Diễn đàn học tập của Hocmai.vn
Liên hệ quảng cáo: xem chi tiết tại đây

Diendan.hocmai.vn - Học thày chẳng tày học bạn! » Toán » Toán lớp 7 » Đại số » Phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức




Trả lời
  #1  
Cũ 01-10-2011
harrypham's Avatar
harrypham harrypham đang ngoại tuyến
MEM VIP
Bí thư
 
Tham gia : 18-06-2011
Đến từ: HUS High School for Gifted Students
Bài viết: 2,186
Điểm học tập:3666
Đã cảm ơn: 1,761
Được cảm ơn 2,110 lần
Phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức

Bây giờ đang là một học sinh lớp 7, đã học qua về Tỉ lệ thức nhưng muốn cùng các bạn ôn lại vấn đề này. Vì đây là lượng kiến thức chủ yếu mà bạn học trong chương I sgk lớp 7 tập 1.

Qua các lớp bồi dưỡng thì mình cũng đã khám phá ra một số pp giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức, và mong muốn chia sẻ với các bạn.

Phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) Định nghĩa. Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số: \frac{a}{b}= \frac{c}{d}.

Trong tỉ lệ thức \frac{a}{b}= \frac{c}{d} (hoặc a:b = c:d) thì các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, các số hạng b và c gọi là trung tỉ.

Khi viết tỉ lệ thức \frac{a}{b}= \frac{c}{d}, ta luôn hiểu rằng b,d \neq 0.

2) Tính chất.

a) \frac{a}{b}= \frac{c}{d} \rightarrow ad=bc.

b) ad=bc \ (a,b,c,d \neq 0) \rightarrow \frac{a}{b}= \frac{c}{d}, \ \frac{d}{b} = \frac{c}{a}, \ \frac{a}{c}= \frac{b}{d}, \ \frac{d}{c}= \frac{b}{a}.

c) Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Đối với 2 tỉ số bằng nhau: \frac{a}{b}= \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}= \frac{a-c}{b-d} \ (b \neq \pm d).

Đối với 3 tỉ số bằng nhau: \frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{g}= \frac{a+c+e}{b+d+g}= \frac{a-c+e}{a-d+g}=....

Đối với n tỉ số bằng nhau: \frac{a_1}{b_1}= \frac{a_2}{b_2}=...= \frac{a_n}{b_n}= \frac{a_1 \pm a_2 \pm ... \pm a_n}{b_1 \pm b_2 \pm ... \pm b_n}

Lưu ý: Trong việc đối với n tỉ số bằng nhau, thì phải có 1 yêu cầu là phải cùng dấu giữa mỗi số (ví dụ như số a_1a_2 ở tử, b_1b_2 phải có cùng dấu).

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC

Có ba phương pháp cơ bản:

1. Phương pháp tích trung tỉ = tích ngoại tỉ (nhân tích chéo)
2. Phương pháp cm hai số có cùng giá trị (tức là đặt k = tỉ lệ thức)
3. Phương pháp vận dụng các t/c để biến đổi.

Phương pháp 1 và 2 là phương pháp đã có cơ sở từ trước nên rất dễ vận dụng, không phải tư duy nhiều nhưng nhiều lúc có lời giải khá dài.

Phương pháp 3 là một phương pháp cần nhiều tư duy, thường đem lại lời giải độc đáo, ngắn gọn.

Sau đây là một số ví dụ cơ bản.

VD1: Cho tỉ lệ thức \frac{a}{b}= \frac{c}{d}. Chứng minh rằng
\frac{ab}{cd}= \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}= \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}

VD2: Cho tỉ lệ thức \frac{a}{b}= \frac{c}{d}. Chứng minh rằng:

a) \frac{a}{a+b}= \frac{c}{d+c}
b) \frac{a}{a-b}= \frac{c}{c-d}

VD3: Tìm các số x,y,z biết \frac{1}{2}x= \frac{2}{3}y= \frac{3}{4}z x-y=15.


Bài 1,2 giải \ge 3 cách. Bài 3 càng tìm nhiều cách càng tốt.

(còn nữa, các dạng toán thường gặp về tỉ lệ thức...)






Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 59 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến harrypham với bài viết này:
abcdey, ailatrieuphu, bandmaster050598, banhbaoyeutoan, braga, chau7c7c7c, chieckhantiennu, chikarin123, computerscience, daigiangheo99, dinhgiadne, dtgiang02, greenday52k, hangnga_9xtb, hoahuongduong633, hoahuongduongks2002@gmail.com, hoaithuong0602, hongkute7d, iamadream, izamaek, i_love_u_forever, james_hook, jimmy_sj, jkjl, khonghanh, koi_kot_sotoan, ks374, kut3dethuong2521999, kwonminyoung, laploe, lengocminhtam, long09455, lovely_girl2002, luongductam1999, manhduyioe, nghiahung2000, ngocpllccc, ngtungson91, nguyenthimynhaso15@gmail.com, nh0k_yeu_thich_toan_99, nhokhongungo, o0okitteno0o, pandahieu, quan2002, quynguyentrong, rinkirigimine, sauxinh, socker, soicon_boy_9x, tanngoclai, hiensau99, toanzuizon_456, trangkh, trankinhtrong, truong_trucmai, tuannambt, vffvff, vvtuankiet2000, zorostudent
  #2  
Cũ 01-10-2011
soicon_boy_9x's Avatar
soicon_boy_9x soicon_boy_9x đang ngoại tuyến
Học - Học nữa - Học mãi
Bí thư
 
Tham gia : 19-07-2011
Đến từ: 10T THPT chuyên Lam Sơn
Bài viết: 2,035
Điểm học tập:2885
Đã cảm ơn: 397
Được cảm ơn 1,604 lần
VD1
* chững minh ab/cd=(a^2+b^2)/(c^2+d^2)
theo đề bài ta có
ab(c^2+d^2)=ab.c^2+ab.d^2=(a.c)(b.c)+(a.d)(b.d)
cd(a^2+b^2)=cd.a^2+cd.b^2=(c.a)(d.a)+(c.b)(d.b)
(a.c)(b.c)+(a.d)(b.d)=(c.a)(d.a)+(c.b)(d.b) vì mỗi vế đều bằng nhau
*chững minh (a^2+b^2)/(c^2+d^2)=(a+b)^2/(c+d)^2
ta có vì a/b=c/d=>a/c=b/d=>(a+b)/(c+d)=a/c=b/d=>(a+b)^2/(c+d)^2=
a^2/c^2=b^2/d^2=>(a+b)^2/(c+d)^2=(a^2+b^2)/(c^2+d^2)
viết cả 3 cách thì lâu lắm
1 cách thôi
__________________
Đừng đi qua thời gian mà không để lại dấu vết





Thành công chỉ đến khi bạn làm việc tận tâm và luôn nghĩ đến những điều tốt đẹp

Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 14 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến soicon_boy_9x với bài viết này:
  #3  
Cũ 01-10-2011
hiensau99's Avatar
hiensau99 hiensau99 đang ngoại tuyến
MEM VIP
Bí thư liên chi
 
Tham gia : 17-09-2010
Đến từ: Chuyên sư phạm
Bài viết: 7,011
Điểm học tập:1905
Đã cảm ơn: 3,023
Được cảm ơn 4,787 lần
Đang làm dở thì mẹ tranh máy. Mất cái tem. Ức chế >''<

~~> Chú ý ở diễn đàn mình không được dùng chữ đỏ nhé Toàn

VD1: C1:
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d} \frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}= \frac{ab}{cd}= \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}= \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}
(đpcm)

C2:
Từ \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\frac{a}{c}=\frac{b}{d}
Đặt: \frac{a}{c}=\frac{b}{d}=ka=bk; c=dk. Khi đó ta có:

+ \frac{ab}{cd}=\frac{b^2k}{d^2k}=\frac{b^2}{d^2} (1)

+ \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+  1)}=\frac{b^2}{d^2} (2)

+ \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}=\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+  1)}=\frac{b^2}{d^2} (3)

Từ (1),(2),(3) ta có: \frac{ab}{cd}= \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}= \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2} (đpcm)

C3:

+ ta có:
\frac{a}{c}=\frac{b}{d}
ad=bc ad(ca-bd)=bc(ac-bd)

a^2dc-abd^2=bac^2-b^2cd a^2dc+b^2cd=bac^2+abd^2

(a^2+b^2)cd=ab(c^2+d^2)

\frac{ab}{cd}= \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}
(1)

Từ ta có:

2cd(a^2+b^2)=2ab(c^2+d^2)

2cda^2+2db^2c=2abc^2+2abd^2

a^2c^2+a^2+d^2+b^2c^2+b^2d^2+2cda^2+2db^2c=a^2c^2+  a^2+d^2+b^2c^2+b^2d^2+2abc^2+2abd^2

(a^2+b^2)(c^2+d^2+2cd)= (c^2+d^2)(a^2+b^2+2ab)

(a^2+b^2)(c+d)^2= (c^2+d^2)(a+b)^2

\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}= \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2} (2)


- Từ (1) và (2) Ta có:\frac{ab}{cd}= \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}= \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2} (đpcm)
__________________
~~~~~ Hiền đã trở lại và ăn hại hơn xưa ~~~~~

Thay đổi nội dung bởi: thuhien_31031999, 01-10-2011 lúc 17:49.
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #4  
Cũ 01-10-2011
harrypham's Avatar
harrypham harrypham đang ngoại tuyến
MEM VIP
Bí thư
 
Tham gia : 18-06-2011
Đến từ: HUS High School for Gifted Students
Bài viết: 2,186
Điểm học tập:3666
Đã cảm ơn: 1,761
Được cảm ơn 2,110 lần
Cảm ơn Hiền, Toàn sẽ để ý.
Phần III thì Toàn dựa vào những gì đã học để nghĩ ra, nếu có gì sai sót mong các bạn giúp đỡ.

Hiện giờ mọi người cứ giải hết bài 2,3 đã.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 10 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến harrypham với bài viết này:
  #5  
Cũ 01-10-2011
braga's Avatar
braga braga đang ngoại tuyến
MEMVIP
Mod xuất sắc nhất năm 2013
Tài năng Bất Đẳng Thức
Bí thư
 
Tham gia : 17-09-2011
Đến từ: Nơi nào có Toán Học
Bài viết: 2,484
Điểm học tập:3785
Đã cảm ơn: 1,408
Được cảm ơn 2,706 lần
VD2b: Cách 1: Dể chứng minh a/(a-b)=c/(c-d), ta xét tích a(c-d)=c(c-d)
Ta có: a(c-d)=ac-ad (1)
c(a-b)=ac-bc
(2)
Ta lại có: a/b=c/d \Rightarrow ad=bc (3)
Từ (1),(2) và (3) \Rightarrow a(c-d)=c(a-b).Do đó a/(a-b)=c/(c-d)
Cách 2: Đặt a/b=c/d=k \Rightarrow a=bk, c=dk .Ta tính a/(a-b)=c/(c-d) theo k
a/(a-b) = bk/(bk-b)=bk/[b(k-1)]=k/(k-1) (1)
c/(c-d) = dk/(dk-d)=dk/[d(k-1)]=k/(k-1) (2)
Từ (1) và (2)
a/(a-b)=c/(c-d)
Cách 3: Hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức a/b=c/dđược a/c=b/d
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được a/c=b/d=(a-b)/(c-d)
hoán vị các trung tỉ của a/c=(a-b)/(c-d) được
a/(a-b)=c/(c-d)
Mình vẫn còn cách nữa: a/b=c/d \Rightarrow b/a=d/c \Rightarrow 1-b/a=1-d/c<br />
\Rightarrow (a-b)/a=(c-d)/c=
a/(a-b)=c/(c-d)

__________________
Nếu cuộc đời bạn là 1 chuỗi những con số 0
Vậy thì hãy cố tạo ra 1 con số khác 0 và đặt trước dãy số 0 đó !!!

Thay đổi nội dung bởi: braga, 29-10-2011 lúc 12:23.
Trả Lời Với Trích Dẫn
  #6  
Cũ 01-10-2011
soicon_boy_9x's Avatar
soicon_boy_9x soicon_boy_9x đang ngoại tuyến
Học - Học nữa - Học mãi
Bí thư
 
Tham gia : 19-07-2011
Đến từ: 10T THPT chuyên Lam Sơn
Bài viết: 2,035
Điểm học tập:2885
Đã cảm ơn: 397
Được cảm ơn 1,604 lần
Trích:
Nguyên văn bởi harrypham Xem Bài viết
Bây giờ đang là một học sinh lớp 7, đã học qua về Tỉ lệ thức nhưng muốn cùng các bạn ôn lại vấn đề này. Vì đây là lượng kiến thức chủ yếu mà bạn học trong chương I sgk lớp 7 tập 1.

Qua các lớp bồi dưỡng thì mình cũng đã khám phá ra một số pp giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức, và mong muốn chia sẻ với các bạn.

Phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) Định nghĩa. Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số: \frac{a}{b}= \frac{c}{d}.

Trong tỉ lệ thức \frac{a}{b}= \frac{c}{d} (hoặc a:b = c:d) thì các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, các số hạng b và c gọi là trung tỉ.

Khi viết tỉ lệ thức \frac{a}{b}= \frac{c}{d}, ta luôn hiểu rằng b,d \neq 0.

2) Tính chất.

a) \frac{a}{b}= \frac{c}{d} \rightarrow ad=bc.

b) ad=bc \ (a,b,c,d \neq 0) \rightarrow \frac{a}{b}= \frac{c}{d}, \ \frac{d}{b} = \frac{c}{a}, \ \frac{a}{c}= \frac{b}{d}, \ \frac{d}{c}= \frac{b}{a}.

c) Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Đối với 2 tỉ số bằng nhau: \frac{a}{b}= \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}= \frac{a-c}{b-d} \ (b \neq \pm d).

Đối với 3 tỉ số bằng nhau: \frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{g}= \frac{a+c+e}{b+d+g}= \frac{a-c+e}{a-d+g}=....

Đối với n tỉ số bằng nhau: \frac{a_1}{b_1}= \frac{a_2}{b_2}=...= \frac{a_n}{b_n}= \frac{a_1 \pm a_2 \pm ... \pm a_n}{b_1 \pm b_2 \pm ... \pm b_n}

Lưu ý: Trong việc đối với n tỉ số bằng nhau, thì phải có 1 yêu cầu là phải cùng dấu giữa mỗi số (ví dụ như số a_1a_2 ở tử, b_1b_2 phải có cùng dấu).

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC

Có ba phương pháp cơ bản:

1. Phương pháp tích trung tỉ = tích ngoại tỉ (nhân tích chéo)
2. Phương pháp cm hai số có cùng giá trị (tức là đặt k = tỉ lệ thức)
3. Phương pháp vận dụng các t/c để biến đổi.

Phương pháp 1 và 2 là phương pháp đã có cơ sở từ trước nên rất dễ vận dụng, không phải tư duy nhiều nhưng nhiều lúc có lời giải khá dài.

Phương pháp 3 là một phương pháp cần nhiều tư duy, thường đem lại lời giải độc đáo, ngắn gọn.

Sau đây là một số ví dụ cơ bản.

VD1: Cho tỉ lệ thức \frac{a}{b}= \frac{c}{d}. Chứng minh rằng
\frac{ab}{cd}= \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}= \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}

VD2: Cho tỉ lệ thức \frac{a}{b}= \frac{c}{d}. Chứng minh rằng:

a) \frac{a}{a+b}= \frac{c}{d+c}
b) \frac{a}{a-b}= \frac{c}{c-d}

VD3: Tìm các số x,y,z biết \frac{1}{2}x= \frac{2}{3}y= \frac{3}{4}z x-y=15.


Bài 1,2 giải \ge 3 cách. Bài 3 càng tìm nhiều cách càng tốt.

(còn nữa, các dạng toán thường gặp về tỉ lệ thức...)






bài 3 thì nhiều cách làm lắm nhưng làm cách lớp 5 cho dễ xơi
ta có tỉ lệ của x và y là
2/3:1/2(tỉ lệ nghịch)=4/3
=>x=60
y=45
z=60.1/2:3/4=40
__________________
Đừng đi qua thời gian mà không để lại dấu vết





Thành công chỉ đến khi bạn làm việc tận tâm và luôn nghĩ đến những điều tốt đẹp

Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 8 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến soicon_boy_9x với bài viết này:
  #7  
Cũ 01-10-2011
soicon_boy_9x's Avatar
soicon_boy_9x soicon_boy_9x đang ngoại tuyến
Học - Học nữa - Học mãi
Bí thư
 
Tham gia : 19-07-2011
Đến từ: 10T THPT chuyên Lam Sơn
Bài viết: 2,035
Điểm học tập:2885
Đã cảm ơn: 397
Được cảm ơn 1,604 lần
cách 2 nè
x-y=15
=>1/2x-1/2y=7,5
1/2x-2/3y=0
=>1/6y=7,5
=>y=45
=>x=60
=>z=40
__________________
Đừng đi qua thời gian mà không để lại dấu vết





Thành công chỉ đến khi bạn làm việc tận tâm và luôn nghĩ đến những điều tốt đẹp

Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 7 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến soicon_boy_9x với bài viết này:
  #8  
Cũ 01-10-2011
daovuquang's Avatar
daovuquang daovuquang đang ngoại tuyến
Trial Moderator
Thủ quỹ
 
Tham gia : 04-03-2010
Đến từ: Somewhere...
Bài viết: 528
Điểm học tập:670
Đã cảm ơn: 94
Được cảm ơn 252 lần
Cho mấy bạn 1 bài dễ thôi.
Cho dãy tỉ số: \frac{a}{b}=\frac{x}{y}
CMR: \frac{a^{2000}+b^{2000}}{x^{2000}+y^{2000}}=\frac{  (a^{1000}+b^{1000})^2}{(x^{1000}+y^{1000})^2}
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 5 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến daovuquang với bài viết này:
  #9  
Cũ 01-10-2011
harrypham's Avatar
harrypham harrypham đang ngoại tuyến
MEM VIP
Bí thư
 
Tham gia : 18-06-2011
Đến từ: HUS High School for Gifted Students
Bài viết: 2,186
Điểm học tập:3666
Đã cảm ơn: 1,761
Được cảm ơn 2,110 lần
Trích:
Nguyên văn bởi soicon_boy_9x Xem Bài viết
bài 3 thì nhiều cách làm lắm nhưng làm cách lớp 5 cho dễ xơi
ta có tỉ lệ của x và y là
2/3:1/2(tỉ lệ nghịch)=4/3
=>x=60
y=45
z=60.1/2:3/4=40
Giải dựa theo tỉ lệ thức mà bạn (hãy gõ công thức toán).

Lời giải bài 3.

Chia mỗi tỉ số cho 6 (BCNN của 1,2,3) ta được:

\frac{x}{12}=\frac{y}{9}= \frac{z}{8}= \frac{x-y}{12-9}=5

Do đó \fbox{(x,y,z)=(60,45,40)}.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 12 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến harrypham với bài viết này:
  #10  
Cũ 01-10-2011
harrypham's Avatar
harrypham harrypham đang ngoại tuyến
MEM VIP
Bí thư
 
Tham gia : 18-06-2011
Đến từ: HUS High School for Gifted Students
Bài viết: 2,186
Điểm học tập:3666
Đã cảm ơn: 1,761
Được cảm ơn 2,110 lần
Trích:
Nguyên văn bởi daovuquang Xem Bài viết
Cho mấy bạn 1 bài dễ thôi.
Cho dãy tỉ số: \frac{a}{b}=\frac{x}{y}
CMR: \frac{a^{2000}+b^{2000}}{x^{2000}+y^{2000}}=\frac{  (a^{1000}+b^{1000})^2}{(x^{1000}+y^{1000})^2}
Từ \frac{a}{b}= \frac{x}{y} \Rightarrow \frac{a}{x}= \frac{b}{y}.

Do đó \frac{a^{2000}}{x^{2000}}= \frac{b^{2000}}{y^{2000}}= \frac{a^{2000}+b^{2000}}{x^{2000}+y^{2000}}

Tiếp tục thì \frac{a^{1000}}{x^{1000}}+ \frac{b^{1000}}{y^{1000}}= \frac{a^{1000}+b^{1000}}{x^{1000}+y^{1000}}

\Rightarrow \frac{a^{2000}}{x^{2000}}= \frac{b^{2000}}{y^{2000}} = \frac{(a^{1000}+b^{1000})^2}{(x^{1000}+y^{1000})^2  }.


Như vậy ta có đpcm.

Thay đổi nội dung bởi: harrypham, 01-10-2011 lúc 20:54.
Trả Lời Với Trích Dẫn
Có 14 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến harrypham với bài viết này:
Trả lời

Chia sẻ/đánh dấu bài viết


Ðiều chỉnh Tìm trong bài viết
Tìm trong bài viết:

Tìm chi tiết
Xếp bài

Quyền hạn của bạn
Bạn không thể tạo chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể đăng tập đính kèm
Bạn không thể sửa bài của mình

BB codeMở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

 
Bài giảng mới
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 4. Nhận dạng và sắp xếp các bài toán cơ qui luật
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 4. Nhận dạng và sắp xếp các bài toán cơ qui luật
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng : Bài 1 Bài giảng (Phần 1)
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng : Bài 1 Bài giảng (Phần 1)
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 3: Phương pháp nhận dạng giải nhanh tính tổng dãy số (phần 3)
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 3: Phương pháp nhận dạng giải nhanh tính tổng dãy số (phần 3)
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải :  Bài 1: Phương pháp nhận dạng giải nhanh tính tổng dãy số (phần 1)
Luyện đề thi vào lớp 6 môn Toán - thầy Trần Hải : Bài 1: Phương pháp nhận dạng giải nhanh tính tổng dãy số (phần 1)
Luyện thi quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) : Bài 09. Các bái toán về hình vuông
Luyện thi quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) : Bài 09. Các bái toán về hình vuông
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi :  Bài 4. Bài giảng (Phần 4)
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi : Bài 4. Bài giảng (Phần 4)
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi :  Bài 3. Bài giảng (Phần 3)
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi : Bài 3. Bài giảng (Phần 3)
PEN-I: môn Toán - Thầy Lê Anh Tuấn : Bài 1. Bài giảng (Phần 1)
PEN-I: môn Toán - Thầy Lê Anh Tuấn : Bài 1. Bài giảng (Phần 1)
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng : [KN1]. ​Nắm vững quan hệ giữa x, v, p, a, F, Wđ, Wt​ (P1)
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng : [KN1]. ​Nắm vững quan hệ giữa x, v, p, a, F, Wđ, Wt​ (P1)
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 : Hướng dẫn giải đề học kì I
Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 : Hướng dẫn giải đề học kì I

Đề thi mới
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-TB -TB Khá 12 : Đề 01 - 2015
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-TB -TB Khá 12 : Đề 01 - 2015
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng 12 : Đề số 3
PEN-I: môn Vật lí - thầy Đỗ Ngọc Hà, thầy Phạm Văn Tùng 12 : Đề số 3
Thi thử đại học 12 : Đề thi thử Đại học 2014- 2015
Thi thử đại học 12 : Đề thi thử Đại học 2014- 2015
PEN-I: môn Hoá học - thầy Phạm Ngọc Sơn 12 : Đề số 03
PEN-I: môn Hoá học - thầy Phạm Ngọc Sơn 12 : Đề số 03
PEN-I: môn Sinh học - thầy Nguyễn Thành Công 12 : Đề thi tự luyện số 03
PEN-I: môn Sinh học - thầy Nguyễn Thành Công 12 : Đề thi tự luyện số 03
PEN-I: môn Tiếng Anh - cô Nguyệt Ca 12 : Đề thi tự luyện số 02 (Đề Online)
PEN-I: môn Tiếng Anh - cô Nguyệt Ca 12 : Đề thi tự luyện số 02 (Đề Online)
PEN-I: môn Vật lí - thầy Bùi Gia Nội (TB - TB Khá) 12 : Đề số 4
PEN-I: môn Vật lí - thầy Bùi Gia Nội (TB - TB Khá) 12 : Đề số 4
Thi thử đại học 12 : Đề tự luyện miễn phí
Thi thử đại học 12 : Đề tự luyện miễn phí
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi 12 : Đề thi tự luyện số 01
PEN-I: môn Hoá học - thầy Vũ Khắc Ngọc-Khá-Giỏi 12 : Đề thi tự luyện số 01
PEN-I: Môn Vật lí (Thầy Đặng Việt Hùng) 12 : Đề số 2
PEN-I: Môn Vật lí (Thầy Đặng Việt Hùng) 12 : Đề số 2




Múi giờ GMT +7. Hiện tại là 19:16.
Powered by: vBulletin v3.x.x Copyright ©2000-2014, Jelsoft Enterprises Ltd.

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 196/GXN-TTĐT Cục Quản lý PTTH&TTĐT cấp ngày 11/11/2011.