Diễn đàn học tập của Hocmai.vn
Liên hệ quảng cáo: xem chi tiết tại đây

Diendan.hocmai.vn - Học thày chẳng tày học bạn! » Toán » Toán lớp 12 » Nguyên hàm và tích phân » [toán 12]Tích phân với hàm hữu tỷ




Trả lời
  #1  
Cũ 13-01-2013
ductri_vn ductri_vn đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 09-07-2010
Bài viết: 7
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 6 lần
[toán 12]Tích phân với hàm hữu tỷ

Đối tượng: Ôn thi đại học
Mục đích: Topic này lập ra với mong muốn sẽ giúp các bạn giải được tất cả các tích phân hàm hữu tỷ
Nội dung:
Đề bài: Tính tích phân dạng \frac{P(x)}{Q(x)}
Trong đó P(x) là đa thức theo x, bậc n
Q(x) là đa thức theo x, bậc m
TH1: n>=m
Chia đa thức P(x) cho Q(x)được thương và số dư R(x) có bậc nhỏ hơn m, giải tích phân \frac{R(x)}{Q(x)} theo TH2.
TH2: n<m
B1: Phân tích Q(x) về dạng: Q(x) = (a_1x+b_1)^A(a_2x+b_2)^B...(c_1x^2+d_1x+e_1)^C(c_2  x^2+d_2x+e_2)^D...
Tất nhiên các đa thức c_1x^2+d_1x+e_1,c_2x^2+d_2x+e_2 không có nghiệm
B2: Đồng nhất thức \frac{P(x)}{Q(x)} về các số hạng hữu tỷ (dạng phân số) với các mẫu số lấy từ các thừa sô phân tích được của Q(x) ở trên, theo quy tắc:
Bậc của tử luôn nhỏ hơn bậc của mẫu.
Số mũ của mẫu số bằng bao nhiêu thì khi phân tích ta có bấy nhiêu phân số, theo thứ tự bậc tử số tăng dần, từ 0 đến bậc của mẫu - 1.

Bài tập ví dụ:
Vd1. \int\limits_{a}^{b} \frac{2x-3}{x^3-5x^2+6x}

B1: Q(x) = x^3-5x^2+6x=x(x-2)(x-3)
B2: Với mỗi thừa số của mẫu sẽ tương ứng với 1 phân số được tách ra, mà các thừa số này đều là bậc 1 nên bậc của mỗi tử số là bậc 0, tức là hằng số
Ta có \frac{2x-3}{x^3-5x^2+6x} = \frac{a}{x} +\frac{b}{x-2} + \frac{c}{x-3}
Tới đây quy đồng lên và đồng nhất thức ta được a=-0.5 b=-0.5 và c=1
Tới đây việc tính tích phân chỉ cần dùng công thức.
Lưu ý: Ngoài việc phải đồng nhất thức bằng cách quy đồng, cho vào các giá trị đặc biệt thì các bạn có thể làm nhanh như sau:
Để tìm a, cho x= 0 thay vào biểu thức \frac{2x-3}{(x-2)(x-3)}
Để tìm b, cho x=2 thay vào biểu thức  \frac{2x-3}{x(x-3)}
Để tìm c, cho x=3 thay vào biểu thức  \frac{2x-3}{x(x-2)}
Vd2. \int\limits_{a}^{b}\frac{x^3+x-1}{x^2+5x-4}dx

Ta có \frac{x^3+x-1}{x^2+5x+4} = x - 5 + \frac{22x+19}{x^2+5x+4} = x - 5 + \frac{22x+19}{(x+1)(x+4)}
Việc tách biểu thức hữu tỷ sau ra giống như ví dụ 1
\frac{22x+19}{(x+1)(x+4)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4}
Tới đây các bạn tự giải tiếp
Vd3. \int\limits_{a}^{b}\frac{2x-3}{(x-1)^2(x^2+2x+5}dx

Mẫu số gồm 2 thừa số (x-1)(x^2+2x+5) nên ta sẽ tách ra thành 2 phân số với 2 mẫu số như trên.
Với (x-1), có bậc là 1, bậc tử nhỏ hơn nên tử phải là hằng số; nhưng vì có số mũ là 2 nên việc tách ra lại gồm 2 phân số, cụ thể là \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2}
Với (x^2+2x+5) có bậc là 2 nên bậc tử là 1, ứng với phân số \frac{cx+d}{x^2+2x+5}
Vậy \frac{2x-3}{(x-1)^2(x^2+2x+5}= \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{cx+d}{x^2+2x+5}
Đồng nhất thức, theo cách trên, riêng với mẫu số vô nghiệm thì có thể cho nghiệm là số phức rồi đồng nhất theo số thực, ảo. Còn nếu không cứ đồng nhất thức theo cách thường.
Việc xử lý tích phân\frac{cx+d}{x^2+2x+5} chắc nhiều bạn biết rồi, nhưng mình xin nói thêm cho chắc. Tách tích phân ra làm 2 \frac{P(x)}{x^2+2x+5} + \frac{Q(x)}{x^2+2x+5}
Trong đó P(x) là đạo hàm của mẫu, còn Q(x) là số dư, trong TH này là hàm hằng số. Tới đây chắc ai cũng làm được

(Tổng hợp)

Thay đổi nội dung bởi: huutho2408, 14-01-2013 lúc 19:23.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 3 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến ductri_vn với bài viết này:
  #2  
Cũ 20-01-2013
ngoc1thu2 ngoc1thu2 đang ngoại tuyến
Thành viên
Tổ phó
 
Tham gia : 19-07-2012
Đến từ: thanh hoa
Bài viết: 254
Điểm học tập:108
Đã cảm ơn: 87
Được cảm ơn 62 lần
tìm nguyên hàm

$\frac{3x^2-2x}{x^3-2x+5}dx$

.................................................. ............................................

Thay đổi nội dung bởi: ngoc1thu2, 20-01-2013 lúc 04:45.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời

Chia sẻ/đánh dấu bài viết


Ðiều chỉnh Tìm trong bài viết
Tìm trong bài viết:

Tìm chi tiết
Xếp bài

Quyền hạn của bạn
Bạn không thể tạo chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể đăng tập đính kèm
Bạn không thể sửa bài của mình

BB codeMở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

 
Bài giảng mới

Đề thi mới
Toán 12 : Bài 10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương
Toán 12 : Bài 10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương
Toán 12 : Bài 9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
Toán 12 : Bài 9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
Toán 12 :   Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
Toán 12 : Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
Toán 12 : Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian
Toán 12 : Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian
Toán 12 :    Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
Toán 12 : Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
Toán 12 : Phương trình mặt phẳng
Toán 12 : Phương trình mặt phẳng
Toán 12 :   Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
Toán 12 : Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
Toán 12 :   Bài 2. Mặt cầu
Toán 12 : Bài 2. Mặt cầu
Toán 12 :    Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay
Toán 12 : Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay
Toán 12 :  Chương I. Khối đa diện
Toán 12 : Chương I. Khối đa diện




Múi giờ GMT +7. Hiện tại là 09:27.
Powered by: vBulletin v3.x.x Copyright ©2000-2014, Jelsoft Enterprises Ltd.

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 196/GXN-TTĐT Cục Quản lý PTTH&TTĐT cấp ngày 11/11/2011.