[Toán 8] Phương trình nghiệm nguyên

[trydan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhằm nâng cao kĩ năng giải phương trình nghiệm nguyên của các mem, mình lập ra pic này
Ta chỉ giải các phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng không mẫu mực
Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 

[01263812493]

Nhằm nâng cao kĩ năng giải phương trình nghiệm nguyên của các mem, mình lập ra pic này
Ta chỉ giải các phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng không mẫu mực
Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
Bài 3:

[TEX]2x+25y=8 \Rightarrow x=\frac{8-24y-y}{2}=4-12y- \frac{y}{2}[/TEX]. Để x nguyên thì y phải là bội của 2[tex] \Rightarrow y=2t [/tex](t thuộc Z) . Khi đó [tex] x= 4-24t-t[/tex] mà[tex] 2x+25y=8 \Leftrightarrow 2(4-24t-t)+2t=8 \Rightarrow t=0 \Rightarrow y=0; x=4[/tex].Ah` mà cho mình hỏi phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng không mẫu mực là j` ạ

 

[0915549009]

Bài 2:

______________________________________________________________

Đặt PT là (1) \Leftrightarrow [TEX]x^2[/TEX]+1 = [TEX]y^3[/TEX]+[TEX]2^3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^2[/TEX] + 1 = (y+2)([TEX]y^2[/TEX] - 2y + 4) (2)
Nếu y chẵn thì vế phải của (2) chia hết cho 4 nên x lẻ, x = 2t + 1 \Rightarrow [TEX]x^2[/TEX]+1 = [TEX]4t^2[/TEX] + 4t + 2 ko chia hết cho 4. Mâu thuẫn.
Nếu y lẻ, y= 2k +1 \Rightarrow [TEX]y^2[/TEX] - 2y + 4 = [TEX]4k^2[/TEX]+ 3 nên nó phải có ước nguyên tố lẻ dạng 4m + 3 (vì tích các số dạng 4m + 1 lại có dạng 4k + 1). Suy ra [TEX]x^2[/TEX] + 1 có ước nguyên tố dạng p = 4m + 3, trái vs mệnh đề. Vậy PT (1) ko có nghiệm nguyên

 

[quan8d]

Nhằm nâng cao kĩ năng giải phương trình nghiệm nguyên của các mem, mình lập ra pic này
Ta chỉ giải các phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng không mẫu mực
Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
Bài 1:

[tex]x^3+y^3=21xy+6[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=21xy+6[/tex]
Đặt [tex]x+y=a , xy = b[/tex] , suy ra :
[tex]a^3-3ab=21b+6[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^3-6=3b(a+7)[/tex]
[tex]\Rightarrow a^3-6 \vdots a+7[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^3+7^3-349 \vdots a+7[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 349 \vdots a+7[/tex]
Lập bảng xét giá trị của a+7 từ đó tìm ra được a và b \Rightarrow giá trị của x và y vì 349 là số nguyên tố
Vì mất máy tính nên ko thể tính ra đc , mong mọi người thông cảm

 

[james_bond_danny47]

Đọc toán học tuổi trẻ số 394 đấy có bài viết về kĩ năng này, hay lắm. Dạng này chủ yếu quy về ptr bậc 2 theo 1 ẩn nhất định, ẩn còn lại là tham số. Sau đó Giải ptr bằng cách đưa về bdt để chặn giá trị tham số và liệt kê nghiệm.

 

[james_bond_danny47]

Dạng này còn có nhiều phương pháp khác, chứ không nhất thiết chỉ giải được bằng 1 phuơng pháp. Ví dụ như bài này: [TEX]{x}^{2}[/TEX]+2=y(x-1) hăọc 1 bài nưã: [TEX]{x}^{2}[/TEX] +kx+3k-1=0
Mấy bạn thử giải bằng nhiều cách nha

 

[quan8d]

[TEX]{x}^{2}+2=y(x-1)[/tex]

Ta có :[tex] x^2+2=y(x-1) \Leftrightarrow (x-1)(x+1)+3=y(x-1) \Leftrightarrow (x-1)(x+1-y) = -3 [/tex]
mà [tex]3 = 1.-3=3.-1[/tex] rồi thay vào tìm x,y
Từ đó ta được nghiệm PT là : [tex](2;6), (-2;-2), (4;6), (0;-2)[/tex]

 

[muathu1111]

Đọc toán học tuổi trẻ số 394 đấy có bài viết về kĩ năng này, hay lắm. Dạng này chủ yếu quy về ptr bậc 2 theo 1 ẩn nhất định, ẩn còn lại là tham số. Sau đó Giải ptr bằng cách đưa về bdt để chặn giá trị tham số và liệt kê nghiệm.

Đây là cách lớp 9 sang năm sẽ học thôi ( tuy nhiên là cuối năm )
Mình sẽ làm bài 3 với cách này :
Ta có: 2.x + 25.y - 8 = 0
Delta = - 4.( 25.y + 7)
Với y = 0 thì x = 4
Với y # 0:
Để x nguyên => 25.y + 7 = a^2
\Leftrightarrow ( a - 5.\sqrt{y}) ( a + 5.\sqrt{y}) = 7
=> a + 5 căn y = 7 => y = 0,36; a=4 ( loại)
a - 5 căn y = 1
và a + 5 căn y = -1
a - 5 căn y = -7 => y = 0,36 ; a= -4 (loại)
Vậy pt trên có cặp nghiệm nguyên (x,y) là ( 4,0)

 

[01263812493]

Nhằm nâng cao kĩ năng giải phương trình nghiệm nguyên của các mem, mình lập ra pic này
Ta chỉ giải các phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng không mẫu mực
Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
Bài 3:

Mình thấy bài 3 ngộ sao ấy--------------- Chúng ta luôn tìm được x với mọi y chẵn-----> vậy pt vô số nghiệm sao -------- nếu đổi lại là tìm nghiệm nguyên dương thì bài giải của mình sẽ hợp lí hơn

 

[le_tien]

Mình thấy bài 3 ngộ sao ấy--------------- Chúng ta luôn tìm được x với mọi y chẵn-----> vậy pt vô số nghiệm sao -------- nếu đổi lại là tìm nghiệm nguyên dương thì bài giải của mình sẽ hợp lí hơn

Làm sao mà có nghiệm nguyên dương mà tìm
Bài này có vô số nghiệm
biện luận y chia hết cho 2 => y = 2k => x = 4-25k
Nghiệm tổng quát của pt có dạng: x = 4-25k ; y = 2k

 

[trydan]

Mình đề nghị bạn james_bond_danny47 không Spam tại pic này nưa. Bạn đã Spam quá nhiều.
Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau:
Bài 4:

Bài 5:

______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 

[quan8d]

Mình đề nghị bạn james_bond_danny47 không Spam tại pic này nưa. Bạn đã Spam quá nhiều.
Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau:
5:

Không mất tính tổng quát giả sử [tex]1\leq x\leq y\leq z[/tex] . Ta có:
PT \Leftrightarrow [tex]\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy} = 3 [/tex]
Do [tex]1\leq x\leq y\leq z[/tex] nên[tex] \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\geq 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3 \geq 3x^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 1 \geq x^2 \Rightarrow x=1[/tex]
Thay [tex]x=1[/tex] vào PT ta được :
[tex]1+y+z=3yz [/tex]
[tex]\Leftrightarrow(3y-1)(z-1)=0[/tex]
[tex]\Rightarrow z=1[/tex] (do[tex] y \in N*[/tex])
Thay [tex]z=1[/tex] vào trên ta được :[tex] 2+y=3 \Rightarrow y=1[/tex]
Vậy nghiệm của PT là (1;1;1)

 

[0915549009]

Các bạn làm luôn bài Giải PTNN này nha:
[TEX]4y^2[/TEX] = 2 + [TEX]\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

 

[quan8d]

Các bạn làm luôn bài Giải PTNN này nha:

[TEX]4y^2 = 2+\sqrt{199-x^2-2x} [/TEX]

[tex]4y^2=2+\sqrt{199-x^2-2x}=2+\sqrt{200-(x+1)^2}\leq 2+\sqrt{200}[/tex]

[tex]\Rightarrow 4\leq4y^2\leq16[/tex] [tex]\Rightarrow 1\leq y^2 \leq 4[/tex]

Vì[tex] y \in Z[/tex] nên [tex]y = \pm\ 1, \pm\ 2[/tex] [tex]\Rightarrow 4 = 2+\sqrt{199-x^2-2x}[/tex]

Khi [TEX]y = \pm\ 1[/TEX] thì [TEX]PT \Leftrightarrow 4 = 2+ \sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2= \sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+2x=195 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-13)(x+15)=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=13, x=-15 [/TEX]

Khi [TEX]y = \pm\ 2[/TEX] thì [TEX]PT \Leftrightarrow 16 = 2+\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 14 = \sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+2x=3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-1)(x+3) = 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=1, x=-3[/TEX]

Vậy nghiệm cuả PT là : [TEX](13;\pm\ 1), (-15;\pm\ 1), (1; \pm\ 2), (-3;\pm\ 2)[/TEX]

 

[0915549009]

bạn quan8d làm bài nỳ thiếu nghiệm oy`, vs lại bài này hok có nghiệm 15 đâu bạn ạ !!!
PT có các nghiệm (x;y) là:
(1; -2), (1; 2), (-3; -2), (-3, 2), (13; -1), (13; 1), (-15; -1), (-15; 1)

 

[01263812493]

[tex]4y^2=2+\sqrt{199-x^2-2x}=2+\sqrt{200-(x+1)^2}\leq 2+\sqrt{200}[/tex]

[tex]\Rightarrow 4\leq4y^2\leq12[/tex]

Vì sao có dc nhỉ ----------- bạn giải thich xem-----------------------------

 

[0915549009]

Tiếp nha các bạn:
1) Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
[TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX]+[TEX]z^2[/TEX]+xyz = 20
2) Tìm nghiệm nguyên của PT:
[TEX]\sqrt{x}[/TEX] + [TEX]\sqrt{y}[/TEX] = [TEX]\sqrt{50}[/TEX]
3) Giải PT nghiệm nguyên dương:
xy - 2x - 3y +1 = 0
4) Giải PT nghiệm nguyên:
a) [TEX]y^3[/TEX] - [TEX]x^3[/TEX] = 3x
b) [TEX](x-2)^4[/TEX] - [TEX]x^4[/TEX] = [TEX]y^3[/TEX]
c) [TEX]y^3[/TEX] = [TEX]x^3[/TEX] + 2x + 1
d) [TEX]x^6 - [/TEX] [TEX]4y^3[/TEX] - [TEX]4y^4[/TEX] = 2 + 3y + [TEX]6y^2[/TEX]

 

[0915549009]

Các bạn làm luôn bài Giải PTNN này nha:
[TEX]4y^2[/TEX] = 2 + [TEX]\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]

Cách của mình nè:
[TEX]4y^2[/TEX] = 2 + [TEX]\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4y^2[/TEX] = 2 + [TEX]\sqrt{200- (x+1)^2}[/TEX]
Để PT có nghiệm nguyên thì BT trong căn phải là số CP
Ta có: [TEX]\sqrt{200- (x+1)^2}[/TEX] = [TEX]\sqrt{10^2+10^2-(x+1)^2}[/TEX] = [TEX]\sqrt{2^2+14^2-(x+1)^2}[/TEX]
Khi đó: hoặc [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]10^2[/TEX] hoặc [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]14^2[/TEX] hoặc [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]2^2[/TEX]
* Nếu [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]10^2[/TEX] thì [TEX]4y^2[/TEX] = 2 + 10 \Rightarrow [TEX]y^2[/TEX] = 3, PT vô nghiệm nguyên
* Tương tự vs [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]2^2[/TEX] và [TEX](x+1)^2[/TEX] = [TEX]14^2[/TEX]
Thử lại, ta đc các nghiệm như trên (các nghiệm mình nêu ban nãy ấy)

 

[duynhan1]

1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
[tex] x^2 + 2y^2 + 3xy+3x+5y= 14 [/tex]

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[tex] 3x^2 + 2y^2 + z^2 + 4xy + 2yz = 26 - 2xz [/tex]

3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[tex] x^4 = y^2 ( y -x^2) [/tex]

 

[tuyn]

1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
[tex] x^2 + 2y^2 + 3xy+3x+5y= 14 (1)[/tex]

Vì [TEX]x,y \in Z_*^+ \Rightarrow x,y \geq 1[/TEX]
[TEX]VT (1) \geq 14 \Rightarrow VT (1)=14 \Leftrightarrow x=y=1[/TEX]
Vậy PT có nghiệm duy nhất x=y=1

3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[tex] x^4 = y^2 ( y -x^2) (3)[/tex]

[TEX]y^2(y-x^2)=x^4 \geq 0 \Rightarrow y-x^2 \geq 0, x^4 \geq y^2 \Leftrightarrow y \geq x^2 \geq 0, x^2 \geq y[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y=x^2 \Rightarrow x=y=0[/TEX]
Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=y=0