[Toán 9] Tuyển tập bài toán khó nhất violympic - Diendan.hocmai.vn

nameless1100 · #1 26-03-2011

Đây là các bài toán mình tuyển chọn ra từ sách Tự luyện violympic 9 mà mình chưa giải được. Mong các bạn giải cụ thể và sớm nhất. Mình nhất định sẽ hậu tạ cho những bài giải tốt.
1. Một hình thoi có diện tích bằng một nửa diện tích hình vuông có cạnh bằng cạnh của hình thoi. Tính tỉ số của đường chéo dài và đường chéo ngắn của hình thoi.
2. Một tam giác vuông có chu vi 72 cm, hiệu độ dài giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm. Tính diện tích tam giác đó.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAC cắt HC ở D. Gọi K là hình chiếu của D trên AC. Biết BC=25cm, DK=6cm và AB>2DK. Tính AB.
4. (đề nó không rõ ràng lắm)Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB,AC,CA (theo đơn vị cm) la ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần, có đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính độ dài HM.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Biết AB=5cm,IC=6cm. Tính BC.
6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác, M là trung điểm của BC. Biết AB=6cm,AC=8cm.Tính góc BIM
7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm, AC=8CM. Tam giác BCD vuông tại D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng BC. Khi đó tính BC+CD.
8. Cho tam giác ABC vân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA=2 $sqrt{5}$ , IB=3cm. Tính AB.
9. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC=3 $sqrt{5}$ . Hình vuông ADEF cạnh 2Ccm có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Biết rằng AB>AC. Tính AB và AC.
10. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm các đường phân giác. Biết IB= $sqrt{5}$ , IC= $sqrt{10}$ . Tính AB.
còn nữa

**thao_won** · #2 26-03-2011

Trích:

1. Một hình thoi có diện tích bằng một nửa diện tích hình vuông có cạnh bằng cạnh của hình thoi. Tính tỉ số của đường chéo dài và đường chéo ngắn của hình thoi.

Gọi a là độ dài cạnh hình thoi cũng như cạnh hình vuông

Diện tích hình thoi : $\frac{a^2}{2}$

Gọi x và y lần lượt là độ dài nửa đường chéo ngắn và dài .

Diện tích hình thoi là xy
$\Rightarrow a^2 = 2xy$

áp dụng định lý Pitago ,ta có :

$a^2 = x^2 + y^2$

$\Rightarrow x^2 + y^2 = 2xy$

$\Rightarrow (x -y)^2 = 0$

$\Rightarrow x = y$

x : y = 1

Hôm nay tự dưng chăm quá

Mà thế hóa ra hai hình đều là hình vuông à

Nghi ngờ

nameless1100 · #3 26-03-2011

Điều chỉnh một chút $a^2=4xy$

đpcm
---------------------------------------------------------------

nameless1100 · #4 27-03-2011

Bài 4 mình thấy không rõ ràng vì nó chỉ cho số đo 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp, nếu cho nó là tam giác vuông thì mới có thể suy ra số đo 3 cạnh là 3,4,5. Còn nếu chỉ là tam giác thường thôi thì khó mà tính được số đo các cạnh.

thatki3m_kut3 · #5 27-03-2011

Bài 2: S=144
Bài 4:
Đặt BC=a thì AB=a-1, AC=a+1. Đặt HM=x
Ta thấy HB=MB-MH(nếu góc B

90 độ)
HB=MH-MB(nếu góc B>90 độ)
nên HB^2=(x-a/2)^2
mặt khác ta có : $AC^2-HC^2=AB^2-HB^2$ nên
$(a+1)^2-(x+a/2)^2=(a-1)^2-(x-a/2)^2$
Giải phương trình trên ta đc x=2
Bài 3: Bạn có thể c/m đc AB=BD chứ
Đặt AB=BD=x
Ta có $AB^2=BC.CH$

$x^2=25(x-6)$ (vì AH=DK)

(x-10)(x-15)=0

x=10(loại) hoặc x=15
Vậy AB=15
Bài 5: BC=9
Bài 6: gBIM=90 độ
Bài 8:AB=2.căn11
Bài 9:AB=6, AC=3
Bài 10: AB=3

**thao_won** · #6 27-03-2011

Trích:

2. Một tam giác vuông có chu vi 72 cm, hiệu độ dài giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm. Tính diện tích tam giác đó

Thấy bài này bà Ngân chưa làm nên làm thử

$BC = 2. AM$

$AM - AH = 7$

$\Rightarrow AH = \frac{BC}{2} - 7$

$AB + AC + BC = 72$

$\Rightarrow AB + AC = 72 - BC$

$\Rightarrow AB^2 + AC^2 + 2. AB.AC = 5184 - 144BC + BC^2$

Mà $AB^2 + AC^2 = BC^2$

$\Rightarrow 2. AB .AC = 5184 - 144BC$

$\Rightarrow 2 . BC .AH = 5184 - 144 BC$

$\Rightarrow 2. BC (\frac{BC}{2}-7) = 5184 - 144 BC$

$\Rightarrow BC^2 - 130BC - 5184 = 0$

$\Rightarrow BC = 32$

$\Rightarrow AH = 9$

$\Rightarrow S = 144$

Đáp án đúng oài

thatki3m_kut3 · #7 28-03-2011

làm rồi bà Thảo ơi, S=144 trên tề
...............................................

**thao_won** · #8 30-03-2011

Trích:

7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm, AC=8CM. Tam giác BCD vuông tại D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng BC. Khi đó tính BC+CD.

Đề nghị mod del cái bài trên kia ~.~

Áp dụng Pitago

BC =10

Trong tam giác vuông BCD thì BC là cạnh huyền

BC > BD

Nhưng theo đề thì BC < BD

~.~

hocdewenem · #9 08-04-2011

Còn bài này cũng khó này, các bạn thử làm xem nha ( nhớ giải và CM, Biện luận thật tỉ mỉ nha)
**Cho tam giác ABC.Đường tròn (I) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các cạnh BC; CA; AB lần lượt tại D, E, F.Biết ${BAC}{EDF}$ .Khi đó ${BAD}=?$ ****************************??????????
**Cho đường tròn (O; 4cm) và điểm I sao cho OI=5cm.Qua I kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau, cắt đường tròn theo 2 dây cung AB và DC. Khi đó $AB^2+CD^2=?$ ****************************??
Các bạn thử làm nhé, càng sớm càng tốt, được thì trưa hoặc chiều 8-4 là có nhé!!!!!!!!!
thanks các bạn nhìu nhìu

xin lỗi, cho mình sửa lại đề mình gõ sai nha.ở bài đầu xin sửa ở đoạn:
[...]Biết ${BAC}={EDF}$ .Tính ${BAD}=?$ ???????????
Thế nha các bạn.nhớ cố gắng giải sớm sớm cho mình nha.tks các bạn!!!!!!!!!!!

nameless1100 · #10 11-04-2011

Trích:

Nguyên văn bởi thao_won

Đề nghị mod del cái bài trên kia ~.~

Áp dụng Pitago BC =10

Trong tam giác vuông BCD thì BC là cạnh huyền BC > BD

Nhưng theo đề thì BC < BD

~.~

Xin lỗi bạn nha, nếu bạn muốn ý kiến thì xin liên hệ [Hãy đăng kí thành viên hay đăng nhập để xem liên kết này.] bảo cái sách của họ tào lao toàn sai thế này. Chứ mình chả có quyền gì đâu.
Nhưng theo mình thì bài này sai là đúng. Nếu sửa đề thành vuông tại B thì bài toán trở nên quá đơn giản.