Diễn đàn học tập của Hocmai.vn
Liên hệ quảng cáo: xem chi tiết tại đây

Diendan.hocmai.vn - Học thày chẳng tày học bạn! » Toán » Toán lớp 9 » Đại số » Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức




Trả lời
  #1  
Cũ 21-09-2008
khanh3294's Avatar
khanh3294 khanh3294 đang ngoại tuyến
Thành viên
 
Tham gia : 23-08-2008
Bài viết: 27
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 26 lần
Post Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa
- Lập hiệu A-B
- Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B \geq0
- Kết luận A \geqB
- Xét trường hợp A=B khi nào

VD: CMR:
 \frac{b}{a}+ \frac{a}{b}\geq2 với mọi a, b cùng dấu.

CM: Ta có:
 \frac{b}{a}+ \frac{a}{b} -2 = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab}= \frac{(a-b)^2}{ab}
a, b cùng dấu => ab>o =>  \frac{(a-b)^2}{ab}\geq0
Vậy  \frac{b}{a}+ \frac{b}{a}\geq2
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b ./.

Bài tập tương tự : CMR:
 \frac{1}{1+a^2}+ \frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}
với ab>1


Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp
- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
 A=A1=A2= ... = B+M^2
 M^2 \geq0 nên  B+M^2\geq B
=> a\geq B
Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0


VD: CMR:  x^2-4x+3\geq-1
với mọi x
CM:
Ta có:  x^2-4x+3 = -1+(x-2)^2 \geq-1

=>  x^2-4x+3\geq-1
Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2

Bài tập tương tự:CMR:
 \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+... +\frac{1}{99.100} <1

Phương pháp 3: Phương pháp so sánh
- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra đpcm.
A=A_1=A_2=...=A_n
B=B_1=B_2= ...= B_n

Nếu A_n\geq B_nthi A\geq B


VD: CMR:  200^{300}>300^{200}
CM: 200^{300}= (200^3)^{100}= 8000000^{100}
300^{200}= (300^2)^{100}= 90000^{100}
=> 200^{300}>300^{200}

Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số
Cho 3 số dương a,b,c :
Nếu \frac{a}{b}<1 thì \frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}
Nếu \frac{a}{b}>1 thì \frac{a}{b}>\frac{(a+c)}{(b+c)}
Nếu b,d>o thì từ  \frac{a}{b}<\frac{c}{d}=>\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{  (b+d)}<\frac{c}{d}


VD: a,b,c là 3 số dương. CMR:
1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{a+c}<2
CM:
Do c>o =>\frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c} (3)
Tương tự ta có : \frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{c+b}<\frac{a+b}{a+b+c} (4)
và: \frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c} (5)
cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:
1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{a+c}<2 (đpcm)

Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:\frac{a_1}{b_1}\leq\frac{a_2}{b_2}\leq\frac{a_3}{b  _3}
CMR: \frac{a_1}{b_1}\leq\frac{a_1+a_2+a_3}{b_1+b_2+b_3}  \leq\frac{a_3}{b_3}

Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng.
Chú ý các BĐT sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
-(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2d  c
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)


VD: Cho a,b là các số thực. CMR:
a^2+b^2+1\geq ab+a+b
CM:
Ta có: a^2+b^2+1\geq ab+a+b
<=>(a^2+b^2+1)-2(ab+a+b)\geq0
<=>(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)\geq0
<=>(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\geq0 (luôn đúng)
=>đpcm

Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực. CMR:
\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq2(\frac{  1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})

Phương pháp 6: Phương pháp làm trội

Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
 S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n
là biểu diễn số hạng tổng quát  u_k về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau :  u_k=a_k-a_{k+1}
Lúc đó :  S_n=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+...+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}

-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn P_n=u_1u_2.....u_n là biểu diễn số hạng tổng quát  u_k về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau u_k=\frac{a_k}{a_k+1}
Lúc đó P_n=\frac{a_1a_2}{a_2a_3}....\frac{a_{n-1}a_n}{a_na_{n+1}}=\frac{a_1}{a_{n+1}}



VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
a,
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}\<2-\frac{1}{n}(k>1)

b,
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}\<5/3

CM:
a.
Với k>1 ta có
\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k.(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\
Lần lượt thay k=2,3,..,n rồi cộng lại có:
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n} => đpcm
b.
Với mọi k>1 ta có:
\frac{1}{k^2}=\frac{4}{4k^2}<\frac{4}{4k^2-1}=\frac{4}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{2[(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=2(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})
Vậy :
\frac{1}{k^2}<2(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})
Lần lượt thay k=2,3,...,n vào rồi cộng lại ta được:
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<1+2(  \frac{1}{3}+\frac{1}{2n+1})<1+\frac{2}{3}=\frac{5}  {3}

Bài tập tương tự
CMBĐT: :\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}  }+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2

Phương pháp 7:Phương pháp lượng giác

Sử dụng điều kiện của biến|x|\leq k=>k>0
Đặt x=ksina với  \frac{-\pi}{2}\leq a\leq\frac{\pi}{2} hoặc x=kcosa với 0\leq a\leq \pi




VD: |a\sqrt{9-a^2}+4a|\leq15
CM: Điều kiện:
|a|\leq3.
Đặt a=3sin\alpha, \frac{-\pi}{2}\leq \alpha\leq\frac{\pi}{2}
Khi đó:|a\sqrt{9-a^2}+4a|=|3.3cos\alpha+4.3sin\alpha|
=3|3cos\alpha+4sin\alpha=15|\frac{3}{5}cos\alpha+\  frac{4}{5}sin\alpha|=15|cos\alpha-\beta|\leq15
với cos\beta=\frac{3}{5}, sin\alpha=\frac{4}{5}

Bài tập tương tự:
CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT:
(1-x)^n=(1+x)^n<2^n


Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác

Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c
|a-c|<b<a+c
|a-b|<c<a+b


VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR:
a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)
CM:
a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có :
0<a<b+c=>a^2<a(b+c)
0<b<a+c=>b^2<b(a+c)
0<c<b+a=>c^2<c(b+a)
Cộng vế với vế của BĐT trên ta được
a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca) (đpcm)

Bài tập tương tự:
Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác. CMR:
a,abc\geq(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
b,a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)<0
với a<b<c


Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp

Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau :
+ Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)
+ Giả sử BĐT T(k) đúng
+ Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng
Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n


VD: CMR với n>2 ta có :  2^n>2n+1

CM:

Với n=3 ta có  2^3>2.3+1 <=>8>7 BĐT đúng
Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là:
 2^k>2k+1
Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM:  2^{k+1}>2(k+1)+1
Thật vậy, ta có:
 2^{k+1}=2.2^k=4k+2>2k+3=2(k+1)+3
Vậy BĐT đúng với mọi n

Bài tập tương tự:
 CMR:(2n)!<2^{2n}(n!)^2

Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi

Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :
 f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2) }{2} /x1, x2\in (a,b)
Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2
Khi đó:  f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}) \leq\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) }{n} (1)
với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi  x_1=x_2=...=x_n


VD:
CMR: Nếu  x,y \in[o,\pi] thì \frac{sinx+siny}{2}\leq sin(\frac{x+y}{2})
CM:
Ta có:  \frac{sinx+siny}{2}=sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})\leq sin{\frac{x+y}{2}}
 cos{\frac{x-y}{2}}\leq1
 sin{\frac{x+y}{2}}\geq0({0\leq\frac{x+y}{2}\leq\pi  })
Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)=-sinx\leq0 nên f(x) là hàm lõm trên  [0,\pi] và ta có BĐT 1
Bài tập tương tự:
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác, CMR:
 sinA+sinB+sinC\leq\frac{3sqrt{3}}{2}


Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm

Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.
Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * )
Biện luận phương trình ( * ) theo y, =>  y\in(A,B)
=>đpcm


VD: CMR: \frac{1}{3}\leq\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\leq3 với mọi x
CM:
Đặt : y=\frac{1}{3}\leq\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1} có miền xác định D=R
=> (y-1)x^2-(y+1)x+y-1=0 có nghiệm

+, Với y=1=>x=0
+>Với y khác 1, ta có
\Delta\geq0 <=>(y+1)^2-4(y-1)^2\geq0 <br />
<=>\frac{1}{3}\leq y\leq3 (đpcm)

Bài tập tương tự:
CMR:  \frac{2x^2-x+1}{2x^2+x+1}>\frac{1}{3} với mọi x

Phương pháp 13: Dùng đạo hàm
Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)
+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b]. Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)
+ Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b]. Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)


VD: CMR :e^x>1+x với mọi x khác 0
CM:
đặt f(x)=e^x-x-1. Khi đó f'(x)=e^x-1
* Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi x\geq0. Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>e^x>x+1
* Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0. Dó đó f(x)>f(0)=0 =>e^x>x+1
Vậy e^x>1+x với mọi x khác 0
Bài tập tương tự: CMR với x\in(0,\frac{\pi}{2}) thì 2^{sinx}+2^{tanx}\geq2^x+1

Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 14 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến khanh3294 với bài viết này:
  #2  
Cũ 09-06-2009
hot_spring's Avatar
hot_spring hot_spring đang ngoại tuyến
Thành viên
Tổ phó
 
Tham gia : 11-02-2009
Đến từ: The place where wishes come true
Bài viết: 203
Đã cảm ơn: 85
Được cảm ơn 108 lần
Trích:
Nguyên văn bởi khanh3294 Xem Bài viết
Phương pháp 13: Dùng đạo hàm
Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)
+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b]. Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)
+ Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b]. Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)


VD: CMR :e^x>1+x với mọi x khác 0
CM:
đặt f(x)=e^x-x-1. Khi đó f'(x)=e^x-1
* Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi x\geq0. Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>e^x>x+1
* Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0. Dó đó f(x)>f(0)=0 =>e^x>x+1
Vậy e^x>1+x với mọi x khác 0
Bài tập tương tự: CMR với x\in(0,\frac{\pi}{2}) thì 2^{sinx}+2^{tanx}\geq2^x+1
Lớp 9 cũng biết và được phép dùng đạo hàm trong bài thi hả em?
__________________
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #3  
Cũ 09-06-2009
jupiter994's Avatar
jupiter994 jupiter994 đang ngoại tuyến
Thành viên
Tổ trưởng
 
Tham gia : 29-03-2009
Đến từ: Moon(i'm boy >.<)
Bài viết: 304
Đã cảm ơn: 77
Được cảm ơn 155 lần
bài thi chuyên em vẫn xài đạo hàm mà chứ thi chung làm vào là chết
__________________
Trời đất ơi , sao mà đấm mãi không trúng thê này !!!
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #4  
Cũ 09-06-2009
demon_tg demon_tg đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 05-06-2009
Bài viết: 31
Đã cảm ơn: 4
Được cảm ơn 8 lần
mình dọc phần dạo hàm và lượng chả hiểu gì hết
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #5  
Cũ 10-06-2009
love_is_everything_96's Avatar
love_is_everything_96 love_is_everything_96 đang ngoại tuyến
Thành viên
Bàn phó
 
Tham gia : 30-03-2009
Bài viết: 57
Đã cảm ơn: 1
Được cảm ơn 17 lần
Trích:
Nguyên văn bởi jupiter994 Xem Bài viết
bài thi chuyên em vẫn xài đạo hàm mà chứ thi chung làm vào là chết
Ặc ặc, tốt nhất đừng nên cho vào bài thi (kể cả chuyên)
@hot_spring: Mấy cái tính chất trên có liên quan gì đến đạo hàm đâu?
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #6  
Cũ 30-03-2011
canhcutndk16a.'s Avatar
canhcutndk16a. canhcutndk16a. đang ngoại tuyến
MEM VIP
Cống hiến vì cộng đồng
Bí thư liên chi
 
Tham gia : 30-01-2011
Đến từ: [Bắc Cực ] Nhà hát của những giấc mơ
Bài viết: 3,187
Điểm học tập:806
Đã cảm ơn: 1,944
Được cảm ơn 3,360 lần
Bài này khá hay, mọi người làm thử nhé:

{x}^{2} +{y}^{2}+ {z}^{2} =3

Tìm min:
P= \frac{x}{y\sqrt{y}} + \frac{y}{z\sqrt{z}}+ \frac{z}{x\sqrt{x}}
__________________
[IMG][/IMG] :


__________________________________________________
Những người muôn năm cũ...
...Hồn ở đâu bây giờ
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 2 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến canhcutndk16a. với bài viết này:
  #7  
Cũ 27-05-2012
duypro.95 duypro.95 đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 06-05-2012
Bài viết: 6
Điểm học tập:6
Đã cảm ơn: 0
Được cảm ơn 2 lần
nhieu cach giai rat hay. that la thu vi. cac ban hay tham khao nhieu vao nha
Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời

Chia sẻ/đánh dấu bài viết


Ðiều chỉnh Tìm trong bài viết
Tìm trong bài viết:

Tìm chi tiết
Xếp bài

Quyền hạn của bạn
Bạn không thể tạo chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể đăng tập đính kèm
Bạn không thể sửa bài của mình

BB codeMở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

 
Bài giảng mới
Luyện thi quốc gia PEN-C: Môn Hoá học (Thầy Phạm Ngọc Sơn) :  Bài 61. Luyện tập
Luyện thi quốc gia PEN-C: Môn Hoá học (Thầy Phạm Ngọc Sơn) : Bài 61. Luyện tập
Luyện thi quốc gia PEN-C: Môn Hoá học (Thầy Phạm Ngọc Sơn) :  Bài 60. Phương pháp quy đổi
Luyện thi quốc gia PEN-C: Môn Hoá học (Thầy Phạm Ngọc Sơn) : Bài 60. Phương pháp quy đổi
Định Dạng và Giải Bài Tập Dao động cơ - Thầy Đỗ Ngọc Hà : Bài 4. Cắt, nối, ghép lò xo lí tưởng cho con lắc lò xo. Các dạng bài đặc biệt
Định Dạng và Giải Bài Tập Dao động cơ - Thầy Đỗ Ngọc Hà : Bài 4. Cắt, nối, ghép lò xo lí tưởng cho con lắc lò xo. Các dạng bài đặc biệt
Định Dạng và Giải Bài Tập Dao động cơ - Thầy Đỗ Ngọc Hà : Bài 3. Năng lượng con lắc lò xo tổng hợp và nâng cao
Định Dạng và Giải Bài Tập Dao động cơ - Thầy Đỗ Ngọc Hà : Bài 3. Năng lượng con lắc lò xo tổng hợp và nâng cao
Toán nâng cao lớp 7 :  Bài 9. Tam giác (tiết 9)
Toán nâng cao lớp 7 : Bài 9. Tam giác (tiết 9)
Toán nâng cao lớp 7 :  Bài 8. Tam giác (tiết 8)
Toán nâng cao lớp 7 : Bài 8. Tam giác (tiết 8)
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 :  Bài 9.Ôn tập chương 2 (tiết 2)
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 : Bài 9.Ôn tập chương 2 (tiết 2)
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 :  Bài 8.Ôn tập chương 2 (tiết 1)
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 : Bài 8.Ôn tập chương 2 (tiết 1)
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 :  Bài 7.Biến đổi biểu thức hữu tỉ (tiết 2)>
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 : Bài 7.Biến đổi biểu thức hữu tỉ (tiết 2)>
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 :  Bài 6.Biến đổi biểu thức hữu tỉ (tiết 1)
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 : Bài 6.Biến đổi biểu thức hữu tỉ (tiết 1)

Đề thi mới
PEN-I: môn Hoá học - thầy Phạm Ngọc Sơn 12 : Đề số 01
PEN-I: môn Hoá học - thầy Phạm Ngọc Sơn 12 : Đề số 01
Vật lí 12 : Đề kiểm tra năng lực môn Vật lí - Dành cho hoc sinh lớp 12 _ thang 11
Vật lí 12 : Đề kiểm tra năng lực môn Vật lí - Dành cho hoc sinh lớp 12 _ thang 11
Internal Test 9 : Hocmai.vn Contest 3 (2014.11)
Internal Test 9 : Hocmai.vn Contest 3 (2014.11)
Thi thử đại học 12 : Đề đánh giá năng lực môn Tiếng Anh - Dành cho học sinh lớp 13
Thi thử đại học 12 : Đề đánh giá năng lực môn Tiếng Anh - Dành cho học sinh lớp 13
Thi thử đại học 12 : Đề kiểm tra năng lực môn Tiếng Anh tháng 11 - Dành cho học sinh lớp 12
Thi thử đại học 12 : Đề kiểm tra năng lực môn Tiếng Anh tháng 11 - Dành cho học sinh lớp 12
Tiếng Anh 10 - cô Nguyễn Thị Phương 10 : Revision test 1+2+3
Tiếng Anh 10 - cô Nguyễn Thị Phương 10 : Revision test 1+2+3
Hóa học 10 : Chương IV. Phản ứng hoá học
Hóa học 10 : Chương IV. Phản ứng hoá học
Hóa học 10 : Chương III. Liên kết hóa học
Hóa học 10 : Chương III. Liên kết hóa học
Hóa học 10 : Chương I. Nguyên tử
Hóa học 10 : Chương I. Nguyên tử




Múi giờ GMT +7. Hiện tại là 18:17.
Powered by: vBulletin v3.x.x Copyright ©2000-2014, Jelsoft Enterprises Ltd.

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 196/GXN-TTĐT Cục Quản lý PTTH&TTĐT cấp ngày 11/11/2011.