Diễn đàn học tập của Hocmai.vn
Liên hệ quảng cáo: xem chi tiết tại đây

Diendan.hocmai.vn - Học thày chẳng tày học bạn! » Toán » Lớp 8 » Đại số » CM BĐT với , b, c >0

Thi thử đại học 2014



Trả lời
  #2  
Cũ 02-07-2012
vansang02121998's Avatar
vansang02121998 vansang02121998 đang ngoại tuyến
MEM VIP
Bí thư
 
Tham gia : 21-11-2010
Đến từ: THPT chuyên Nguyễn Trãi
Bài viết: 1,505
Điểm học tập:695
Đã cảm ơn: 122
Được cảm ơn 1,035 lần
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{c^2a^2} \geq 2.\frac{a^2b^2}{c^2}$

$\frac{b^6}{c^2a^2}+\frac{c^6}{a^2b^2} \geq 2.\frac{b^2c^2}{a^2}$

$\frac{c^6}{a^2b^2}+\frac{a^6}{b^2c^2} \geq 2.\frac{c^2a^2}{b^2}$

$\Rightarrow 2(\frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{c^2a^2}+\frac{c^6} {a^2b^2}) \geq 2(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a ^2}{b^2})$

$\Leftrightarrow \frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{c^2a^2}+\frac{c^6}{a ^2b^2} \geq \frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2 }{b^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có


$\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2} \geq 2a^2$

$\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{b^2c^2}{a^2} \geq 2c^2$

$\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2b^2}{c^2} \geq 2b^2$

$\Rightarrow 2(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c ^2}{b^2}) \geq 2(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow \frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{b^2c^2 }{a^2} \geq a^2+b^2+c^2$

Ta có $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0 \forall a;b;c$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc) \geq 0$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+ac+bc)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$

$\Rightarrow \frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{b^2c^2 }{a^2} \geq ab+ac+bc$

$\Rightarrow \frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{c^2a^2}+\frac{c^6}{a ^2b^2} \geq ab+ac+bc$
Trả Lời Với Trích Dẫn Đúngdaovuquang Đáp án hay hơn Thông báo xác nhận sai
Có 2 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến vansang02121998 với bài viết này:
  #3  
Cũ 02-07-2012
bboy114crew's Avatar
bboy114crew bboy114crew đang ngoại tuyến
MEMVIP
Có chí thì nên
Tớ là ếch xanh
Am hiểu Âm Nhạc
Bí thư
 
Tham gia : 10-01-2010
Đến từ: THPT chuyên KHTN Đại học Quốc gia Hà Nội
Bài viết: 1,747
Điểm học tập:1349
Đã cảm ơn: 1,651
Được cảm ơn 1,868 lần
Lớp 8 mà làm mấy bài này hả?
1)Theo AM-GM ta có:
$\frac{a^5}{b^2}+ab^2 \ge 2a^3$
Làm tương tự ròi cộng lại ta được:
$\sum \frac{a^5}{b^2} \ge 2\sum a^3-\sum ab^2$
Ta sẽ chứng minh:
$2\sum a^3 \ge \sum ab(a+b)$
Điều này hiển nhiên đúng do:
$a^3+b^3 \ge ab(a+b);c^3+b^3 \ge cb(c+b);a^3+c^3 \ge ac(a+c)$
3) Cho $a=b=c=1$ thì BĐT sai!
__________________

Offline dài dài......

Thay đổi tất cả ....

Thay đổi nội dung bởi: bboy114crew, 02-07-2012 lúc 19:33.
Trả Lời Với Trích Dẫn Đúngdaovuquang Đáp án hay hơn Thông báo xác nhận sai
  #4  
Cũ 02-07-2012
nhocdangyeu789 nhocdangyeu789 đang ngoại tuyến
Thành viên
Thành viên của lớp
 
Tham gia : 01-04-2012
Bài viết: 18
Đã cảm ơn: 14
Được cảm ơn 4 lần
Trích:
Nguyên văn bởi bboy114crew Xem Bài viết
Lớp 8 mà làm mấy bài này hả?
1)Theo AM-GM ta có:
$\frac{a^5}{b^2}+ab^2 \ge 2a^3$
Làm tương tự ròi cộng lại ta được:
$\sum \frac{a^5}{b^2} \ge 2\sum a^3-\sum ab^2$
Ta sẽ chứng minh:
$2\sum a^3 \ge \sum ab(a+b)$
Điều này hiển nhiên đúng do:
$a^3+b^3 \ge ab(a+b);c^3+b^3 \ge cb(c+b);a^3+c^3 \ge ac(a+c)$
3) Cho $a=b=c=1$ thì BĐT sai!
em mới lớp 8 mà, ko thể hiểu được, anh có thể làm như vansang dc ko, thầy giáo cho ở phần cauchy mà
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #5  
Cũ 04-07-2012
vansang02121998's Avatar
vansang02121998 vansang02121998 đang ngoại tuyến
MEM VIP
Bí thư
 
Tham gia : 21-11-2010
Đến từ: THPT chuyên Nguyễn Trãi
Bài viết: 1,505
Điểm học tập:695
Đã cảm ơn: 122
Được cảm ơn 1,035 lần
$\sum$: Dấu này lên lớp 9 mới học ( mà hình như sgk k có )

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\frac{a^5}{b^2}+ab^2 \geq 2a^3$

$\frac{b^5}{c^2}+bc^2 \geq 2b^3$

$\frac{c^5}{a^2}+ca^2 \geq 2c^3$

$\Rightarrow \frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}+ab ^2+bc^2+ca^2 \geq 2(a^3+b^3+c^3)$

$\Leftrightarrow \frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2} \geq 2(a^3+b^3+c^3)-ab^2-bc^2-ca^2$

Ta có

$(a-b)^2(a+b) \geq 0 \forall a;b \geq 0$

$\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3 \geq 0$

$\Leftrightarrow a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2$

Chứng minh tương tự, ta có

$b^3+c^3 \geq b^2c+bc^2$

$c^3+a^3 \geq c^2a+ca^2)$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3) \geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3) - ab^2-bc^2-ca^2 \geq a^2b+b^2c+c^2a$

$\Rightarrow \frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2} \geq a^2b+b^2c+c^2a$

P/s: Bài 3 thay a=b=c=1 vào bất đẳng thức vẫn đúng, chỉ có bài 4 là sai thôi

Thay đổi nội dung bởi: vansang02121998, 04-07-2012 lúc 09:27.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời

Chia sẻ/đánh dấu bài viết


Ðiều chỉnh Tìm trong bài viết
Tìm trong bài viết:

Tìm chi tiết
Xếp bài

Quyền hạn của bạn
Bạn không thể tạo chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể đăng tập đính kèm
Bạn không thể sửa bài của mình

BB codeMở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

 
Bài giảng mới

Đề thi mới




Múi giờ GMT +7. Hiện tại là 20:52.
Powered by: vBulletin v3.x.x Copyright ©2000-2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Advertisement System V2.4 By   Branden

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 196/GXN-TTĐT Cục Quản lý PTTH&TTĐT cấp ngày 11/11/2011.