Diễn đàn học tập của Hocmai.vn
Liên hệ quảng cáo: xem chi tiết tại đây

Diendan.hocmai.vn - Học thày chẳng tày học bạn! » Toán » Toán lớp 12 » Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán » Vấn đề về các bài toán khoảng cách trong hình học không gian.




Trả lời
  #1  
Cũ 25-06-2012
duynhan1 duynhan1 đang ngoại tuyến
Moderator được yêu thích nhất năm 2010
Moderator tích cực nhất năm 2011
Cống hiến vì cộng đồng
Bí thư liên chi
 
Tham gia : 26-10-2008
Đến từ: THPT Sào Nam, Duy Xuyên, Quảng Nam.
Bài viết: 4,372
Điểm học tập:379
Đã cảm ơn: 1,457
Được cảm ơn 6,335 lần
Vấn đề về các bài toán khoảng cách trong hình học không gian.

Trong nhiều năm gần đây, bài toán khoảng cách hay được ra trong câu IV đề thi đại học, hôm nay mình viết bài viết này để chia sẻ 1 số kinh nghiệm giải bài toán này.

Vấn đề 1: Xác định khoảng cách từ chân đường vuông góc đến 1 mặt bên.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông (ABC). Biết SA=AB=AC=BC=a, tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài giải:
Hướng giải:
- Kẻ AM vuông góc BC (M thuộc BC).

- Kẻ AH vuông góc SM (H thuộc SM).
Khi đó AH chính là khoảng cách cần tìm.

Vấn đề 2: Xác định khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt bên.
Hướng làm: Quy về vấn đề 1, chu dù nó ở đâu đi nữa.

________________________________________

Sử dụng định lý sau (không cần chứng minh).
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại M thì ta có:
$d(A;(P)) = \frac{AM}{BM} . d(B;(P))$
________________________________________


Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông (ABC). Biết SA=AB=AC=BC=a, tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến (SBC).
Bài giải:
- AG cắt BC tại trung điểm M của BC.
- $GM = \frac13 AM \Rightarrow d(G;(SBC)) = \frac13 d(A;(SBC))$
- Quy về vấn đề 1.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc (ABC). Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SCD).
Bài giải:
- SG cắt AB tại trung điểm M của AB.
- $GS = \frac23 MS \Rightarrow d(G;(SCD) ) = \frac23 d( M; (SCD)) = \frac23 d(A;(SCD)) \text{(do AM//(SCD))}$
- Quy về vấn đề 1.

2 ví dụ là đủ rồi nhỉ..

Vấn đề 3: Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng chứa chân đường vuông góc
Khi mà mặt phẳng chứa chân đường vuông góc thì ta không có cách nào đưa về vấn đề 1 được, khi đó ta dùng THỂ TÍCH ĐỔI ĐỈNH

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC).
Bài giải:
Ta có: $d(B;(ACM)) = \frac{3V_{BACM}}{S_{\Delta ACM}}$.
- Tính $V_{SACM}$:
Áp dụng CT tỉ số thể tích ta có: $$\frac{V_{SACM}}{V_{SABC}} = \frac12 \Rightarrow V_{BACM} = \frac12 V_{S.ABC} = \frac12 . \frac13. \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} . 2a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$$
- Tính $S_{ACM}$:
+ Ta có AC rồi.
+ Kẻ $MH \bot AC \ (H \in AC)$ ta cần tính MH.
+ Kẻ $MK \bot AB \ (K \in AB)$, khi đó K là trung điểm AB
+ $KH = AK . \sin 60 = \frac{a}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$
+ $MK = \frac12 SA= a$
+ $\Rightarrow MH = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{19}}{4}$
Vậy là đã xong bài toán.
Các bạn thử lý giải vì sao lại kẻ $MK \bot AB$ nhé :) (chú ý là ta chưa sử dụng giả thiết M là trung điểm nên cần liên hệ nó lại).

Thay đổi nội dung bởi: duynhan1, 27-06-2012 lúc 17:24.
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #2  
Cũ 25-06-2012
duynhan1 duynhan1 đang ngoại tuyến
Moderator được yêu thích nhất năm 2010
Moderator tích cực nhất năm 2011
Cống hiến vì cộng đồng
Bí thư liên chi
 
Tham gia : 26-10-2008
Đến từ: THPT Sào Nam, Duy Xuyên, Quảng Nam.
Bài viết: 4,372
Điểm học tập:379
Đã cảm ơn: 1,457
Được cảm ơn 6,335 lần
Vấn đề 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng vuông góc.
Hướng làm: Tìm/tạo 1 mặt thẳng đi qua 1 trong 2 đường thẳng đó và vuông góc với đường thẳng còn lại...

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa BD và SC.
Bài giải:
Dễ nhận thấy $BD \bot (SAC)$.
Gọi O là giao điểm của AC và BD, kẻ $OH \bot SC \ (H \in SC)$.
Ta cũng có: $OH \bot BD$ do $BD \bot OH$
Do đó OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.

Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) vuông (ABC), SA=SB=2a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa BM và SC?
Hướng dẫn: Gọi N là trung điểm AB thì ta có $BM \bot (SNC)$

Vấn đề 5: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Hướng làm: Quy về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng (vấn đề 1, 2)

__________________________________________________ _______________

Nếu $d_1$ không song song với $d_2$, $d_2 \subset(P)$ thì ta có: $d(d_1;d_2) = d(d_1;(P))$
__________________________________________________ _______________


Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc (ABCD). Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài giải:
- Cách 1: Tạo mặt phẳng qua AC và song song với SD.
+ Từ giao điểm O của AC và BD, trong mặt phẳng SBD kẻ OM song song với SD (M thuộc SB).
+ Khi đó ta có $SD//(AOM)$ và do đó: $d(SD;AC) = d(SD;(AOM)) = d(D;(AOM) )$
+ Ta có CD cắt (AOM) tại trung điểm O của CD nên: $d(D;(AOM)) = d(C;(AOM))$
+ Quy về vấn đề 3.
- Cách 2: Tạo mặt phẳng qua SD và song song với AC.
+ Qua D, kẻ $Dx//AC$
+ Kẻ $AK \bot Dx\ (K \in Dx)$
+ Kẻ $AH \bot SK\ (H \in SK)$
+ AH chính là khoảng cách cần tìm.

Mình sẽ xem lại đề các năm trước, có gì thiếu mình sẽ bổ sung sau

Thay đổi nội dung bởi: duynhan1, 25-06-2012 lúc 22:20.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 16 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến duynhan1 với bài viết này:
  #3  
Cũ 25-06-2012
vitraitimanhcoemm's Avatar
vitraitimanhcoemm vitraitimanhcoemm đang ngoại tuyến
Thành viên
Bàn phó
 
Tham gia : 03-04-2012
Đến từ: ngang mat len hoi ong troi....con dang o dau..hj
Bài viết: 91
Điểm học tập:30
Đã cảm ơn: 3
Được cảm ơn 30 lần
Mấy bài toán ví dụ của cậu ý, mình muốn hỏi là chỉ cần nói điểm M thuộc trung điểm là sử dụng được luôn cái tỉ số đó hả cậu?

duynhan1: Trong bài viết mình đâu nhắc tới trung điểm đâu
Cái chỗ M mình gõ nhầm đấy, mình đã sửa lại rồi
Uh, chỗ ví dụ vấn đề 4 mình ghi thiếu đề, hic.
Thanks nhé!!
Lần sau bạn chú ý gõ có dấu nhé
__________________
+==>DAN THUONG choi dep
+=====>de bep DAN CHOI..!<==
Phai hoc vi mot tuong lai phia truoc
DO DAI HOC
DAI HOC XAY DUNG HA NOI_kien truc su tuong lai la...TOI!!

Thay đổi nội dung bởi: duynhan1, 25-06-2012 lúc 21:13.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có một thành viên đã cám ơn vitraitimanhcoemm vì bài viết này:
  #4  
Cũ 25-06-2012
maxqn's Avatar
maxqn maxqn đang ngoại tuyến
MEM VIP
Vạn sự khởi đầu nan
Bí thư
 
Tham gia : 16-04-2010
Đến từ: KTX ĐH Quốc tế - ĐHQGHCM
Bài viết: 2,395
Điểm học tập:777
Đã cảm ơn: 2,174
Được cảm ơn 2,001 lần
Bất cứ điểm nào mà ta xác định được tỉ số đều áp dụng cthức tỉ lệ đó đc
P.s: chắc qua PR cho cái topic bên box Toán 12 của mình lun wá T__T Bên đó ế chỏng ế chơ mà bên này mới lên đã nổi
Lên đúng thời điểm, hehe.
__________________
OFF


Facebook: [Hãy đăng kí thành viên hay đăng nhập để xem liên kết này.]




[Hãy đăng kí thành viên hay đăng nhập để xem liên kết này.]

V-Ak11 LQĐ BĐịnh - 2009 - 2012

Thay đổi nội dung bởi: duynhan1, 25-06-2012 lúc 21:13.
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #5  
Cũ 25-06-2012
rainbridge rainbridge đang ngoại tuyến
Thành viên
Thủ quỹ
 
Tham gia : 08-02-2012
Bài viết: 453
Điểm học tập:60
Đã cảm ơn: 409
Được cảm ơn 218 lần
Trích:
Nguyên văn bởi duynhan1 Xem Bài viết


Vấn đề 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Hướng làm: Quy về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng (vấn đề 1, 2)


Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc (ABCD). Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài giải:
- Cách 1: Tạo mặt phẳng qua AC và song song với SD.
+ Từ giao điểm O của AC và BD, trong mặt phẳng SBD kẻ OM song song với SD (M thuộc SB).
+ Khi đó ta có $SD//(AOM)$ và do đó: $d(SD;AC) = d(SD;(AOM)) = d(D;(AOM) )= OD$
vì sao d(D;(AOM) )= OD vậy bạn? nếu vậy thì OD vuông góc với (AOM), trong khi OD cũng vuông góc (SAC), mâu thuẫn rùi?
Lúc trưa mình làm vội quá, lộn chỗ này, mình sẽ sửa ngay, hic.

Thay đổi nội dung bởi: duynhan1, 25-06-2012 lúc 21:50.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có một thành viên đã cám ơn rainbridge vì bài viết này:
  #6  
Cũ 25-06-2012
duynhan1 duynhan1 đang ngoại tuyến
Moderator được yêu thích nhất năm 2010
Moderator tích cực nhất năm 2011
Cống hiến vì cộng đồng
Bí thư liên chi
 
Tham gia : 26-10-2008
Đến từ: THPT Sào Nam, Duy Xuyên, Quảng Nam.
Bài viết: 4,372
Điểm học tập:379
Đã cảm ơn: 1,457
Được cảm ơn 6,335 lần
Xin lỗi các bạn, trong bài viết lúc nãy có 1 vài sơ suất, mình đã sửa chữa và thêm 1 vấn đề nữa, các bạn xem lại giúp mình nhé.
Cảm ơn, hi
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #7  
Cũ 25-06-2012
truongduong9083's Avatar
truongduong9083 truongduong9083 đang ngoại tuyến
MEM VIP
Bí thư
 
Tham gia : 12-10-2011
Đến từ: Đến từ Hòa Bình
Bài viết: 2,252
Điểm học tập:3807
Đã cảm ơn: 1,050
Được cảm ơn 2,568 lần
mình xin tiếp ý kiến của bạn duy nhân

Mình thấy tô pic này rất hay vì đa số thí sinh khi đi thi đại học đều rất lo lắng về câu hình học không gian. Theo ý kiến của mình thì trong đề thi những năm gần đây thông thường câu hình học không gian thường rơi vào những ý sau
1. Tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
3. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Cũng sắp đến kì thi đại học rồi mình cũng xin đưa ra vài bài tập cùng các bạn thảo luận nhé
mong rằng trong đợt thi này chúng ta đạt kết quả tốt
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60^o. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB theo a.
Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ trực tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A'BC) bằng \frac{a\sqrt{3}}{12}. Tính thể tích khối lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho theo a.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 5 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến truongduong9083 với bài viết này:
  #8  
Cũ 26-06-2012
duynhan1 duynhan1 đang ngoại tuyến
Moderator được yêu thích nhất năm 2010
Moderator tích cực nhất năm 2011
Cống hiến vì cộng đồng
Bí thư liên chi
 
Tham gia : 26-10-2008
Đến từ: THPT Sào Nam, Duy Xuyên, Quảng Nam.
Bài viết: 4,372
Điểm học tập:379
Đã cảm ơn: 1,457
Được cảm ơn 6,335 lần
Trích:
Nguyên văn bởi truongduong9083 Xem Bài viết

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60^o. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB theo a.

Mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên ta suy ra: $SI \bot (ABCD)$.
Ta có: $\begin{cases} CD \bot SI \\ CD \bot ID \end{cases} \Rightarrow CD \bot (SID) $
Lại có:
.....$\begin{cases} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ SD \subset (SCD),\ SD \bot CD \\ ID \subset (ABCD),\ ID \bot CD \end{cases}$
Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc $\hat{SDI}$ (do $\hat{SDI}<90^o$).
Suy ra: $\hat{SDI} = 60^o$.
$\Rightarrow SI = ID. \tan 60^o = a \sqrt{3}$
Thể tích khối chóp S.ABCD là: $V_{S.ABCD} = \frac13 . \frac12(AB+CD) . AD . SI = a^3 \sqrt{3}$
*TÍnh khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB theo a:
Câu này nằm ở vấn đề 5, ta thấy việc tạo mặt phẳng song song với SB là khó khăn, nên ta sẽ tạo mặt phẳng song song với AD.
<Chuyển khoảng cách giữa 2 đường về khoảng cách giữa điểm và mặt>
Kẻ Bx//AD, ta suy ra: $AD // (SBx)$.
<Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc>
Suy ra: $d(AD;SB) = d(AD;(SBx)) = d(I;(SBx))$.
<Thực hiện các bước như đã trình bày ở vấn đề 1>
Kẻ $IK \bot Bx (K \in Bx)$, ta có: $BK \bot IK,\ BK \bot SI \Rightarrow BK bot (SIK)$.
Kẻ $IH \bot (SK) (H \in SK)$. Ta có:
.....$\begin{cases} IH \bot SK \\ IH \bot BK\ (do\ BK \bot (SIK)) \end{cases} \Rightarrow IH \bot (SBK)$
Suy ra khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBx) là IH.
Tính IH:
...Ta có: $IK =AB = 2a$.
...Xét tam giác $SIK$ vuông tại I, có IH là đường cao, ta suy ra: $IH = \frac{SI.IK}{\sqrt{SI^2+IK^2}} = \frac{2\sqrt{3} a^2 }{a \sqrt{7}} = \frac{2a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Kết luận: ......


Thay đổi nội dung bởi: duynhan1, 26-06-2012 lúc 09:19.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 7 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến duynhan1 với bài viết này:
  #9  
Cũ 26-06-2012
hoanghondo94's Avatar
hoanghondo94 hoanghondo94 đang ngoại tuyến
MEMVIP
Vạn sự khởi đầu nan
Lớp trưởng
 
Tham gia : 17-09-2011
Đến từ: chạng vạng
Bài viết: 1,072
Điểm học tập:751
Đã cảm ơn: 675
Được cảm ơn 1,737 lần
Trích:
Nguyên văn bởi truongduong9083 Xem Bài viết

Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ trực tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A'BC) bằng \frac{a\sqrt{3}}{12}. Tính thể tích khối lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho theo a.
[Hãy đăng kí thành viên hay đăng nhập để xem liên kết này.]
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ khi đó ta có $AM\perp BC$, mặt khác $ABC.A'B'C'$ là một hình lăng trụ đứng nên : $AA' \perp (ABC)\Rightarrow AA' \perp BC$ từ đó ta có : $BC \perp (A'AM)\Rightarrow A'M \perp BC \ (1)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(A'BC)$, lúc đó dễ thấy $OH \perp BC$ chú ý với $OM \perp BC$ suy ra $HM \perp BC\ (2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có : $A', H, M$ thẳng hàng. Bây giờ ta xét trong $(A'AM)$ ta có : $$\Delta MHO \sim \Delta MAA' \Rightarrow \frac{OH}{AA'}=\frac{MO}{MA'}$$Đặt $AA'=x$ ta có : $OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{12},\ OM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6},\ MA'=\sqrt{x^2+AM^2}=\sqrt{x^2+\dfrac{3a^2}{4}}$
Thay vào trên ta dễ dàng tính được : $AA'=x=\dfrac{a}{2}$. Từ đây : $V_{ABC.A'B'C'}=AA'.S_{ABC}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a^ 2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}\ \mbox{(đvtt)}$

Gọi $O'$ là tâm tam giác $A'B'C'$, $I$ là trung điểm của $OO'$ ta dễ dàng chứng minh được $I$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp của lăng trụ đã cho.

Giả sử bán kính của mặt cầu này là $R$ thì khi đó ta có : $$R=IA=\sqrt{IO^2+AO^2}=\sqrt{\frac{a^2}{16}+\frac {a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{57}}{12}$$
__________________






Trích:
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.


.

Thay đổi nội dung bởi: hoanghondo94, 26-06-2012 lúc 07:14.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 4 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến hoanghondo94 với bài viết này:
  #10  
Cũ 26-06-2012
rainbridge rainbridge đang ngoại tuyến
Thành viên
Thủ quỹ
 
Tham gia : 08-02-2012
Bài viết: 453
Điểm học tập:60
Đã cảm ơn: 409
Được cảm ơn 218 lần
Trích:
Nguyên văn bởi hoanghondo94 Xem Bài viết
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ khi đó ta có $AM\perp BC$, mặt khác $ABC.A'B'C'$ là một hình lăng trụ đứng nên : $AA' \perp (ABC)\Rightarrow AA' \perp BC$ từ đó ta có : $BC \perp (A'AM)\Rightarrow A'M \perp BC \ (1)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(A'BC)$, lúc đó dễ thấy $OH \perp BC$ chú ý với $OM \perp BC$ suy ra $HM \perp BC\  (2)$.

Từ $(1)$$(2)$ ta có : $A', H, M$ thẳng hàng.
Theo mình từ chỗ cm được BC vuông góc với (AA'M) ta suy ra (A'BC) vuông góc (AA'M)
Trong mp (AA'M) từ O kẻ OH vuông góc với A'M thì OH vuông góc mp(A'BC')
suy ra OH chính là khoảng cách từ O đến mp (A'BC)

có lẽ là đơn giản dễ hiểu hơn ko nhỉ ^^

Thay đổi nội dung bởi: rainbridge, 26-06-2012 lúc 09:14.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 3 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến rainbridge với bài viết này:
Trả lời

Chia sẻ/đánh dấu bài viết


Ðiều chỉnh Tìm trong bài viết
Tìm trong bài viết:

Tìm chi tiết
Xếp bài

Quyền hạn của bạn
Bạn không thể tạo chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể đăng tập đính kèm
Bạn không thể sửa bài của mình

BB codeMở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

 
Bài giảng mới

Đề thi mới
Toán 12 : Bài 10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương
Toán 12 : Bài 10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương
Toán 12 : Bài 9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
Toán 12 : Bài 9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
Toán 12 :   Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
Toán 12 : Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
Toán 12 : Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian
Toán 12 : Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian
Toán 12 :    Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
Toán 12 : Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
Toán 12 : Phương trình mặt phẳng
Toán 12 : Phương trình mặt phẳng
Toán 12 :   Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
Toán 12 : Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
Toán 12 :   Bài 2. Mặt cầu
Toán 12 : Bài 2. Mặt cầu
Toán 12 :    Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay
Toán 12 : Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay
Toán 12 :  Chương I. Khối đa diện
Toán 12 : Chương I. Khối đa diện




Múi giờ GMT +7. Hiện tại là 05:09.
Powered by: vBulletin v3.x.x Copyright ©2000-2014, Jelsoft Enterprises Ltd.

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 196/GXN-TTĐT Cục Quản lý PTTH&TTĐT cấp ngày 11/11/2011.