz:
Với hai dãy số thực (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}) sao cho b_{i} \geq 0 ta luôn có bất đẳng thức:
\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \frac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b  _{m}
2, Bất đẳng thức Minkovsky:
Với 2 dãy số thực \Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})\Large (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}) ta có:
\Large \sum\limits_{i=1}^{m} \sqrt{a_{i}^2+b_{i}^2} \geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^{m} a_{i})^2+(\sum\limits_{i=1}^{m} b_{i})^2}
3, Với mọi dãy số thực \Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}) ta có:
\Large (a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m})^2 \leq n(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m}^2)
- Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi.
Sau đây là một số bài tập ứng dụng:
1)Cho |x|<1|y|<1. CMR:
\frac{1}{1-x^2}+ \frac{1}{1-y^2} \geq \frac{2}{1-xy}
2)CM bất đẳng thức sau với x là số thực không âm:
\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+ \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}
3) a,b,c >0. CMR: abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a
4)CMR:
\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1
với mọi a,b,c \in (0;1)
5)T“m min:
\sum \limits_{i=1}^{n} (x_{i}+ \frac{1}{x_{i}})^2
với \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=1

[Hãy đăng kí thành viên hay đăng nhập để xem liên kết này.]
__________________
Hurt.
  #2  
Cũ 29-06-2007
tramngan's Avatar
tramngan tramngan đang ngoại tuyến
MEM VIP
Cống hiến vì cộng đồng
Thủ quỹ
 
Tham gia : 03-05-2007
Bài viết: 478
Điểm học tập:21
Đã cảm ơn: 74
Được cảm ơn 5,984 lần
- Tiếp theo là một kĩ thuật cũng rất quan trọng trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là kĩ thuật chọn điểm rơi trong Cauchy- Schwarz (trích quyển 'Sai lầm...' của thầy Phương)
Bài toán: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c \geq 6. Tìm min:
S= \sum \sqrt{a^2+ \frac{1}{b^2}}
-Sai lầm thường gặp:
S \geq 3 \sqrt[6]{\prod (a^2+\frac{1}{b^2})} \geq 3. \sqrt[6]{8}=3 \sqrt{2}
-Nguyên nhân:
Min S=3 \sqrt{2} \Leftrightarrow a=b=c= \frac{1}{a}= \frac{1}{b}= \frac{1}{c}=1 \Rightarrow a+b+c=3<6 (vô lí)
-Phân tích:
Ta có thể sử dụng bđt Cauchy-Schwarz cho 2 số:
\sqrt{(a_{1}^2+a_{2}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2)} \geq a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}
để phá bỏ dấu căn thức
Do đó ta sẽ phải tìm \alpha\beta sao cho:
\left{\begin{a^2+ \frac{1}{b^2}= \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(a^2+ \frac{1}{b^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(a \alpha+ \frac{\beta}{b}) (1)\\b^2+ \frac{1}{c^2}= \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(b^2+ \frac{1}{c^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(b \alpha+ \frac{\beta}{c}) (2)\\c^2+ \frac{1}{a^2}= \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(c^2+ \frac{1}{a^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(c \alpha+ \frac{\beta}{a}) (3)
Cộng lại ta đc: S \geq \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}[ \alpha(a+b+c)+ \beta(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c})]=S_{0}
Do S là một biểu thức đối xứng nên ta dự S=S_{0} tại điểm rơi a=b=c=2 và đẳng thức phải xảy ra đồng thời tại các bđt (1), (2)(3).
Ta có sơ đồ điểm rơi sau:
a=b=c=2 \Rightarrow \left{\begin{\frac{a}{\alpha}= \frac{1}{\beta b}}\\{\frac{b}{\alpha}= \frac{1}{\beta c}}\\{\frac{c}{\alpha}= \frac{1}{\beta a}} \Leftrightarrow \frac{\alpha}{\beta}= \frac{a}{\frac{1}{a}}= \frac{b}{\frac{1}{b}}= \frac{c}{\frac{1}{c}}= \frac{4}{1} \Rightarrow \left{\begin{\alpha=4}\\{\beta=1}
Từ đó ta dễ dàng tìm được lời giải đúng

[Hãy đăng kí thành viên hay đăng nhập để xem liên kết này.]
__________________
Hurt.
Có 11 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến tramngan với bài viết này:
  #3  
Cũ 01-07-2007
phuong23 phuong23 đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 30-06-2007
Đến từ: Hà Nội
Bài viết: 8
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 2 lần với 1 bài viết
ờ, nghe nói bất đẳng thức trêncòn gọi là BĐT Svacxơ đúng k? Mong là mình k nhầm!
__________________
Nỗi buồn nào rồi cũng phải qua đi và lời an ủi sẽ trở thành vô nghĩa.
  #4  
Cũ 02-07-2007
vyhien vyhien đang ngoại tuyến
Thành viên
Bàn phó
 
Tham gia : 16-06-2007
Đến từ: nơi có trái tim ai rộng mở...
Bài viết: 70
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 2 lần với 1 bài viết
chị Trâm Ngân ơi, lần sau viết cho các em lớp 9 thì nhớ viết chi tiết ra, viết tổng quát bằng mấy dấu pi với xích ma đó các em ấy hok hiểu đâu. HS lớp 9 bây giờ không dùng các công thức đó..., ngay cả lớp 10 bọn em cũng rất ít dùng nên nhìn rất khó...
__________________
You can get it if you really want!!! >-
  #5  
Cũ 05-07-2007
phuong23 phuong23 đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 30-06-2007
Đến từ: Hà Nội
Bài viết: 8
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 2 lần với 1 bài viết
Trời ạ! Hu hu, nói thế thì em pó tay rồi. Phân ban à? Em có học phân ban đâu!
__________________
Nỗi buồn nào rồi cũng phải qua đi và lời an ủi sẽ trở thành vô nghĩa.
  #6  
Cũ 16-09-2007
thecuong92 thecuong92 đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 16-09-2007
Bài viết: 4
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 0 lần
khó gì đâu. Ai ko quen thì nhìn kí hiệu hơi khó hiểu thôi chứ cái này lớp 9 là được học hết rồi
  #7  
Cũ 17-09-2007
alph@ alph@ đang ngoại tuyến
Thành viên
Tổ phó
 
Tham gia : 01-05-2007
Bài viết: 217
Đã cảm ơn: 1
Được cảm ơn 64 lần
Quốc tế gọi Bất đẳng thức này là AM-GM chứ không phải côsi đâu!
Chương Bất DThức này là 1 chương dạy qua loa nhất đó! Bạn mà học kém chương này cũng đừng buồn! Thân!
__________________
Nick này không còn hoạt động
  #8  
Cũ 17-09-2007
ancksunamun ancksunamun đang ngoại tuyến
Thành viên
Thư kí
 
Tham gia : 02-07-2007
Đến từ: fanclub like fattest cat
Bài viết: 653
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 5 lần
AM = Arithmetic mean = Trung bình cộng
GM = Geometric mean = Trung bình nhân
AM-GM Inequality = Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Mà người Việt Nam thường gọi là bất đẳng thức Cô-si)
__________________
never, never chance
Có một thành viên đã cám ơn ancksunamun vì bài viết này:
  #9  
Cũ 21-12-2007
girll9x girll9x đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 11-11-2007
Bài viết: 1
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 0 lần
thế cho em hỏi khi nào thì dùng điểm rơi
  #10  
Cũ 10-11-2008
khanhtm's Avatar
khanhtm khanhtm đang ngoại tuyến
Thành viên
Bàn trưởng
 
Tham gia : 23-01-2008
Bài viết: 138
Đã cảm ơn: 4
Được cảm ơn 69 lần
điểm rơi chỉ là điểm xảy ra dấu = thôi
VD 1 bài này
cho a \ge 3. Tìm min: \frac{1}{a}+a
rõ ràng ở đây ta ko thể dùng ngay bdt cô si đc: \frac{1}{a}+a \ge 2\sqrt{\frac{a.1}{a}}=2 vì khi đó thì a=\frac{1}{a} \Leftrightarrow a=1 trong khi đó đề bài cho là a \ge 3
Dự đoán min xảy ra khi a=3. Khi đó \frac{1}{a}=\frac{a}{9} vậy ta sẽ sử dụng như sau:
\frac{1}{a}+a=(\frac{1}{a}+\frac{a}{9})+\frac{8a}{  9} \ge ...
cái này bạn áp dụng cô si vào thôi (ngại làm )
cái này em chỉ viết cho bạn nào chưa biết kỹ thuật điểm rơi, bạn nào biết rồi thì thôi
Chủ đề đã khóa

Chia sẻ/đánh dấu bài viết


Ðiều chỉnh Tìm trong bài viết
Tìm trong bài viết:

Tìm chi tiết
Xếp bài

Quyền hạn của bạn
Bạn không thể tạo chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể đăng tập đính kèm
Bạn không thể sửa bài của mình

BB codeMở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

 
Bài giảng mới
Tiếng Anh 10 - cô Nguyễn Thị Phương : Bài 18. The passive voice
Tiếng Anh 10 - cô Nguyễn Thị Phương : Bài 18. The passive voice
Toán - Lớp 12 - Thầy Lê Bá Trần Phương (2014-2015) :  Bài 09. Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối
Toán - Lớp 12 - Thầy Lê Bá Trần Phương (2014-2015) : Bài 09. Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối
Một số chuyên đề Ngữ văn 12 - Cô Nguyễn Thị Thanh Thuỷ (2014-2015) : Bài 3: Các kĩ năng làm văn nghị luận (Phần 3) (Năm học 2014 - 2015)
Một số chuyên đề Ngữ văn 12 - Cô Nguyễn Thị Thanh Thuỷ (2014-2015) : Bài 3: Các kĩ năng làm văn nghị luận (Phần 3) (Năm học 2014 - 2015)
Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 5 : Bài 10. Chuyển động của tàu so với 1 chuyển động khác (tiết 2)
Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 5 : Bài 10. Chuyển động của tàu so với 1 chuyển động khác (tiết 2)
Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 5 : Bài 9. Chuyển động của tàu so với 1 chuyển động khác (tiết 1)
Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 5 : Bài 9. Chuyển động của tàu so với 1 chuyển động khác (tiết 1)
Vật lí 12 - Thầy Đặng Việt Hùng (2014-2015) : Bài 1. Mạch dao động điện từ
Vật lí 12 - Thầy Đặng Việt Hùng (2014-2015) : Bài 1. Mạch dao động điện từ
Tiếng Anh 10 - cô Nguyễn Thị Phương : Bài 16: Reported speech: statements
Tiếng Anh 10 - cô Nguyễn Thị Phương : Bài 16: Reported speech: statements
Tiếng Anh 8 : Unit 9. A first aid - course
Tiếng Anh 8 : Unit 9. A first aid - course
Tiếng Anh 8 : Unit 8. Country life and city life
Tiếng Anh 8 : Unit 8. Country life and city life
Tiếng Anh 8 : Unit 7. My neigborhood
Tiếng Anh 8 : Unit 7. My neigborhood

Đề thi mới
Tiếng Anh 10 - cô Nguyễn Thị Phương 10 : Pronunciation test
Tiếng Anh 10 - cô Nguyễn Thị Phương 10 : Pronunciation test
Internal Test 9 : Hocmai.vn contest 2 2014.08
Internal Test 9 : Hocmai.vn contest 2 2014.08
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 04 (Đề Online)
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 04 (Đề Online)
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 05 (Đề Online)
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 05 (Đề Online)
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 03 (Đề Online)
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 03 (Đề Online)
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 02 (Đề Online)
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 02 (Đề Online)
Ngữ văn 6 :  Kiểm tra trắc nghiệm tổng hợp Tuần 1
Ngữ văn 6 : Kiểm tra trắc nghiệm tổng hợp Tuần 1
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 01 (Đề Online)
Luyện thi đại học KIT-3: Môn Tiếng Anh (Cô Nguyễn Ngọc An) 12 : Đề thi tự luyện số 01 (Đề Online)
Thi thử đại học 2014 12 : Đề thi thử đại học môn Vật lí tháng 6/2014
Thi thử đại học 2014 12 : Đề thi thử đại học môn Vật lí tháng 6/2014
Thi thử đại học 2014 12 : Đề thi thử đại học môn Tiếng Anh tháng 6/2014
Thi thử đại học 2014 12 : Đề thi thử đại học môn Tiếng Anh tháng 6/2014




Múi giờ GMT +7. Hiện tại là 02:17.
Powered by: vBulletin v3.x.x Copyright ©2000-2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Advertisement System V2.4 By   Branden

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 196/GXN-TTĐT Cục Quản lý PTTH&TTĐT cấp ngày 11/11/2011.