Diễn đàn học tập của Hocmai.vn
Liên hệ quảng cáo: xem chi tiết tại đây

Diendan.hocmai.vn - Học thày chẳng tày học bạn! » Toán » Lớp 11 » Hàm số và phương trình lượng giác » Phương trình lượng giác » Các đẳng thức lượng giác trong tam giác

Thi thử đại học 2014



Chủ đề đã khóa
  #1  
Cũ 11-05-2011
duynhan1's Avatar
duynhan1 duynhan1 đang ngoại tuyến
Moderator được yêu thích nhất năm 2010
Moderator tích cực nhất năm 2011
Cống hiến vì cộng đồng
Bí thư liên chi
 
Tham gia : 26-10-2008
Đến từ: THPT Sào Nam, Duy Xuyên, Quảng Nam.
Bài viết: 4,371
Điểm học tập:376
Đã cảm ơn: 1,457
Được cảm ơn 6,262 lần
Các đẳng thức lượng giác trong tam giác





Các bài viết xem nhiều nhất cùng chuyên mục:
Có 15 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến duynhan1 với bài viết này:
  #2  
Cũ 12-05-2011
giaosu_fanting_thientai's Avatar
giaosu_fanting_thientai giaosu_fanting_thientai đang ngoại tuyến
Thành viên
Thư kí
 
Tham gia : 06-02-2010
Đến từ: BKHN
Bài viết: 618
Điểm học tập:18
Đã cảm ơn: 551
Được cảm ơn 365 lần
1. Định lý hàm số sin.

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R



sinA=sin \widehat{HOC}=\frac{HC}{OC}={\frac{A}{2}}.\frac{1}  {R}

\Rightarrow \frac{a}{sinA}=2R

Các công thức khác c/m tương tự.

2. Định lý hàm số cos.

Chứng minh cái đại diện: b^2=a^2+c^2-2a.c.cosB



b^2=AH^2+HC^2=AB^2-BH^2+(BC-BH)^2=AB^2-BH^2+BC^2-2BC.BH+BH^2

=AB^2+BC^2-2AB.BC.cosB=a^2+c^2-2a.c.cosB

Chứng minh luôn công thức: a=b.cosC+c.cosB
a= BH+HC=b.cosC+c.cosB

3. Định lý hàm số tan

\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan\frac{A-B}{2}}{tan\frac {A-B}{2}}



Trên BC lấy D, trên tia đối của tia CB lấy E sao cho AC=CD=CE=b

\large\Delta DAE là tam giác vuông tại A

Ta có A_1+A_2=A

A_1-A_2=D_1-A_2=B (Tính chất góc ngoài)

 \Rightarrow  A_1=\frac{A+B}{2} ; A_2=\frac{A-B}{2}

Kẻ DF//AE AD vuông góc FD

Theo talet:

\frac{DF}{AE}=\frac{BD}{BE}=\frac{a-b}{a+b} \ \ \ \ (1)

Tam giác ADF vuông tại D \Rightarrow  DF=AD.tanA_2=AD.tan\frac{ A-B}{2}\ \ \ \ (2)

Tam giác ADE vuông tại A \Rightarrow  AE=AD.tanD_1=AD.tan\frac{A+B}{2} \ \ \ \ (3)

Tu (1); (2);(3) \Rightarrow  dpcm

4. Định lý hàm số cot.

cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}

a^2=b^2+c^2-2b.c.cosA=b^2+c^2-2bc. sinA .cotA.=b^2+c^2-4S.cotA

\Rightarrow cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}

5. Công thức diện tích



S=\frac{1}{2}a.h=\frac{1}{2}a.c.sinB

Theo ĐL hs sin:a=2RsinA; c=2R.sinC

\Rightarrow S=\frac{1}{2}a.c.sinB=2R^2.sinA.sinB.sinC

Lại có sinB=\frac{b}{2R} \Rightarrow S=\frac{abc}{4R}

S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{AIC}

=\frac{r.c}{2}+\frac{r.a}{2}+\frac{r.b}{2}=\frac{r  .(a+b+c)}{2}=pr

S=pr=p.AM.tan{\frac{A}{2}}=p(p-a)tan{\frac{A}{2}}=(p-a)r_a

Công thức herong



6. Công thức trung tuyến.

m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}



\vec{AB}= \vec{AM}+\vec{MB}

\Rightarrow AB^2=AM^2+MB^2+2.(\vec{AM}.\vec{MB} \ \ \ \ \ (1)

\vec{AC}=(\vec{AM}+\vec{MC}

\Rightarrow AC^2=AM^2+MC^2+2(\vec{AM}.\vec{MC}) \ \ \ \ \ (2)

Tu \  (1) \ & \ (2) \Rightarrow  AB^2+AC^2= 2AM^2+2(\frac{BC}{2})^2 + 2\vec{AM} (\vec{MB}+\vec{MC})

\Rightarrow m_a^2=\frac{AB^2+AC^2}{4}- \frac{BC^2}{4}=\frac{c^2+b^2}{4}- \frac{a^2}{4}= \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}

7. Công thức phân giác.

l_a=\frac{2b.c.cos{{\frac{A}{2}}}}{b+c}



S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}

\Leftrightarrow \frac{b.c.sinA}{2}=\frac{1}{2}c.l_a.sin{{\frac{A}{  2}}}+\frac{1}{2}b.l_a.sin{{\frac{A}{2}}}

\Leftrightarrow \frac{1}{2}b.c.2.sin{{\frac{A}{2}}}.cos {{\frac{A}{2}}=\frac{1}{2}l_a.(b+c).sin{{\frac{A}{  2}}}

\Leftrightarrow  l_a=\frac{2b.c.cos{{\frac{A}{2}}}}{b+c}

8. Bán kính đường tròn nội tiếp



r=(p-a).tan{\frac{A}{2}}

Theo t/c tiếp tuyến : AP=AM; BM=BN; CN=CP

\Rightarrow  AM+BN+CN=p \Rightarrow  AM=p-(BN+CN)=p-a

 \Rightarrow r=IM=IN=IP=AM.tan{\frac{A}{2}}=(p-a)tan{\frac{A}{2}}

r=4R.sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{  2}}

BC=BN+NC

\Leftrightarrow 2RsinA=r(cot{\frac{B}{2}}+cot{\frac{C}{2}})

\Leftrightarrow 4Rsin{\frac{A}{2}}cos{\frac{A}{2}}  =r\frac{sin\frac{B+C}{2}}{sin{\frac{B}{2}}sin{\fra  c{C}{2}}} =r\frac{cos{\frac{A}{2}}}{sin{\frac{B}{2}}sin{\fra  c{C}{2}}}

\Rightarrow r=4R.sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{  2}}


9.Bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Suy từ định lý h/s sin.

10. Bán kính đường tròn bàng tiếp.

r_a=p.tan{\frac{A}{2}}



 AN=AP; BN=BM; CM=CP

2p=AB+BC+CA=AB+BM+MC+CA=AB+BN+CP+AC=AN+AP

\Rightarrow  AN=AP=p \Rightarrow r_a=IN=IP=IM=AN.tan{\frac{A}{2}}=p.tan{\frac{A}{2}  }

11. \ \ \ sin{{\frac{A}{2}}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}

Từ định lý h/s cos \Rightarrow cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

sin{{\frac{A}{2}}}=\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}{2}}=\sqrt{\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}} sqrt{\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{4bc}}=\sqrt{\frac{2(p-b)2(p-c)}{4bc}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}

 cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}} chứng minh tương tự

tan{\frac{A}{2}}=\frac{sin{{\frac{A}{2}}}}{cos{{\f  rac{A}{2}}}}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}

Những cái còn lại là bài tập rùi.

Đẹp nhở
__________________



Thay đổi nội dung bởi: giaosu_fanting_thientai, 31-05-2011 lúc 09:15. Lý do: Lỗi TEX
Có 17 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến giaosu_fanting_thientai với bài viết này:
  #3  
Cũ 12-05-2011
duynhan1's Avatar
duynhan1 duynhan1 đang ngoại tuyến
Moderator được yêu thích nhất năm 2010
Moderator tích cực nhất năm 2011
Cống hiến vì cộng đồng
Bí thư liên chi
 
Tham gia : 26-10-2008
Đến từ: THPT Sào Nam, Duy Xuyên, Quảng Nam.
Bài viết: 4,371
Điểm học tập:376
Đã cảm ơn: 1,457
Được cảm ơn 6,262 lần
3. Định lý hàm số tan:(Cách 2)
\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan{\frac{A-B}{2}} }{tan{ \frac{A+B}{2}} }

\frac{tan{\frac{A-B}{2}} }{tan{ \frac{A+B}{2}} } =\frac{2 sin{\frac{A-B}{2} } . cos{\frac{A+B}{2}} }{2 sin{\frac{A+B}{2}} . cos{\frac{A-B}{2}} }  = \frac{sinA - sin B}{ sin A + sin B}

(ycbt) \Leftrightarrow \frac{a-b}{sin A- sin B}= \frac{a+b}{sin A+sinB}
Mà điều đó thì luôn đúng do :
\frac{a}{ sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{a-b}{sin A - sin B} = \frac{a+b}{sin A+ sin B}
Có 9 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến duynhan1 với bài viết này:
  #4  
Cũ 15-05-2011
giaosu_fanting_thientai's Avatar
giaosu_fanting_thientai giaosu_fanting_thientai đang ngoại tuyến
Thành viên
Thư kí
 
Tham gia : 06-02-2010
Đến từ: BKHN
Bài viết: 618
Điểm học tập:18
Đã cảm ơn: 551
Được cảm ơn 365 lần
12.\ \ \ sinA+sinB+sinC=4cos{\frac{A}{2}}cos{\frac{B}{2}}co  s{\frac{C}{2}}

sinA+sinB+sinC=2sin{\frac{A+B}{2}}cos{\frac{A-B}{2}}+2sin{\frac{C}{2}} cos{\frac{C}{2}}=2cos{\frac{C}{2}}. (cos{\frac{A-B}{2}}+cos{\frac{A+B}{2}})=4cos{\frac{C}{2}}.cos {\frac{A}{2}}.cos{\frac{B}{2}}

\red sinA+sinB+sinC=\frac{p}{R}

sinA+sinB+sinC=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{  2R}=\frac{p}{R}

13. \ \ \ cosA+cosB+cosC=1+4sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}  sin{\frac{C}{2}}

cosA+cosB+cosC=2cos{\frac{A+B}{2}}cos{\frac{A-B}{2}}+1-2sin^2{\frac{C}{2}}

=2sin{\frac{C}{2}}(cos{\frac{A-B}{2}}-cos{\frac{A+B}{2}})+1=1+4sin{\frac{A}{2}}sin{\frac  {B}{2}}sin{\frac{C}{2}}

Theo đẳng thức 8 ta có :
r=4Rsin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2  }}

\red \Rightarrow cosA+cosB+cosC=1+4sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}  sin{\frac{C}{2}} = 1+ \frac{r}{R}

14. \ \ \ sin2A+sin2B+sin2C=4sinC.sinA.sinB

\large sin2A+sin2B+sin2C \\ =2sin(A+B)cos(A-B)+2sinC.cosC \\ =2sinC.[cos(A-B)-cos(A+B)] \\ =4sinC.sinA.sinB

15. \ \ \ cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosA.cosB.cosC

cos2A+cos2B+cos2C \\ =cos2A+cos2B+2cos^2C-1\\ =2cos(A+B)cos(A-B)-2cosC.cos(A+B)-1 \\ =-2cosC[cos(A-B)+cos(A+B)]-1\\ =-4cosC.cosA.cosB-1

16. \ \ \ sin^2A+sin^2B+sin^2C=2(1+cosA.cosB.cosC)

Từ cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosA.cosB.cosC

\Rightarrow 1-2sin^2A+1-2sin^2B+1-2sin^2C=-1-4cosA.cosB.cosC

\Rightarrow Dpcm

17. \ \ \ cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC

\Large cos^2A+cos^2B+cos^2C \\ =\frac{1+cos2A}{2}+\frac{1+cos2B}{2}+cos^2C \\ =1+cos(A+B)cos(A-B)+cos^2C \\ =1-cosC[cos(A-B)+cos(A+B)] \\ =1-2cosA.cosB.cosC

18. \ \ \ tan A+tanB+tanC=tan A.tanB.tanC

Cách 1:

\Large tan A+tanB+tanC \\ =\frac{sin(A+B)}{cosA.cosB}+tanC \\ =tanC(\frac{cosC}{cosA.cosB}+1) \\ =tanC{\frac{-cos(A+B)+cosA.cosB}{cosA.cosB}} \\ = tanC{\frac{-cosA.cosB+sinA.sinB+cosA.cosB}{cosA.cosB}} \\ =tanC{\frac{sinA.sinB}{cosA.cosB}} \\ =tanA.tanB.tanC

chỗ này nữa >"<

Cách 2: Ngắn, quen nhưng k hay

tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}

\Leftrightarrow -tanC=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}

\Leftrightarrow  -tanC+tan A.tanB.tanC=tanA+tanB

\Leftrightarrow tan A+tanB+tanC=tan A.tanB.tanC


19. \ \ \ cot{\frac{A}{2}}+cot{\frac{B}{2}}+cot{\frac{C}{2}}  =cot{\frac{A}{2}} cot{\frac {B}{2}}cot{\frac {C}{2}}


cot{\frac{A}{2}}=tan{\frac{B+C}{2}}= \frac{tan \frac{B}{2}+tan \frac{C}{2}}{tan \frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}-1} = \frac{cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}}{cot\frac{B}{2  }.cot\frac{C}{2}-1}
\red Note: tan \al =\frac{1}{cot \al}

\Rightarrow dpcm

20. \ \ \ tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{B}{2}}+tan{\frac{B}{2}}t  an{\frac{C}{2}}+ tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{C}{2}}=1

tan{\frac{A}{2}}=cot{\frac{B+C}{2}}=\frac{1-tan{\frac{B}{2}}tan{\frac{C}{2}}}{tan{\frac{B}{2}}  +tan{\frac{C}{2}}}

\Leftrightarrow  tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{B}{2}}+tan{\frac{A}{2}}t  an{\frac{C}{2}}=1-tan{\frac{B}{2}}tan{\frac{C}{2}}

\Rightarrow Dpcm

21. \ \ \ cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1

cotA=\frac{1}{tan A}=-\frac{1}{tan(B+C)}=\frac{-1+tanB.tanC}{tanB+tanC}=\frac{1-cotB.cotC}{cotB+cotC}

\Leftrightarrow cotA.cotB+cotC.cotA=1-cotB.cotC

\Rightarrow Dpcm


Trích:
Công thức liên hệ giữa các góc.

sin kA=sin k[\pi-(B+C)]=(-1)^{k+1}sin k(B+C)

cos kA=cos k[\pi -(B+C)]=(-1)^k.cos k(B+C)

tan kA=-tan k(B+C)

cot kA=-cot k(B+C)

sin(2k+1)\frac{A}{2}=(-1)^kcos(2k+1)\frac{B+C}{2}

cos(2k+1)\frac{A}{2}=(-1)^k sin(2k+1)\frac{B+C}{2}

tan(2k+1)\frac{A}{2}=cot(2k+1)\frac{B+C}{2}

cot(2k+1)\frac{A}{2}=tan(2k+1)\frac{B+C}{2}

0 < a \leq b \leq c \Leftrightarrow 0 < A \leq B \leq C

(a-b)(A-B) \geq 0; (b-c)(B-C) \geq 0; (c-a)(C-A) \geq 0

a^2=b^2+c^2 \Leftrightarrow A=\frac{\pi}{2}

a^2 < b^2+c^2 \Leftrightarrow A < \frac{\pi}{2}

a^2 > b^2+c^2 \Leftrightarrow A > \frac{\pi}{2}
22. \ \ \ sin^3Acos(B-C)+sin^3Bcos(C-A)+sin^3Ccos(A-B)=3sinA.sinB.sinC

23. \ \ \ sin^3A. sin(B-C) +sin^3B.sin(C-A)+sin^3C.sin(A-B)=0

24. \ \ \ sin3A.sin^3(B-C)+sin3B.sin^3(C-A)+sin3C.sin^3(A-B)=0

25. \ \ \ sin3A.cos^3(B-C)+sin3B.cos^3(C-A)+sin3C.cos^3(A-B)=sin3A.sin3B.sin3C.

__________________



Thay đổi nội dung bởi: giaosu_fanting_thientai, 31-05-2011 lúc 09:17.
Có 17 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến giaosu_fanting_thientai với bài viết này:
  #5  
Cũ 31-05-2011
giaosu_fanting_thientai's Avatar
giaosu_fanting_thientai giaosu_fanting_thientai đang ngoại tuyến
Thành viên
Thư kí
 
Tham gia : 06-02-2010
Đến từ: BKHN
Bài viết: 618
Điểm học tập:18
Đã cảm ơn: 551
Được cảm ơn 365 lần
Trích:
Nguyên văn bởi giaosu_fanting_thientai Xem Bài viết


22. \ \ \ sin^3Acos(B-C)+sin^3Bcos(C-A)+sin^3Ccos(A-B)=3sinA.sinB.sinC

\ \ \ sin^3Acos(B-C)+sin^3Bcos(C-A)+sin^3Ccos(A-B)

=sin^2A.sin(B+C)cos(B-C)+sin^2B.sin(A+C)cos(C-A)+sin^2C.sin(A+B).cos(A-B)

=\frac{1}{2}sin^2A.(sin2B+sin2C)+\frac{1}{2}sin^2B  .(sin2A+sin2C)+\frac{1}{2}sin^2C(sin2A+sin2B)

=sin^2A(sinBcosB+sinCcosC)+sin^2B(sinAcosA+sinCcos  C)+sin^2C(sinAcosA+sinBcosB)

=sinAsinB(sinAcosB+sinBcosA)+sinAsinC(sinAcosC+sin  CcosA)+sinBsinC(sinBcosC+sinCcosB)

=sinAsinBsin(A+B)+sinAsinCsin(A+C)+sinBsinCsin(B+C  )=3sinAsinBsinC


23. \ \ \ sin^3Asin(B-C)+sin^3Bsin(C-A)+sin^3Csin(A-B)=0

sin^3Asin(B-C)=sin^2A.sin(B+C).sin(B-C)=sin^2A.\frac{1}{2}.(cos2C-cos2B)=sin^2A.\frac{1}{2}(1-2sin^2C-1+2sin^2B)=sin^2A(sin^2B-sin^2C)

Tương tự:
 \ \ \ sin^3Bsin(C-A)=sin^2B(sin^2C-sin^2A)

sin^3Csin(A-B)=sin^2C(sin^2A-sin^2B)

Cộng 2 vế suy ra đpcm


24. \ \ \ sin3A.sin^3(B-C)+sin3B.sin^3(C-A)+sin3C.sin^3(A-B)=0

sin3A.sin^3(B-C)=\frac{1}{4}sin3A[3sin(B-C)-sin3(B-C)]

=\frac{3}{4}sin3A.sin(B-C)-\frac{1}{4}sin3A.sin3(B-C)

=\frac{3}{8}[cos(3A-B+C)-cos(3A+B-C)]-\frac{1}{8}[cos3(A-B+C)-cos3(A+B-C)]

=\frac{3}{8}[cos2(A-C)-cos2(A-B)]-\frac{1}{8}[cos6C-cos6B]

Chứng minh tương tự với 2 biểu thức kia sau đó cộng 2 vế đc đpcm

25. \ \ \ sin3A.cos^3(B-C)+sin3B.cos^3(C-A)+sin3C.cos^3(A-B)=sin3A.sin3B.sin3C.

sin3A.cos^3(B-C)=sin3A.\frac{1}{4}.[cos3(B-C)+3cos(B-C)]

=\frac{1}{4}sin3A.cos3(B-C)+\frac{3}{4}sin3Acos(B-C)

=\frac{1}{8}[sin3(A+B-C)-sin3(A-B+C)+\frac{3}{8}[sin(3A+B-C)+sin(3A-B+C)]

=\frac{1}{8}(sin6C+sin6B)+\frac{3}{8}[sin2(C-A)+sin2(B-A)]

Tương tự với 2 biểu thức còn lại sau đó cộng vế.
__________________


Có 9 thành viên đã gửi lời cảm ơn đến giaosu_fanting_thientai với bài viết này:
Chủ đề đã khóa

Chia sẻ/đánh dấu bài viết


Ðiều chỉnh Tìm trong bài viết
Tìm trong bài viết:

Tìm chi tiết
Xếp bài

Quyền hạn của bạn
Bạn không thể tạo chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể đăng tập đính kèm
Bạn không thể sửa bài của mình

BB codeMở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

 
Bài giảng mới

Đề thi mới




Múi giờ GMT +7. Hiện tại là 05:11.
Powered by: vBulletin v3.x.x Copyright ©2000-2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Advertisement System V2.4 By   Branden

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 196/GXN-TTĐT Cục Quản lý PTTH&TTĐT cấp ngày 11/11/2011.