Toán [Lớp 9] Bài tập

dreamhighdoctor · 19 Tháng năm 2017

cho a^3+b^3=2. tìm GTLN của N=a+b
thanks

Nữ Thần Mặt Trăng · 19 Tháng năm 2017

Đặt $a=1-x\Rightarrow b^3=2-(1-x)^3=x^3-3x^2+3x+1\leq x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^2$ (do $-3x^2\leq 3x^2$)
$\Rightarrow b\leq x+1\Rightarrow a+b\leq 1-x+x+1=2$
Dấu "=" xảy ra khi $-3x^2=3x^2\iff x=0\Rightarrow a=1;b=1$ (vì $a^3+b^3=2$)
Vậy $Max \ N=2\iff a=b=1$

huonggiangnb2002 · 19 Tháng năm 2017

Đặt a = t +1 . Ta có
[tex]a^3 + b^3 =2 \Rightarrow (t+1)^3+b^3=2 \Leftrightarrow t^3 + 3t^2 + 3t +1 - 2= -b^3 \Leftrightarrow t^3 + 3t^2 + 3t -1 = -b^3 \Leftrightarrow b^3 = 1- 3t + 3t ^2 - t^3 - 6t^2 \Leftrightarrow b^3 = (1-t)^3 -6t^2[/tex]
Vì [tex]6t^2\geq 0[/tex]
nên ta có
[tex]b^3\leq (1-t)^3\Leftrightarrow b\leq 1-t[/tex]
Do đó a+b =< t+1 + 1- t = 2
Dấu = xảy ra <=> t=0 <=> a=b=1
Vậy maxN = 2 khi a=b=1

huonggiangnb2002 · 19 Tháng năm 2017

Nữ Thần Mặt Trăng said:
Đặt $a=1-x\Rightarrow b^3=2-(1-x)^3=x^3-3x^2+3x+1\leq x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^2$ (do $-3x^2\leq 3x^2$)
$\Rightarrow b\leq x+1\Rightarrow a+b\leq 1-x+x+1=2$
Dấu "=" xảy ra khi $-3x^2=3x^2\iff x=0\Rightarrow a=1;b=1$ (vì $a^3+b^3=2$)
Vậy $Max \ N=2\iff a=b=1$

[tex]b^3 \leq (x+1)^3[/tex] chứ. Em đánh nhầm thành [tex](x+1)^2[/tex] rồi kìa

@dreamhighdoctor : Cùng thảo luận về các bài BĐT ở topic dưới nhé ! https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-thao-luan-cac-bai-bdt-on-thi-vao-lop-10-chuyen.616953/

Ma Long · 19 Tháng năm 2017

dreamhighdoctor said:
cho a^3+b^3=2. tìm GTLN của N=a+b
thanks

Giải:
Thêm 1 sự lựa chọn:
Sử dụng BĐT phụ [tex]ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}[/tex].
$N^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\leq a^3+b^3+\dfrac{3}{4}(a+b)^3=2+\dfrac{3}{4}N^3$
$\Rightarrow N^3\leq 8\Rightarrow N\leq 2$
[tex]MaxN=2\Leftrightarrow a=b=1[/tex]
.....................................................
Ta CM BĐT phụ
$4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$
$\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$
$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$
Suy ra:
$8\geq (a+b)^3\Rightarrow 2\geq N$

Nữ Thần Mặt Trăng · 19 Tháng năm 2017

huonggiangnb2002 said:
[tex]b^3 \leq (x+1)^3[/tex] chứ. Em đánh nhầm thành [tex](x+1)^2[/tex] rồi kìa

@dreamhighdoctor : Cùng thảo luận về các bài BĐT ở topic dưới nhé ! https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-thao-luan-cac-bai-bdt-on-thi-vao-lop-10-chuyen.616953/

em nhầm chị ạ nghĩ 3 mà lại viết 2^^

tranvandong08 · 20 Tháng năm 2017

Thêm 1 cách để bạn tham khảo :
[tex]\dpi{150} a^{3}+b^{3}=\frac{a^{3}}{1}+\frac{b^{3}}{1}=\frac{a^{4}}{a}+\frac{b^{4}}{b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a+b}\geqslant \frac{(a+b)^{4}}{4(a+b)}=\frac{(a+b)^{3}}{4}[/tex]
[tex]\dpi{150} \Leftrightarrow 2\geq \frac{(a+b)^{3}}{4} \Leftrightarrow (a+b)^{3}\leqslant 8\Rightarrow a+b\leq 2[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

Khánh Linh. · 21 Tháng năm 2017

tranvandong08 said:
Thêm 1 cách để bạn tham khảo :
[tex]\dpi{150} a^{3}+b^{3}=\frac{a^{3}}{1}+\frac{b^{3}}{1}=\frac{a^{4}}{a}+\frac{b^{4}}{b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a+b}\geqslant \frac{(a+b)^{4}}{4(a+b)}=\frac{(a+b)^{3}}{4}[/tex]
[tex]\dpi{150} \Leftrightarrow 2\geq \frac{(a+b)^{3}}{4} \Leftrightarrow (a+b)^{3}\leqslant 8\Rightarrow a+b\leq 2[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

hơi khó hiểu... Mà dù sao cũng hay+ngắn gọn

tranvandong08 · 22 Tháng năm 2017

Phạm Linh said:
hơi khó hiểu... Mà dù sao cũng hay+ngắn gọn

mình làm tắt thế thôi chứ nếu đi thi thì xài các cách trên kìa

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán [Lớp 9] Bài tập

dreamhighdoctor

Học sinh

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán

huonggiangnb2002

Mùa hè Hóa học

huonggiangnb2002

Mùa hè Hóa học

Ma Long

Học sinh tiến bộ

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán

tranvandong08

Học sinh chăm học

Khánh Linh.

Học sinh gương mẫu

tranvandong08

Học sinh chăm học