Diễn đàn học tập của Hocmai.vn
Liên hệ quảng cáo: xem chi tiết tại đây

Diendan.hocmai.vn - Học thày chẳng tày học bạn! » Toán » Toán lớp 9 » Đại số » [Toán 9]Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz !




Chủ đề đã khóa
  #1  
Cũ 29-06-2007
tramngan's Avatar
tramngan tramngan đang ngoại tuyến
MEM VIP
Cống hiến vì cộng đồng
Thủ quỹ
 
Tham gia : 03-05-2007
Bài viết: 478
Điểm học tập:21
Đã cảm ơn: 74
Được cảm ơn 6,074 lần
[Toán 9]Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz !

- Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau:
Với hai dãy số thực (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}) ta luôn có bất đẳng thức sau:
(a_{1}^2+a_{2}^2+...+ a_{m}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{m}^2) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{a_{2}}{b_{2}}=...= \frac{a_{m}}{b_{m}}
- Nó cũng có một số hệ quả:
1, Bất đẳng thức Schwarz:
Với hai dãy số thực (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}) sao cho b_{i} \geq 0 ta luôn có bất đẳng thức:
\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \frac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b  _{m}
2, Bất đẳng thức Minkovsky:
Với 2 dãy số thực \Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})\Large (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}) ta có:
\Large \sum\limits_{i=1}^{m} \sqrt{a_{i}^2+b_{i}^2} \geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^{m} a_{i})^2+(\sum\limits_{i=1}^{m} b_{i})^2}
3, Với mọi dãy số thực \Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}) ta có:
\Large (a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m})^2 \leq n(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m}^2)
- Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi.
Sau đây là một số bài tập ứng dụng:
1)Cho |x|<1|y|<1. CMR:
\frac{1}{1-x^2}+ \frac{1}{1-y^2} \geq \frac{2}{1-xy}
2)CM bất đẳng thức sau với x là số thực không âm:
\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+ \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}
3) a,b,c >0. CMR: abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a
4)CMR:
\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1
với mọi a,b,c \in (0;1)
5)T“m min:
\sum \limits_{i=1}^{n} (x_{i}+ \frac{1}{x_{i}})^2
với \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=1

www.diendantoanhoc.net
__________________
Hurt.
  #2  
Cũ 29-06-2007
tramngan's Avatar
tramngan tramngan đang ngoại tuyến
MEM VIP
Cống hiến vì cộng đồng
Thủ quỹ
 
Tham gia : 03-05-2007
Bài viết: 478
Điểm học tập:21
Đã cảm ơn: 74
Được cảm ơn 6,074 lần
- Tiếp theo là một kĩ thuật cũng rất quan trọng trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là kĩ thuật chọn điểm rơi trong Cauchy- Schwarz (trích quyển 'Sai lầm...' của thầy Phương)
Bài toán: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c \geq 6. Tìm min:
S= \sum \sqrt{a^2+ \frac{1}{b^2}}
-Sai lầm thường gặp:
S \geq 3 \sqrt[6]{\prod (a^2+\frac{1}{b^2})} \geq 3. \sqrt[6]{8}=3 \sqrt{2}
-Nguyên nhân:
Min S=3 \sqrt{2} \Leftrightarrow a=b=c= \frac{1}{a}= \frac{1}{b}= \frac{1}{c}=1 \Rightarrow a+b+c=3<6 (vô lí)
-Phân tích:
Ta có thể sử dụng bđt Cauchy-Schwarz cho 2 số:
\sqrt{(a_{1}^2+a_{2}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2)} \geq a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}
để phá bỏ dấu căn thức
Do đó ta sẽ phải tìm \alpha\beta sao cho:
\left{\begin{a^2+ \frac{1}{b^2}= \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(a^2+ \frac{1}{b^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(a \alpha+ \frac{\beta}{b}) (1)\\b^2+ \frac{1}{c^2}= \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(b^2+ \frac{1}{c^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(b \alpha+ \frac{\beta}{c}) (2)\\c^2+ \frac{1}{a^2}= \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(c^2+ \frac{1}{a^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(c \alpha+ \frac{\beta}{a}) (3)
Cộng lại ta đc: S \geq \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}[ \alpha(a+b+c)+ \beta(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c})]=S_{0}
Do S là một biểu thức đối xứng nên ta dự S=S_{0} tại điểm rơi a=b=c=2 và đẳng thức phải xảy ra đồng thời tại các bđt (1), (2)(3).
Ta có sơ đồ điểm rơi sau:
a=b=c=2 \Rightarrow \left{\begin{\frac{a}{\alpha}= \frac{1}{\beta b}}\\{\frac{b}{\alpha}= \frac{1}{\beta c}}\\{\frac{c}{\alpha}= \frac{1}{\beta a}} \Leftrightarrow \frac{\alpha}{\beta}= \frac{a}{\frac{1}{a}}= \frac{b}{\frac{1}{b}}= \frac{c}{\frac{1}{c}}= \frac{4}{1} \Rightarrow \left{\begin{\alpha=4}\\{\beta=1}
Từ đó ta dễ dàng tìm được lời giải đúng

www.diendantoanhoc.net
__________________
Hurt.
Có 11 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến tramngan với bài viết này:
  #3  
Cũ 01-07-2007
phuong23 phuong23 đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 30-06-2007
Đến từ: Hà Nội
Bài viết: 8
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 2 lần với 1 bài viết
ờ, nghe nói bất đẳng thức trêncòn gọi là BĐT Svacxơ đúng k? Mong là mình k nhầm!
__________________
Nỗi buồn nào rồi cũng phải qua đi và lời an ủi sẽ trở thành vô nghĩa.
  #4  
Cũ 02-07-2007
vyhien vyhien đang ngoại tuyến
Thành viên
Bàn phó
 
Tham gia : 16-06-2007
Đến từ: nơi có trái tim ai rộng mở...
Bài viết: 70
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 2 lần với 1 bài viết
chị Trâm Ngân ơi, lần sau viết cho các em lớp 9 thì nhớ viết chi tiết ra, viết tổng quát bằng mấy dấu pi với xích ma đó các em ấy hok hiểu đâu. HS lớp 9 bây giờ không dùng các công thức đó..., ngay cả lớp 10 bọn em cũng rất ít dùng nên nhìn rất khó...
__________________
You can get it if you really want!!! >-
  #5  
Cũ 05-07-2007
phuong23 phuong23 đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 30-06-2007
Đến từ: Hà Nội
Bài viết: 8
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 2 lần với 1 bài viết
Trời ạ! Hu hu, nói thế thì em pó tay rồi. Phân ban à? Em có học phân ban đâu!
__________________
Nỗi buồn nào rồi cũng phải qua đi và lời an ủi sẽ trở thành vô nghĩa.
  #6  
Cũ 16-09-2007
thecuong92 thecuong92 đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 16-09-2007
Bài viết: 4
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 0 lần
khó gì đâu. Ai ko quen thì nhìn kí hiệu hơi khó hiểu thôi chứ cái này lớp 9 là được học hết rồi
  #7  
Cũ 17-09-2007
alph@ alph@ đang ngoại tuyến
Thành viên
Tổ phó
 
Tham gia : 01-05-2007
Bài viết: 217
Đã cảm ơn: 1
Được cảm ơn 65 lần
Quốc tế gọi Bất đẳng thức này là AM-GM chứ không phải côsi đâu!
Chương Bất DThức này là 1 chương dạy qua loa nhất đó! Bạn mà học kém chương này cũng đừng buồn! Thân!
__________________
Nick này không còn hoạt động
  #8  
Cũ 17-09-2007
ancksunamun ancksunamun đang ngoại tuyến
Thành viên
Thư kí
 
Tham gia : 02-07-2007
Đến từ: fanclub like fattest cat
Bài viết: 653
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 5 lần
AM = Arithmetic mean = Trung bình cộng
GM = Geometric mean = Trung bình nhân
AM-GM Inequality = Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Mà người Việt Nam thường gọi là bất đẳng thức Cô-si)
__________________
never, never chance
Có một thành viên đã cám ơn ancksunamun vì bài viết này:
  #9  
Cũ 21-12-2007
girll9x girll9x đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 11-11-2007
Bài viết: 1
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 0 lần
thế cho em hỏi khi nào thì dùng điểm rơi
  #10  
Cũ 10-11-2008
khanhtm's Avatar
khanhtm khanhtm đang ngoại tuyến
Thành viên
Bàn trưởng
 
Tham gia : 23-01-2008
Bài viết: 138
Đã cảm ơn: 4
Được cảm ơn 70 lần
điểm rơi chỉ là điểm xảy ra dấu = thôi
VD 1 bài này
cho a \ge 3. Tìm min: \frac{1}{a}+a
rõ ràng ở đây ta ko thể dùng ngay bdt cô si đc: \frac{1}{a}+a \ge 2\sqrt{\frac{a.1}{a}}=2 vì khi đó thì a=\frac{1}{a} \Leftrightarrow a=1 trong khi đó đề bài cho là a \ge 3
Dự đoán min xảy ra khi a=3. Khi đó \frac{1}{a}=\frac{a}{9} vậy ta sẽ sử dụng như sau:
\frac{1}{a}+a=(\frac{1}{a}+\frac{a}{9})+\frac{8a}{  9} \ge ...
cái này bạn áp dụng cô si vào thôi (ngại làm )
cái này em chỉ viết cho bạn nào chưa biết kỹ thuật điểm rơi, bạn nào biết rồi thì thôi
Chủ đề đã khóa

Chia sẻ/đánh dấu bài viết


Ðiều chỉnh Tìm trong bài viết
Tìm trong bài viết:

Tìm chi tiết
Xếp bài

Quyền hạn của bạn
Bạn không thể tạo chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể đăng tập đính kèm
Bạn không thể sửa bài của mình

BB codeMở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

 
Bài giảng mới
Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng : Bài 22. Một số bài toán liên quan đến tứ giác (Phần 05)
Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng : Bài 22. Một số bài toán liên quan đến tứ giác (Phần 05)
PEN-I: môn Toán - Thầy Lê Anh Tuấn : Bài 3. Bài giảng (Phần 3)
PEN-I: môn Toán - Thầy Lê Anh Tuấn : Bài 3. Bài giảng (Phần 3)
PEN-I: môn Toán - Thầy Lê Anh Tuấn : Bài 2. Bài giảng (Phần 2)
PEN-I: môn Toán - Thầy Lê Anh Tuấn : Bài 2. Bài giảng (Phần 2)
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 4. Nhận dạng và sắp xếp các bài toán cơ qui luật
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 4. Nhận dạng và sắp xếp các bài toán cơ qui luật
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng : Bài 1 Bài giảng (Phần 1)
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng : Bài 1 Bài giảng (Phần 1)
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 3: Phương pháp nhận dạng giải nhanh tính tổng dãy số (phần 3)
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 3: Phương pháp nhận dạng giải nhanh tính tổng dãy số (phần 3)
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải :  Bài 1: Phương pháp nhận dạng giải nhanh tính tổng dãy số (phần 1)
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 1: Phương pháp nhận dạng giải nhanh tính tổng dãy số (phần 1)
Luyện thi quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) : Bài 09. Các bái toán về hình vuông
Luyện thi quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) : Bài 09. Các bái toán về hình vuông
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi :  Bài 4. Bài giảng (Phần 4)
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi : Bài 4. Bài giảng (Phần 4)
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi :  Bài 3. Bài giảng (Phần 3)
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi : Bài 3. Bài giảng (Phần 3)

Đề thi mới
PEN-I: môn Vật lí - thầy Bùi Gia Nội (Khá - Giỏi) 12 : Đề số 3
PEN-I: môn Vật lí - thầy Bùi Gia Nội (Khá - Giỏi) 12 : Đề số 3
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-TB -TB Khá 12 : Đề 01 - 2015
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-TB -TB Khá 12 : Đề 01 - 2015
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng 12 : Đề số 3
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng 12 : Đề số 3
Thi thử đại học 12 : Đề thi thử Đại học 2014- 2015
Thi thử đại học 12 : Đề thi thử Đại học 2014- 2015
PEN-I: môn Hoá học - thầy Phạm Ngọc Sơn 12 : Đề số 03
PEN-I: môn Hoá học - thầy Phạm Ngọc Sơn 12 : Đề số 03
PEN-I: môn Sinh học - thầy Nguyễn Thành Công 12 : Đề thi tự luyện số 03
PEN-I: môn Sinh học - thầy Nguyễn Thành Công 12 : Đề thi tự luyện số 03
PEN-I: môn Tiếng Anh - cô Nguyệt Ca 12 : Đề thi tự luyện số 02 (Đề Online)
PEN-I: môn Tiếng Anh - cô Nguyệt Ca 12 : Đề thi tự luyện số 02 (Đề Online)
PEN-I: môn Vật lí - thầy Bùi Gia Nội (TB - TB Khá) 12 : Đề số 4
PEN-I: môn Vật lí - thầy Bùi Gia Nội (TB - TB Khá) 12 : Đề số 4
Thi thử đại học 12 : Đề tự luyện miễn phí
Thi thử đại học 12 : Đề tự luyện miễn phí
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi 12 : Đề thi tự luyện số 01
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi 12 : Đề thi tự luyện số 01




Múi giờ GMT +7. Hiện tại là 10:20.
Powered by: vBulletin v3.x.x Copyright ©2000-2014, Jelsoft Enterprises Ltd.

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 196/GXN-TTĐT Cục Quản lý PTTH&TTĐT cấp ngày 11/11/2011.